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Ähnlichkeitsanalyse In der Statistik insbesondere der Multivariaten Statistik interessiert man sich für die Messung der

Ähnlichkeitsanalyse

In der Statistik, insbesondere der Multivariaten Statistik, interessiert man sich für die Messung der Ähnlichkeit zwischen verschiedenen Objekten und definiert dazu Ähnlichkeits- und Distanzmaße. Es handelt sich dabei nicht um Maße im mathematischen Sinn, der Begriff bezieht sich ausschließlich auf die Messung einer bestimmten Größe.

In der Regel werden Ähnlichkeitsmaße für nominal oder ordinal skalierte Variablen genutzt und Distanzmaße für metrisch skalierte Variablen (d. h. für Intervall- und Verhältnisskala).

Ähnlichkeitsmaß Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine endliche Menge. Eine Funktion heißt Ähnlichkeitsmaß oder Ähnlichkeitsfunktion, falls für alle gilt:

  • und
  • .

Zudem wird oft noch gefordert, dass für alle gilt:

  • und .

Die Funktionswerte lassen sich zu einer symmetrischen -Matrix anordnen. Diese Matrix heißt Ähnlichkeitsmatrix. In diesem Kontext wird auch als Ähnlichkeitskoeffizient bezeichnet.

Anwendung in der Bioinformatik Bearbeiten

Ähnlichkeitsmatrizen wie PAM oder BLOSUM spielen eine wichtige Rolle beim Sequenzalignment. Ähnliche Proteine, Nukleotide oder Aminosäuren erhalten dabei höhere Scores (d. h. Ähnlichkeitswerte) als unähnliche. Die Ähnlichkeit ist hier durch die chemischen Eigenschaften der Bausteine und ihre Mutationsraten definiert.

Beispiel (AGCT steht für die vier Nukleinbasen Adenin, Guanin, Cytosin und Thymin):

A G C T
A 10 −1 −3 −4
G −1 7 −5 −3
C −3 −5 9 0
T −4 −3 0 8

Die Moleküle, deren Ähnlichkeit angegeben werden soll, werden in gleicher Reihenfolge spalten- und zeilenweise sortiert. Der Wert an der Position gibt somit an, wie ähnlich das Molekül an der Spaltenposition  dem an der Zeilenposition  ist.

Laut obiger Ähnlichkeitsmatrix sind Cytosin und Tymin (Ähnlichkeits-Score 0) einander ähnlicher als Guanin und Cytosin (Ähnlichkeits-Score -5).

Ähnlichkeitsmaße für binäre Vektoren Bearbeiten

Für binäre Variablen und zwei Beobachtungen und sei

Dann kann man folgende Maße definieren:

Ähnlichkeitsmaß
Braun
Dice
Hamann
Jaccard (S-Koeffizient)
Kappa
Kulczynski
Ochiai
Phi
Russel Rao
Simple Matching (M-Koeffizient)
Simpson
Sneath
Tanimoto (Rogers)
Yule

Für nicht binäre nominale oder ordinale Variablen definiert man für jede Kategorie der Variablen eine binäre Variable und kann dann die Ähnlichkeitsmaße für binäre Variablen verwenden.

Wahl des Ähnlichkeitsmaßes Bearbeiten

Welches Ähnlichkeitsmaß man zur Analyse wählt, hängt von der Problemstellung ab. Es gibt jedoch einige Hinweise, wann sich welches Maß gut eignet in Abhängigkeit von den Eigenschaften der binären Variable:

  • Ist die Variable symmetrisch, d. h. beide Kategorien sind gleich wichtig (z. B. Geschlecht), dann ist oft das gleiche Vorhandensein () bzw. die gleiche Abwesenheit () wichtig für ein Ähnlichkeitsmaß. Dann können Simple Matching, Hamann oder Tanimoto verwendet werden.
  • Ist die Variable asymmetrisch, d. h. nur eine Kategorie spielt eine wesentliche Rolle (z. B. Krankheit aufgetreten), dann spielt oft nur das gleiche Auftreten () eine Rolle. Dann können Dice, Jaccard, Kulczynskl, Ochiai, Braun, Simpson oder Sneath verwendet werden.
  • Kappa, Phi und Yule können sowohl im symmetrischen als auch im asymmetrischen Fall verwendet werden.

