Die Clausius Duhem Ungleichung ist die in der Kontinuumsmechanik benutzte Form des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik Die mathematische Formulierung dieses Gesetzes trifft wie alle anderen physikalischen Gesetze auch keine Aussagen uber die individuellen Eigenschaften von Korpern Um das thermodynamische Verhalten eines speziellen Korpers zu bestimmen bedarf es also noch eines Materialmodells das sein materialspezifisches Verhalten wiedergibt Die Clausius Duhem Ungleichung ist weniger als Einschrankung fur physikalische Prozesse sondern vielmehr als Anforderung an die konstitutiven Gleichungen eines Materialmodells zu interpretieren Es muss sichergestellt sein dass die Clausius Duhem Ungleichung von den Materialgleichungen fur beliebige Prozesse erfullt wird Hieraus ergeben sich dann oftmals Wertebereiche in denen Materialparameter eines Modells liegen mussen Beispielsweise folgt in der idealen Plastizitat im Fallbeispiel dass die Lame Konstanten positiv sind Inhaltsverzeichnis 1 Entropiebilanz 2 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 3 Clausius Duhem Ungleichung 4 Beispiel isotherme ideale Plastizitat 5 Fussnoten 6 LiteraturEntropiebilanz BearbeitenDie Entropiebilanz beschreibt wie sich die Entropie eines Korpers durch aussere Einflusse andert Wenn s die spezifische Entropie s displaystyle vec varsigma nbsp der Entropiefluss pro Flache s displaystyle sigma nbsp die spezifische Entropiezufuhr und g displaystyle gamma nbsp die spezifische Entropieproduktion ist dann lautet die Entropiebilanz d d t v s r d v v s r d v v g r d v a s n d a displaystyle frac mathrm d mathrm d t int v s rho mathrm d v int v sigma rho mathrm d v int v gamma rho mathrm d v int a vec varsigma cdot vec n mathrm d a nbsp In dieser Gleichung sind v das vom Korper eingenommene Volumen a die Oberflache des Korpers n displaystyle vec n nbsp die auf dem Oberflachenelement d a displaystyle mathrm d a nbsp des Korpers nach aussen gerichtete Normale und d dt die Ableitung nach der Zeit zeitliche Anderung Das negative Vorzeichen des letztens Terms liefert eine Entropiezufuhr wenn der Entropiestrom in den Korper gerichtet ist Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik Bearbeiten Hauptartikel Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik bringt die Erfahrung zum Ausdruck dass mechanische Arbeit vollstandig in Warme umgewandelt werden kann die Umwandlung von Warme in mechanische Energie aber nur zum Teil gelingt Die Dissipation von mechanischer Arbeit in Warme geht mit einer Entropieproduktion einher die also nicht negativ sein darf v g r d v d d t v s r d v v s r d v a s n d a 0 displaystyle int v gamma rho mathrm d v frac mathrm d mathrm d t int v s rho mathrm d v int v sigma rho mathrm d v int a vec varsigma cdot vec n mathrm d a geq 0 nbsp Diese Gleichung wird auch Dissipationsungleichung genannt Clausius Duhem Ungleichung BearbeitenAus der Gleichgewichtsthermodynamik homogener Systeme ist bekannt dass der Entropiefluss der Quotient aus dem Warmefluss q displaystyle vec q nbsp und der absoluten Temperatur T ist und ein gleicher Zusammenhang wird zwischen der spezifischen Warmeproduktion r und der Entropieproduktion postuliert s q T und s r T displaystyle vec varsigma frac vec q T quad textsf und quad sigma frac r T nbsp Mit diesen Annahmen leitet sich aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik die globale Formulierung der Clausius Duhem Ungleichung ab d d t v s r d v v r T r d v a q T n d a displaystyle frac mathrm d mathrm d t int v s rho mathrm d v geq int v frac r T rho mathrm d v int a frac vec q T cdot vec n mathrm d a nbsp Ausnutzung des Divergenzsatzes der Produktregel und der lokalen Massen und Energiebilanz liefert die lokale Formulierung 1 r s d ps s T q r T grad T 0 displaystyle frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d dot psi s dot T frac