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Deviationsgleichung Die oder geodätische Abweichung ist eine Gleichung der Riemannschen Geometrie bzw Allgemeinen Relati

Deviationsgleichung

Die Deviationsgleichung oder geodätische Abweichung ist eine Gleichung der Riemannschen Geometrie bzw. Allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt die Änderung des Abstandes zweier benachbarter Geodäten mit Hilfe des Riemannschen Krümmungstensors. Mittels dieser Gleichung kann festgestellt werden, ob und in welcher Art ein Raum gekrümmt ist, indem die Relativbeschleunigung zweier Probekörper auf benachbarten Geodäten gemessen wird. Wird keine Relativbeschleunigung zwischen zwei Geodäten gemessen, so ist der Raum flach. Die Relativbeschleunigung zwischen den Probekörpern rührt nur von der Krümmung des Raumes her, nicht von ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehung, die bei einem realen Experiment noch zusätzlich wirken würde.

Formulierung der Gleichung Bearbeiten

Die mathematische Formulierung der Deviationsgleichung lautet:

und vereinfacht sich in einem torsionsfreien Raum zu

Die Symbole in den Gleichungen bedeuten dabei folgendes:

  • bezeichnet die Geodäte und deren Tangentialvektor.
  • ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodäten und damit die lineare Änderung des Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Geodäten.
  • ist der Torsionstensor des Raumes, insbesondere ist der Vektor, der das von und aufgespannte Parallelogramm schließt. Dieser Vektor ist in torsionsfreien Räumen gleich Null.
  • ist der Riemannsche Krümmungstensor.
  • Außerdem wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, die griechischen Indizes laufen von und sowie sind Tensoren 1. Stufe.
  • bezeichnet die Kovariante Ableitung.

Im flachen Raum wächst der Abstand zweier sich schneidenden Geodäten und proportional zu . Ist dies nicht der Fall, so ist dies ein Symptom für die Krümmung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krümmungstensor.

Literatur Bearbeiten

  • Hans Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage. Wiley-VCH, 1991, ISBN 3-326-00083-9

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt (Memento vom 23. Juli 2013 im Internet Archive)
  2. Hendrik van Hees: Physik und das Drumherum, Abschnitt (Memento vom 5. Mai 2010 im Internet Archive)
  3. Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff, S. 141
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Veröffentlichungsdatum:
Die Deviationsgleichung oder geodatische Abweichung ist eine Gleichung der Riemannschen Geometrie bzw Allgemeinen Relativitatstheorie und beschreibt die Anderung des Abstandes zweier benachbarter Geodaten mit Hilfe des Riemannschen Krummungstensors Mittels dieser Gleichung kann festgestellt werden ob und in welcher Art ein Raum gekrummt ist indem die Relativbeschleunigung zweier Probekorper auf benachbarten Geodaten gemessen wird Wird keine Relativbeschleunigung zwischen zwei Geodaten gemessen so ist der Raum flach Die Relativbeschleunigung zwischen den Probekorpern ruhrt nur von der Krummung des Raumes her nicht von ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehung die bei einem realen Experiment noch zusatzlich wirken wurde Formulierung der Gleichung BearbeitenDie mathematische Formulierung der Deviationsgleichung lautet D 2 V a D t 2 x b t x m t V n R m b n a D D t T k l a x k t V l displaystyle frac mathrm D 2 V alpha mathrm D tau 2 frac partial x beta partial tau frac partial x mu partial tau V nu R mu beta nu alpha frac mathrm D mathrm D tau left T kappa lambda alpha frac partial x kappa partial tau V lambda right nbsp und vereinfacht sich in einem torsionsfreien Raum 1 zu D 2 V a D t 2 x b t x m t V n R m b n a displaystyle frac mathrm D 2 V alpha mathrm D tau 2 frac partial x beta partial tau frac partial x mu partial tau V nu R mu beta nu alpha nbsp Die Symbole in den Gleichungen bedeuten dabei folgendes x a t displaystyle x alpha tau nbsp bezeichnet die Geodate und x a t displaystyle textstyle tfrac partial x alpha partial tau nbsp deren Tangentialvektor V a d p x a p d p displaystyle textstyle V alpha mbox d p tfrac partial x alpha partial p mathrm d p nbsp ist der Abstandsvektor zweier benachbarter Geodaten und damit x a p displaystyle textstyle tfrac partial x alpha partial p nbsp die lineare Anderung des Abstandes zweier infinitesimal benachbarter Geodaten T k l a displaystyle T kappa lambda alpha nbsp ist der Torsionstensor des Raumes insbesondere ist T k l a A k B l displaystyle T kappa lambda alpha A kappa B lambda nbsp der Vektor der das von A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp aufgespannte Parallelogramm schliesst 2 Dieser Vektor ist in torsionsfreien Raumen gleich Null R m b n a displaystyle R mu beta nu alpha nbsp ist der Riemannsche Krummungstensor Ausserdem wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet die griechischen Indizes laufen von 0 3 displaystyle 0 dots 3 nbsp und x a displaystyle x alpha nbsp sowie V a displaystyle V alpha nbsp sind Tensoren 1 Stufe D V a D t displaystyle textstyle tfrac mathrm D V alpha mathrm D tau nbsp bezeichnet die Kovariante Ableitung Im flachen Raum wachst der Abstand zweier sich schneidenden Geodaten x a t p 1 displaystyle x alpha tau p 1 nbsp und x a t p 2 displaystyle x alpha tau p 2 nbsp proportional zu t displaystyle tau nbsp 3 Ist dies nicht der Fall so ist dies ein Symptom fur die Krummung des Raumes und entspricht der obigen Gleichung bei nichtverschwindendem Krummungstensor Literatur BearbeitenHans Stephani Allgemeine Relativitatstheorie 4 Auflage Wiley VCH 1991 ISBN 3 326 00083 9Einzelnachweise Bearbeiten Hendrik van Hees Physik und das Drumherum Abschnitt Geraden Memento vom 23 Juli 2013 im Internet Archive Hendrik van Hees Physik und das Drumherum Abschnitt Torsion und Krummung Memento vom 5 Mai 2010 im Internet Archive Geometrie der Raumzeit von Rainer Oloff S 141 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Deviationsgleichung amp oldid 232549300