In der Funktionalanalysis sind die sogenannten Cuntz Algebren O n displaystyle mathcal O n nach Joachim Cuntz eine spezielle Klasse von C Algebren die von n paarweise orthogonalen Isometrien auf einem separablen Hilbertraum erzeugt werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Eindeutigkeit 2 2 Einfachheit 2 3 Klassifikation 2 4 Darstellung als Kreuzprodukt 3 LiteraturDefinition BearbeitenSei H displaystyle H nbsp ein separabler unendlichdimensionaler Hilbertraum Fur eine naturliche Zahl n 2 displaystyle n geq 2 nbsp seien S 1 S n L H displaystyle S 1 dots S n in mathcal L H nbsp Isometrien auf H d h es gilt S i S i 1 displaystyle S i S i 1 nbsp fur 1 i n displaystyle 1 leq i leq n nbsp Zudem sollen sie die Eigenschaft i 1 n S i S i 1 displaystyle sum i 1 n S i S i 1 nbsp erfullen die Bildprojektoren sind also paarweise orthogonal Fur den Fall n displaystyle n infty nbsp fordert man eine Folge von Isometrien S 1 S 2 S 3 displaystyle S 1 S 2 S 3 dots quad nbsp mit der Eigenschaft i 1 k S i S i 1 displaystyle sum i 1 k S i S i leq 1 quad nbsp fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp Man definiert nun O n C S 1 S n displaystyle mathcal O n C S 1 dots S n nbsp als die von S 1 S n displaystyle S 1 dots S n nbsp erzeugte C Unteralgebra in L H displaystyle mathcal L H nbsp Um eine einheitliche Notation zu wahren behalt man diese Schreibweise auch im Fall n displaystyle n infty nbsp bei Eigenschaften BearbeitenDie Cuntz Algebra O n displaystyle mathcal O n nbsp hat eine Reihe von bemerkenswerten Eigenschaften sie ist ein Beispiel fur eine separable unitale und einfache C Algebra Eindeutigkeit Bearbeiten Sind S 1 S n L H displaystyle tilde S 1 dots tilde S n in mathcal L H nbsp weitere Isometrien mit i 1 n S i S i 1 displaystyle sum i 1 n tilde S i tilde S i 1 nbsp so folgt C S 1 S n C S 1 S n displaystyle C S 1 dots S n simeq C tilde S 1 dots tilde S n nbsp Die Isomorphieklasse hangt also nicht von der Wahl der Erzeuger ab Die Schreibweise O n displaystyle mathcal O n nbsp die nicht auf die Erzeuger S 1 S n displaystyle S 1 dots S n nbsp zuruckgreift wird damit gerechtfertigt Eine besondere Rolle bei der Untersuchung von O n displaystyle mathcal O n nbsp spielt die C Unteralgebra F n displaystyle mathcal F n nbsp die von Elementen der Form S i 1 S i 2 S i k S j k S j k 1 S j 1 displaystyle S i 1 S i 2 dots S i k S j k S j k 1 dots S j 1 nbsp mit k N 1 i l j l n displaystyle k in mathbb N 1 leq i l j l leq n nbsp erzeugt wird Man kann zeigen dass diese zur UHF Algebra zur ubernaturlichen Zahl n displaystyle n infty nbsp isomorph ist Setzt man einen Erzeuger fest zum Beispiel V S 1 displaystyle V S 1 nbsp und schreibt V 1 S 1 displaystyle V 1 S 1 nbsp so existieren Abbildungen F i O n F n displaystyle F i mathcal O n to mathcal F n nbsp sodass jedes A O n displaystyle A in mathcal O n nbsp dargestellt werden kann als A i 1 V i F i A F 0 A i 1 F i A V i displaystyle A sum i infty 1 V i F i A F 0 A sum i 1 infty F i A V i nbsp Ein wichtiger Schritt im Beweis obiger Eindeutigkeitseigenschaft ist es diese F i