vec q rho T cdot operatorname grad T geq 0 nbsp BeweisDie Zeitableitung des Volumenintegrals lasst sich mit dem Divergenzsatz und der Produktregel umformen d d t v s r d v v s r t d v a s r v n d a v s t r s r t div s r v d v v s t r s r t r grad s v s grad r v s r div v d v v s t r r grad s v d v v s r d v displaystyle begin array rcl frac mathrm d mathrm d t int v s rho mathrm d v amp amp int v frac partial s rho partial t mathrm d v int a s rho vec v cdot vec n mathrm d a int v left frac partial s partial t rho s frac partial rho partial t operatorname div s rho vec v right mathrm d v amp amp int v left frac partial s partial t rho s frac partial rho partial t rho operatorname grad s cdot vec v s operatorname grad rho cdot vec v s rho operatorname div vec v right mathrm d v amp amp int v left frac partial s partial t rho rho operatorname grad s cdot vec v right mathrm d v int v dot s rho mathrm d v end array nbsp Die anderen Terme verschwinden wegen der fur beliebige Volumina geltenden Konstanz der Masse d d t v r d v v r t div r v d v v r t grad r v r div v d v 0 0 r t grad r v r div v displaystyle begin array rcl frac mathrm d mathrm d t int v rho mathrm d v amp amp int v left frac partial rho partial t operatorname div rho vec v right mathrm d v int v left frac partial rho partial t operatorname grad rho cdot vec v rho operatorname div vec v right mathrm d v 0 rightarrow 0 amp amp frac partial rho partial t operatorname grad rho cdot vec v rho operatorname div vec v end array nbsp Der Transportterm lasst sich ebenfalls mit dem Divergenzsatz und der Produktregel umformen a q T n d a v div q T d v v div q T grad T q T 2 d v displaystyle int a frac vec q T cdot vec n mathrm d a int v operatorname div left frac vec q T right mathrm d v int v left frac operatorname div vec q T frac operatorname grad T cdot vec q T 2 right mathrm d v nbsp Die bisherigen Ergebnisse liefern zusammengefasst v s r T grad T q r T 2 div q r T r d v 0 s grad T q r T 2 1 T r div q r 0 displaystyle int v left dot s frac r T frac operatorname grad T cdot vec q rho T 2 frac operatorname div vec q rho T right rho mathrm d v geq 0 quad rightarrow quad dot s frac operatorname grad T cdot vec q rho T 2 frac 1 T left r frac operatorname div vec q rho right geq 0 nbsp denn die Ungleichung gilt fur jedes beliebige Teilvolumen Einsetzen der lokalen Innere Energie Bilanz u 1 r s d r div q r r div q r u 1 r s d displaystyle dot u frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d r frac operatorname div vec q rho quad rightarrow quad r frac operatorname div vec q rho dot u frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d nbsp fuhrt aufs grad T q r T 2 1 T u 1 r s d 0 1 r s d u T s q r T grad T 0 displaystyle dot s frac operatorname grad T cdot vec q rho T 2 frac 1 T left dot u frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d right geq 0 quad rightarrow quad frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d dot u T dot s frac vec q rho T cdot operatorname grad T geq 0 nbsp Mit der Helmholtz schen freien Energie ps u s T ps s T u s T displaystyle psi u sT quad rightarrow quad dot psi s dot T dot u dot s T nbsp entsteht das Endergebnis 1 r s d ps s T q r T grad T 0 displaystyle frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d dot psi s dot T frac vec q rho T cdot operatorname grad T geq 0 nbsp Es ist s displaystyle boldsymbol sigma nbsp der Cauchy sche Spannungstensor d die Verzerrungsgeschwindigkeit und das Frobenius Skalarprodukt Dieses Skalarprodukt liefert die Leistung der Spannungen entlang eines Verzerrungsweges wahrend der Deformation eines Korpers Weiter ist ps displaystyle psi nbsp die Helmholtzsche freie Energie und grad T der Gradient der Temperatur ein Vektor mit der Dimension Temperatur pro Lange der in Richtung des starksten Temperaturanstiegs weist Im wichtigen Sonderfall in dem