Bei der Wahl des Ähnlichkeitmaßes sollten auch Zusammenhänge zwischen den Maßen berücksichtigt werden:

  • Dice, Jaccard und Sneath sind monotone Funktionen voneinander:
  • Auch Hamann, Rogers und Simple matching weisen einen Zusammenhang auf.

Distanzmaß Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine endliche Menge. Eine Funktion heißt Distanzmaß oder Distanzfunktion, falls für alle gilt:

  • sowie
  • und .

Die Funktionswerte lassen sich zu einer symmetrischen -Matrix anordnen. Diese Matrix heißt Distanzmatrix.

Falls die Funktion zusätzlich die Dreiecksungleichung erfüllt, ist sie eine Metrik. Häufig wird auch eine Metrik als Distanzfunktion bezeichnet.

Einige Distanzmaße Bearbeiten

Für metrische Variablen und zwei Beobachtungen und kann man folgende Maße definieren:

Distanzmaß
Euklidisch
Pearson
mit die Standardabweichung der Variable
City-Block
Manhattan
Gower
mit die Spannweite der Variable
Mahalanobis
mit der Stichproben-Kovarianzmatrix der Variablen

Zusammenhang zwischen Ähnlichkeits- und Distanzmaßen Bearbeiten

Allgemein kann man ein Distanzmaß aus einem Ähnlichkeitsmaß definieren durch

Ein so gewonnenes Distanzmaß erfüllt aber im Allgemeinen nicht die Dreiecksungleichung und ist somit keine Metrik.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Joachim Hartung, Bärbel Elpelt: Multivariate Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. Oldenbourg Verlag, München 1984, ISBN 3-486-28451-7
  • Ludwig Fahrmeir, Alfred Hamerle: Multivariate statistische Verfahren. de Gruyter, Berlin 1984, ISBN 3-11-008509-7