A displaystyle F i A nbsp analog zu Fourierkoeffizienten in einer Laurentreihe zu deuten Dadurch ist es moglich zu zeigen dass auf dem rein algebraischen Erzeugnis von S 1 S n S 1 S n displaystyle S 1 dots S n S 1 dots S n nbsp nur eine C Norm existieren kann womit die Behauptung gezeigt ist Einfachheit Bearbeiten Eine C Algebra heisst einfach falls sie keine nicht trivialen abgeschlossenen zweiseitigen Ideale besitzt O n displaystyle mathcal O n nbsp ist sogar im algebraischen Sinne einfach Satz Sei 0 X O n displaystyle 0 neq X in mathcal O n nbsp Dann existieren A B O n displaystyle A B in mathcal O n nbsp mit A X B 1 displaystyle AXB 1 nbsp Ausserdem sind Cuntz Algebren in folgendem Sinne mit einfachen unitalen unendlichen C Algebren verwandt Satz Sei A displaystyle mathcal A nbsp eine einfache unendliche unitale C Algebra Dann existiert eine C Unteralgebra von A displaystyle mathcal A nbsp die isomorph zu O displaystyle mathcal O infty nbsp ist Fur endliche n 2 displaystyle n geq 2 nbsp existiert eine C Unteralgebra B A displaystyle mathcal B subset mathcal A nbsp die ein Ideal J displaystyle mathcal J nbsp enthalt sodass O n B J displaystyle mathcal O n simeq mathcal B mathcal J nbsp Klassifikation Bearbeiten Es sei O 2 C S 1 S 2 displaystyle mathcal O 2 C S 1 S 2 nbsp wie oben Definiert man S 1 S 1 2 S 2 S 1 S 2 S 3 S 2 displaystyle hat S 1 S 1 2 hat S 2 S 1 S 2 hat S 3 S 2 nbsp so sind S 1 S 2 S 3 displaystyle hat S 1 hat S 2 hat S 3 nbsp ebenfalls Isometrien mit S 1 S 1 S 2 S 2 S 3 S 3 1 displaystyle hat S 1 hat S 1 hat S 2 hat S 2 hat S 3 hat S 3 1 nbsp und es gilt offensichtlich C S 1 S 2 S 3 C S 1 S 2 displaystyle C hat S 1 hat S 2 hat S 3 subset C S 1 S 2 nbsp Man erhalt auf diese Weise die Inklusionen O O n O 2 displaystyle mathcal O infty subset mathcal O n subset mathcal O 2 nbsp Mit K theoretischen Methoden zeigt man dass O n displaystyle mathcal O n nbsp und O m displaystyle mathcal O m nbsp nicht isomorph sind falls n m displaystyle n neq m nbsp Falls n displaystyle n nbsp endlich ist so berechnet sich die K 0 displaystyle K 0 nbsp Gruppe von O n displaystyle mathcal O n nbsp zu Z n 1 displaystyle mathbb Z n 1 nbsp Fur den Fall n displaystyle n infty nbsp ergibt sich K 0 Z displaystyle K 0 mathbb Z nbsp Da die K 0 displaystyle K 0 nbsp Gruppe eine Isomorphie Invariante ist folgt sofort die Behauptung Darstellung als Kreuzprodukt Bearbeiten Auf F n displaystyle mathcal F n nbsp existiert ein Automorphismus F displaystyle Phi nbsp sodass O n F n F Z displaystyle mathcal O n simeq mathcal F n rtimes Phi mathbb Z nbsp Da F n displaystyle mathcal F n nbsp als eine UHF Algebra nuklear ist folgt aus dieser Darstellung als Kreuzprodukt dass auch O n displaystyle mathcal O n nbsp nuklear ist Literatur BearbeitenJoachim Cuntz Simple C algebras generated by isometries Pdf In Comm Math Phys 57 1977 S 173 185 abgerufen am 17 April 2012 englisch K R Davidson C Algebras by Example American Mathematical Society 1996 ISBN 0 821 80599 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cuntz Algebra amp oldid 213257329