Temperaturanderungen vernachlassigt werden konnen vereinfacht sich diese lokale Form zu 1 r s d ps 0 displaystyle frac 1 rho boldsymbol sigma mathbf d dot psi geq 0 nbsp Die spezifische Spannungsleistung muss also jederzeit grosser sein als die Produktion an freier Energie Der Uberschuss wird dissipiert Die lokale Form ist weniger als Einschrankung physikalischer Prozesse sondern vielmehr als Anforderung an Materialmodelle zu interpretieren Es muss sichergestellt sein dass die lokale Form der Clausius Duhem Ungleichung von den Materialgleichungen fur beliebige Prozesse erfullt werden Eine Anwendung zeigt das Beispiel isotherme ideale Plastizitat unten Diese in der eulerschen Betrachtungsweise abgeleiteten Formeln lauten in der lagrangeschen Fassung Globale Form d d t V s 0 r 0 d V V r 0 T 0 r 0 d V A q 0 T 0 N d A displaystyle displaystyle frac mathrm d mathrm d t int V s 0 rho 0 mathrm d V geq int V frac r 0 T 0 rho 0 mathrm d V int A frac vec q 0 T 0 cdot vec N mathrm d A nbsp Lokale Form 1 r 0 T E ps 0 s 0 T 0 q 0 r 0 T 0 GRAD T 0 0 displaystyle dfrac 1 rho 0 tilde mathbf T dot mathbf E dot psi 0 s 0 dot T 0 dfrac vec q 0 rho 0 T 0 cdot operatorname GRAD T 0 geq 0 nbsp Isothermer Prozess 1 r 0 T E ps 0 0 displaystyle dfrac 1 rho 0 tilde mathbf T dot mathbf E dot psi 0 geq 0 nbsp Die mit null indizierten Grossen sind die mit den materiellen Koordinaten ausgedruckten Grossen T displaystyle tilde mathbf T nbsp der zweite Piola Kirchhoff sche Spannungstensor E displaystyle dot mathbf E nbsp die materielle Verzerrungsgeschwindigkeit GRAD der Gradient bezuglich der Koordinaten der Partikel des Korpers im undeformierten Ausgangszustand materielle Koordinaten und N displaystyle vec N nbsp ist die im undeformierten Ausgangszustand auf der Oberflache des Korpers nach aussen gerichtete Normale Beispiel isotherme ideale Plastizitat BearbeitenAnhand der isothermen idealen Plastizitat bei kleinen Deformationen soll aufgezeigt werden wie weit die Clausius Duhem Ungleichung hilft thermodynamisch konsistente Materialgleichungen zu formulieren Bei der idealen Plastizitat tritt beim plastischen Fliessen keine Verfestigung auf d h die Spannungs Dehnungs Kurve hat beim einachsialen Fliessen im Zugversuch einen horizontalen Verlauf Knete ist in etwa ideal plastisch In der Praxis findet dieses Modell Anwendung wenn nur die Fliessgrenze bekannt ist und bei der Berechnung eines Bauteils dessen Steifigkeit auf keinen Fall uberschatzt werden soll Die Konstitutivvariable ist die Gesamtdehnung e und die Materialgrosse ist der Spannungstensor s Bei kleinen Deformationen ist T s E e und E d e displaystyle tilde mathbf T boldsymbol sigma quad mathbf E boldsymbol varepsilon quad textsf und quad dot mathbf E mathbf d dot boldsymbol varepsilon nbsp Das Material besitzt einen elastischen Bereich in dem das Material elastisch reagiert und einen plastischen Bereich wo plastisches Fliessen stattfindet Das Fliessen wird mit der plastischen Dehnung ep dargestellt die eine innere Variable des Modells ist Die plastische Dehnung kann also nicht direkt von aussen beeinflusst oder vorgegeben werden Die Differenz zwischen der Gesamtdehnung und der plastischen Dehnung ist die elastische Dehnung ee die allein die Spannungen festlegt Die Gesamtdehnung wird also in einen elastischen und einen plastischen Anteil zerlegt e e e e p displaystyle boldsymbol varepsilon boldsymbol varepsilon e boldsymbol varepsilon p nbsp Die Fliessfunktion f displaystyle f nbsp trennt den elastischen vom plastischen Bereich f 3 2 s D s D k 2 0 displaystyle f dfrac 3 2 boldsymbol sigma mathrm D boldsymbol sigma mathrm D k 2 leq 0 nbsp Hier tritt der Spannungsdeviator sD und die Fliessgrenze k auf die ein Materialparameter ist Im elastischen Bereich ist f lt 0 und e p 0 displaystyle dot boldsymbol varepsilon p mathbf 0 nbsp Bei plastischem Fliessen ist f 0 e e 0 displaystyle dot