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. P F Russel, T R Rao: On habitat and association of species of Anophe-line larvae. In: South-eastern Madras, Journal of Malaria Institute India. 3. Jahrgang, 1940, S. 153–178.
  2. D.J. Rogers and T.T. Tanimoto: A Computer Program for Classifying Plants. In: Science. 132. Jahrgang, Nr. 3434, 21. Oktober 1960, S. 1115–1118, doi:10.1126/science.132.3434.1115 (sciencemag.org).
  3. ShengLi Tzeng, Han-Ming Wu, Chun-Houh Chen: Selection of Proximity Measures for Matrix Visualization of Binary Data. In: Biomedical Engineering and Informatics, 2009. BMEI '09. 2nd International Conference on. 30. Oktober 2009, S. 1–9, doi:10.1109/BMEI.2009.5305137.
  4. J. C. Gower: A General Coefficient of Similarity and Some of Its Properties. In: Biometrics. 27. Jahrgang, Nr. 4, Dezember 1971, S. 857–871 (jstor.org).
  5. Wolfgang Härdle, Léopold Simar: Applied Multivariate Statistical Analysis. 1. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-03079-4, S. 381.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Statistik insbesondere der Multivariaten Statistik interessiert man sich fur die Messung der Ahnlichkeit zwischen verschiedenen Objekten und definiert dazu Ahnlichkeits und Distanzmasse Es handelt sich dabei nicht um Masse im mathematischen Sinn der Begriff bezieht sich ausschliesslich auf die Messung einer bestimmten Grosse In der Regel werden Ahnlichkeitsmasse fur nominal oder ordinal skalierte Variablen genutzt und Distanzmasse fur metrisch skalierte Variablen d h fur Intervall und Verhaltnisskala Inhaltsverzeichnis 1 Ahnlichkeitsmass 1 1 Definition 1 2 Anwendung in der Bioinformatik 1 3 Ahnlichkeitsmasse fur binare Vektoren 1 4 Wahl des Ahnlichkeitsmasses 2 Distanzmass 2 1 Definition 2 2 Einige Distanzmasse 3 Zusammenhang zwischen Ahnlichkeits und Distanzmassen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseAhnlichkeitsmass BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei I 1 2 N displaystyle I left 1 2 dots N right nbsp eine endliche Menge Eine Funktion s I I R displaystyle s colon I times I rightarrow mathbb R nbsp heisst Ahnlichkeitsmass oder Ahnlichkeitsfunktion falls fur alle i j I displaystyle i j in I nbsp gilt s i j s j i displaystyle s i j s j i nbsp und s i i s i j displaystyle s i i geq s i j nbsp Zudem wird oft noch gefordert dass fur alle i j I displaystyle i j in I nbsp gilt s i j 0 displaystyle s i j geq 0 nbsp und s i i 1 displaystyle s i i 1 nbsp Die Funktionswerte s i j displaystyle s i j nbsp lassen sich zu einer symmetrischen N N displaystyle N times N nbsp Matrix s i j i j displaystyle left s i j right i j nbsp anordnen Diese Matrix heisst Ahnlichkeitsmatrix In diesem Kontext wird s i j displaystyle s i j nbsp auch als Ahnlichkeitskoeffizient bezeichnet Anwendung in der Bioinformatik Bearbeiten Ahnlichkeitsmatrizen wie PAM oder BLOSUM spielen eine wichtige Rolle beim Sequenzalignment Ahnliche Proteine Nukleotide oder Aminosauren erhalten dabei hohere Scores d h Ahnlichkeitswerte als unahnliche Die Ahnlichkeit ist hier durch die chemischen Eigenschaften der Bausteine und ihre Mutationsraten definiert Beispiel AGCT steht fur die vier Nukleinbasen Adenin Guanin Cytosin und Thymin A G C TA 10 1 3 4G 1 7 5 3C 3 5 9 0T 4 3 0 8Die Molekule deren Ahnlichkeit angegeben werden soll werden in gleicher Reihenfolge spalten und zeilenweise sortiert Der Wert a i j displaystyle a i j nbsp an der Position i j displaystyle i j nbsp gibt somit an wie ahnlich das Molekul an der Spaltenposition i displaystyle i nbsp dem an der Zeilenposition j displaystyle j nbsp ist Laut obiger Ahnlichkeitsmatrix sind