boldsymbol varepsilon e mathbf 0 nbsp und daher 3 2 s D k c o n s t displaystyle sqrt dfrac 3 2 begin Vmatrix boldsymbol sigma mathrm D end Vmatrix k mathrm const nbsp was das besondere Merkmal der idealen Plastizitat ist Auf der linken Seite der Gleichung steht die von Mises Vergleichsspannung Die Helmholtzsche freie Energie soll nur von den elastischen Dehnungen abhangen ps ps e e displaystyle psi psi boldsymbol varepsilon e nbsp Diese Voraussetzungen genugen schon um einen groben Rahmen fur das Plastizitatsmodell festzulegen Die Clausius Duhem Ungleichung ergibt 1 1 r s e ps 1 r s e e e p d ps d e e e e 1 r s d ps d e e e e 1 r s e p 0 displaystyle frac 1 rho boldsymbol sigma dot boldsymbol varepsilon dot psi frac 1 rho boldsymbol sigma dot boldsymbol varepsilon e dot boldsymbol varepsilon p frac mathrm d psi mathrm d boldsymbol varepsilon e dot boldsymbol varepsilon e left frac 1 rho boldsymbol sigma frac mathrm d psi mathrm d boldsymbol varepsilon e right dot boldsymbol varepsilon e frac 1 rho boldsymbol sigma dot boldsymbol varepsilon p geq 0 nbsp Diese Ungleichung muss fur alle moglichen Prozesse erfullt sein Im elastischen Bereich e p 0 displaystyle dot boldsymbol varepsilon p mathbf 0 nbsp lasst sich das erreichen indem eine hyperelastische Spannungs Dehnungs Beziehung gewahlt wird 1 r s d ps d e e displaystyle frac 1 rho boldsymbol sigma frac mathrm d psi mathrm d boldsymbol varepsilon e nbsp Im plastischen Bereich e e 0 displaystyle dot boldsymbol varepsilon e mathbf 0 nbsp muss s e p 0 displaystyle boldsymbol sigma dot boldsymbol varepsilon p geq 0 nbsp fur alle Prozesse gelten was sich mit einer assoziierten Fliessregel bewerkstelligen lasst 1 e p g d f d s 3 g s D displaystyle dot boldsymbol varepsilon p dot gamma frac mathrm d f mathrm d boldsymbol sigma 3 dot gamma boldsymbol sigma mathrm D nbsp Der Proportionalitatsfaktor g displaystyle dot gamma nbsp ist der plastische Multiplikator Beim plastischen Fliessen bleiben die elastischen Dehnungen konstant weswegen e e p displaystyle dot boldsymbol varepsilon dot boldsymbol varepsilon p nbsp gilt Weil die plastische Dehnrate e p displaystyle dot boldsymbol varepsilon p nbsp deviatorisch ist verschwindet die Spur der Dehnungsgeschwindigkeit die gleich der lokalen Volumenanderung ist Aus diesem Grund ist beim plastischen Fliessen die Dichte konstant e p 0 r 0 displaystyle dot boldsymbol varepsilon p neq mathbf 0 quad rightarrow quad dot rho 0 nbsp Nach der Clausius Duhem Ungleichung darf die Leistung der Spannungen an den plastischen Dehnungen nicht negativ sein s e p 3 g s s D 3 g s D s D 0 g 0 displaystyle boldsymbol sigma dot boldsymbol varepsilon p 3 dot gamma boldsymbol sigma boldsymbol sigma mathrm D 3 dot gamma boldsymbol sigma mathrm D boldsymbol sigma mathrm D geq 0 quad rightarrow quad dot gamma geq 0 nbsp weswegen der plastische Multiplikator also nicht negativ sein darf Er berechnet sich aus der Konsistenzbedingung f 0 3 s D s D 3 s D s 3 s D d d t r d ps d e e 3 s D r d 2 ps d e e 2 e e 3 s D C e e p 3 s D C e 3 g s D g s D C e 3 s D C s D displaystyle begin aligned dot f 0 amp 3 boldsymbol sigma mathrm D dot boldsymbol sigma mathrm D 3 boldsymbol sigma mathrm D dot boldsymbol sigma 3 boldsymbol sigma mathrm D frac mathrm d mathrm d t left rho frac mathrm d psi mathrm d boldsymbol varepsilon e right 3 boldsymbol sigma mathrm D rho frac mathrm d 2 psi mathrm d boldsymbol varepsilon e 2 dot boldsymbol varepsilon e amp 3 boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon dot boldsymbol varepsilon p 3 boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon 3 dot gamma boldsymbol sigma mathrm D rightarrow dot gamma amp frac boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon 3 boldsymbol sigma mathrm D mathbb C boldsymbol sigma mathrm D end aligned nbsp Darin ist C r d 2 ps d e e 2 displaystyle mathbb C rho tfrac mathrm d 2 psi mathrm d boldsymbol varepsilon e 2 nbsp der Elastizitatstensor Der plastische Multiplikator ist bestimmt positiv wenn Zahler und Nenner im Bruch auf der rechten Seite seiner Bestimmungsgleichung positiv sind Zunachst ist also zu fordern dass beim plastischen Fliessen die Spannungen nicht verschwinden also die Fliessgrenze k positiv ist Im Zahler des Bruchs steht die Belastungsbedingung d h plastisches Fliessen soll erst einsetzen wenn s D C e gt 0 displaystyle boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon gt 0 nbsp gilt Bei f 0 displaystyle f 0 nbsp und s D C e 0 displaystyle boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon 0 nbsp liegt eine neutrale Belastung vor bei der kein plastisches Fliessen stattfindet Beim Hooke schen Gesetz istC 2 m I l I I s D C e 2 m s D e displaystyle mathbb C 2 mu mathbb I lambda mathbf I otimes I quad rightarrow quad boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon 2 mu boldsymbol sigma mathrm D dot boldsymbol varepsilon nbsp In dieser Gleichung ist I der Einheitstensor zweiter und I displaystyle mathbb I nbsp derjenige vierter Stufe und m l displaystyle mu lambda nbsp sind die erste und zweite Lame Konstante Hier ware also auch ein positiver Schubmodul m displaystyle mu nbsp zu verlangen Der Nenner ist stets positiv wenn der Elastizitatstensor positiv definit ist Im Fall des Hooke schen Gesetzes wird diese Bedingung eingehalten wenn die Lame Konstanten positiv sind Die Tabelle listet nochmal alle aus der Clausius Duhem Ungleichung abgeleiteten Eigenschaften des Modells auf Eigenschaft Bedingung FormelSpannungs Dehnungs Beziehung Hyperelastizitat 1 r s d ps d e e displaystyle frac 1 rho boldsymbol sigma frac mathrm d psi mathrm d boldsymbol varepsilon e nbsp Elastizitatstensor positiv definit s C s gt 0 s 0 displaystyle boldsymbol sigma mathbb C boldsymbol sigma gt 0 quad forall boldsymbol sigma neq mathbf 0 nbsp Fliessgrenze positiv k gt 0 displaystyle k gt 0 nbsp Fliessregel Leistung der Spannungen an der plastischen Dehnrate nicht negativ e p 3 g s D g 0 displaystyle dot boldsymbol varepsilon p 3 dot gamma boldsymbol sigma mathrm D wedge dot gamma geq 0 nbsp Plastisches Fliessen Belastungsbedingung ist erfullt f 0 displaystyle f 0 nbsp und s D C e gt 0 displaystyle boldsymbol sigma mathrm D mathbb C dot boldsymbol varepsilon gt 0 nbsp Bei Verwendung des Hooke schen Gesetzes ist wie eingangs angekundigt m l gt 0 displaystyle mu lambda gt 0 nbsp zu fordern Die Belastungsbedingung reduziert sich auf f 0 und s D e gt 0 displaystyle f 0 quad textsf und quad boldsymbol sigma mathrm D dot boldsymbol varepsilon gt 0 nbsp Unter diesen Bedingungen ist die thermodynamische Konsistenz der idealen Plastizitat bei isothermen Prozessen sichergestellt Fussnoten Bearbeiten a b Die Frechet Ableitung einer Funktion f displaystyle f nbsp nach x displaystyle x nbsp ist der beschrankte lineare Operator A displaystyle mathcal A nbsp der sofern er existiert in alle Richtungen h displaystyle h nbsp dem Gateaux Differential entspricht also A h d d s f x s h s 0 lim s 0 f x s h f x s h displaystyle mathcal A h left frac mathrm d mathrm d s f x sh right s 0 lim s rightarrow 0 frac f x sh f x s quad forall h nbsp gilt Darin ist s R f x und h displaystyle s in mathbb R f x textsf und h nbsp skalar vektor oder tensorwertig aber x displaystyle x nbsp und h displaystyle h nbsp gleichartig Dann wird auch A f x displaystyle mathcal A frac partial f partial x nbsp geschrieben Literatur BearbeitenHolm Altenbach Kontinuumsmechanik Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen 2 Auflage Springer Vieweg Berlin u a 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 Peter Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer Berlin u a 2000 ISBN 3 540 66114 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Clausius Duhem Ungleichung amp oldid 174679380