Cytosin und Tymin Ahnlichkeits Score 0 einander ahnlicher als Guanin und Cytosin Ahnlichkeits Score 5 Ahnlichkeitsmasse fur binare Vektoren Bearbeiten Fur p displaystyle p nbsp binare Variablen und zwei Beobachtungen i displaystyle i nbsp und j displaystyle j nbsp sei n 00 k 1 p I x i k 0 x j k 0 displaystyle n 00 sum k 1 p I x ik 0 x jk 0 nbsp n 01 k 1 p I x i k 0 x j k 1 displaystyle n 01 sum k 1 p I x ik 0 x jk 1 nbsp n 10 k 1 p I x i k 1 x j k 0 displaystyle n 10 sum k 1 p I x ik 1 x jk 0 nbsp n 11 k 1 p I x i k 1 x j k 1 displaystyle n 11 sum k 1 p I x ik 1 x jk 1 nbsp und p n 00 n 01 n 10 n 11 displaystyle p n 00 n 01 n 10 n 11 nbsp Dann kann man folgende Masse definieren Ahnlichkeitsmass s i j displaystyle s i j nbsp Braun n 11 max n 11 n 01 n 11 n 10 displaystyle frac n 11 max n 11 n 01 n 11 n 10 nbsp Dice 2 n 11 n 01 n 10 2 n 11 displaystyle frac 2n 11 n 01 n 10 2n 11 nbsp Hamann n 00 n 11 n 01 n 10 p displaystyle frac n 00 n 11 n 01 n 10 p nbsp Jaccard S Koeffizient n 11 n 01 n 10 n 11 displaystyle frac n 11 n 01 n 10 n 11 nbsp Kappa 1 1 p n 01 n 10 2 n 00 n 11 n 01 n 10 displaystyle frac 1 1 tfrac p n 01 n 10 2 n 00 n 11 n 01 n 10 nbsp Kulczynski n 11 n 01 n 10 displaystyle frac n 11 n 01 n 10 nbsp Ochiai n 11 n 11 n 01 n 11 n 10 displaystyle frac n 11 sqrt n 11 n 01 n 11 n 10 nbsp Phi n 11 n 00 n 10 n 01 n 11 n 01 n 11 n 10 n 00 n 01 n 00 n 10 displaystyle frac n 11 n 00 n 10 n 01 sqrt n 11 n 01 n 11 n 10 n 00 n 01 n 00 n 10 nbsp Russel Rao 1 n 11 p displaystyle frac n 11 p nbsp Simple Matching M Koeffizient n 00 n 11 p displaystyle frac n 00 n 11 p nbsp Simpson n 11 min n 11 n 01 n 11 n 10 displaystyle frac n 11 min n 11 n 01 n 11 n 10 nbsp Sneath n 11 n 11 2 n 01 2 n 10 displaystyle frac n 11 n 11 2n 01 2n 10 nbsp Tanimoto Rogers 2 n 00 n 11 n 00 2 n 01 n 10 n 11 displaystyle frac n 00 n 11 n 00 2 n 01 n 10 n 11 nbsp Yule n 00 n 11 n 01 n 10 n 00 n 11 n 01 n 10 displaystyle frac n 00 n 11 n 01 n 10 n 00 n 11 n 01 n 10 nbsp Fur nicht binare nominale oder ordinale Variablen definiert man fur jede Kategorie der Variablen eine binare Variable und kann dann die Ahnlichkeitsmasse fur binare Variablen verwenden Wahl des Ahnlichkeitsmasses Bearbeiten Welches Ahnlichkeitsmass man zur Analyse wahlt hangt von der Problemstellung ab Es gibt jedoch einige Hinweise wann sich welches Mass gut eignet in Abhangigkeit von den Eigenschaften der binaren Variable 3 Ist die Variable symmetrisch d h beide Kategorien sind gleich wichtig z B Geschlecht dann ist oft das gleiche Vorhandensein n 11 displaystyle n 11 nbsp bzw die gleiche Abwesenheit n 00 displaystyle n 00 nbsp wichtig fur ein Ahnlichkeitsmass Dann konnen Simple Matching Hamann oder Tanimoto verwendet werden Ist die Variable asymmetrisch d h nur eine Kategorie spielt eine wesentliche Rolle z B Krankheit aufgetreten dann spielt oft nur das gleiche Auftreten n 11 displaystyle n 11 nbsp eine Rolle Dann konnen Dice Jaccard Kulczynskl Ochiai Braun Simpson oder Sneath verwendet werden Kappa Phi und Yule konnen sowohl im symmetrischen als auch im asymmetrischen Fall verwendet werden Bei der Wahl des Ahnlichkeitmasses sollten auch Zusammenhange zwischen den Massen berucksichtigt werden Dice Jaccard und Sneath sind monotone Funktionen voneinander Sneath Jaccard Dice displaystyle text Sneath leq text Jaccard leq text Dice nbsp dd Betrachtet man Simpson und Braun so ist das harmonische Mittel Dice das arithmetische Mittel Kulczynski und das geometrische Mittel Ochiai Aus der Ungleichung der Mittelwerte folgt Braun Dice Ochiai Kulczynski Simpson displaystyle text Braun leq text Dice leq text Ochiai leq text Kulczynski leq text Simpson nbsp dd Auch Hamann Rogers und Simple matching weisen einen Zusammenhang auf Distanzmass BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei I 1 2 N displaystyle I left 1 2 dots N right nbsp eine endliche Menge Eine Funktion d I I R displaystyle d colon I times I rightarrow mathbb R nbsp heisst Distanzmass oder Distanzfunktion falls fur alle i j I displaystyle i j in I nbsp gilt d i j d j i displaystyle d i j d j i nbsp sowie d i j 0 displaystyle d i j geq 0 nbsp und d i j 0 i j displaystyle d i j 0 Leftrightarrow i j nbsp Die Funktionswerte d i j displaystyle d i j nbsp lassen sich zu einer symmetrischen N N displaystyle N times N nbsp Matrix d i j i j displaystyle left d i j right i j nbsp anordnen Diese Matrix heisst Distanzmatrix Falls die Funktion d displaystyle d nbsp zusatzlich die Dreiecksungleichung erfullt ist sie eine Metrik Haufig wird auch eine Metrik als Distanzfunktion bezeichnet Einige Distanzmasse Bearbeiten Fur p displaystyle p nbsp metrische Variablen und zwei Beobachtungen i displaystyle i nbsp und j displaystyle j nbsp kann man folgende Masse definieren Distanzmass d i j displaystyle d i j nbsp L r displaystyle L r nbsp k 1 p x i k x j k r 1 r displaystyle left sum k 1 p x ik x jk r right 1 r nbsp EuklidischL 2 displaystyle L 2 nbsp k 1 p x i k x j k 2 displaystyle sqrt sum k 1 p x ik x jk 2 nbsp Pearson k 1 p x i k x j k 2 s k 2 displaystyle sqrt sum k 1 p frac x ik x jk 2 s k 2 nbsp mit s k displaystyle s k nbsp die Standardabweichung der Variable k displaystyle k nbsp City BlockManhattanL 1 displaystyle L 1 nbsp k 1 p x i k x j k displaystyle sum k 1 p x ik x jk nbsp Gower 4 k 1 p x i k x j k r k displaystyle sum k 1 p frac x ik x jk r k nbsp mit r k displaystyle r k nbsp die Spannweite der Variable k displaystyle k nbsp Mahalanobis x i x j T S 1 x i x j displaystyle sqrt x i x j T S 1 x i x j nbsp mit S displaystyle S nbsp der Stichproben Kovarianzmatrix der Variablen x i displaystyle x i nbsp Zusammenhang zwischen Ahnlichkeits und Distanzmassen BearbeitenAllgemein kann man ein Distanzmass aus einem Ahnlichkeitsmass definieren durch 5 d i j s i i s j j 2 s i j displaystyle d i j sqrt s i i s j j 2s i j nbsp Ein so gewonnenes Distanzmass erfullt aber im Allgemeinen nicht die Dreiecksungleichung und ist somit keine Metrik Siehe auch BearbeitenKosinus Ahnlichkeit Clusteranalyse Multidimensionale SkalierungLiteratur BearbeitenJoachim Hartung Barbel Elpelt Multivariate Statistik Lehr und Handbuch der angewandten Statistik Oldenbourg Verlag Munchen 1984 ISBN 3 486 28451 7 Ludwig Fahrmeir Alfred Hamerle Multivariate statistische Verfahren de Gruyter Berlin 1984 ISBN 3 11 008509 7Einzelnachweise Bearbeiten P F Russel T R Rao On habitat and association of species of Anophe line larvae In South eastern Madras Journal of Malaria Institute India 3 Jahrgang 1940 S 153 178 D J Rogers and T T Tanimoto A Computer Program for Classifying Plants In Science 132 Jahrgang Nr 3434 21 Oktober 1960 S 1115 1118 doi 10 1126 science 132 3434 1115 sciencemag org ShengLi Tzeng Han Ming Wu Chun Houh Chen Selection of Proximity Measures for Matrix Visualization of Binary Data In Biomedical Engineering and Informatics 2009 BMEI 09 2nd International Conference on 30 Oktober 2009 S 1 9 doi 10 1109 BMEI 2009 5305137 J C Gower A General Coefficient of Similarity and Some of Its Properties In Biometrics 27 Jahrgang Nr 4 Dezember 1971 S 857 871 jstor org Wolfgang Hardle Leopold Simar Applied Multivariate Statistical Analysis 1 Auflage Springer Verlag Berlin 2003 ISBN 3 540 03079 4 S 381 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ahnlichkeitsanalyse amp oldid 226864120