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Cartan Kriterium Das auf Élie Cartan zurückgehende ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der Lie Algebren der ein

Cartan-Kriterium

Das auf Élie Cartan zurückgehende Cartan-Kriterium ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der Lie-Algebren, der ein Kriterium für die Auflösbarkeit einer Lie-Algebra darstellt. Das sich daraus ergebende Kriterium für Halbeinfachheit wird oft ebenfalls Cartan-Kriterium genannt. Manche Autoren sprechen daher genauer vom Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit und vom Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit.

Definitionen Bearbeiten

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum bezeichne die Spur des Endomorphismus auf und die allgemeine lineare Lie-Algebra über , das ist die Lie-Algebra aller Endomorphismen mit der Kommutatorklammer.

Für eine Lie-Algebra bezeichne die von allen Kommutatoren erzeugte Lie-Unteralgebra von . Das kann man iterieren, indem man definiert. Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, falls es ein mit gibt. Schließlich sei die adjungierte Darstellung, die jedes auf den Endomorphismus abbildet.

Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit Bearbeiten

Es seien ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0 und eine Lie-Unteralgebra von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist auflösbar.
  • für alle und .

Korollar zum Satz Bearbeiten

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist auflösbar.
  • für alle und .

Ist nämlich auflösbar, so auch das homomorphe Bild und wegen folgt die genannte Bedingung aus obigem Satz. Ist umgekehrt die Bedingung erfüllt, so folgt aus obigem Satz, dass auflösbar ist. Da der Kern der adjungierten Darstellung das Zentrum der Lie-Algebra ist und dieses als abelsche Lie-Algebra trivialer Weise auflösbar ist, folgt insgesamt die Auflösbarkeit von .

Verwendet man die Definition der Killing-Form , so kann die Bedingung in obigem Korollar auch kurz als geschrieben werden.

Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit Bearbeiten

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 sind folgende Aussagen äquivalent:

Bemerkungen Bearbeiten

Das oben vorgestellte Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit wird dazu verwendet, das ebenfalls auf Cartan zurückgehende Kriterium für Halbeinfachheit zu beweisen, es wird aber nicht von allen Autoren so bezeichnet. Die unten genannten Lehrbücher von Humphreys oder Hilgert-Neeb nennen das Kriterium für Auflösbarkeit einfach das Cartan-Kriterium und schreiben das Halbeinfachheitskriterium nicht ausdrücklich Cartan zu, während beispielsweise die Autoren Sagle-Walde oder Knapp die hier vorgestellten Satzbezeichnungen verwenden.

Die Kriterien gelten nicht im Falle positiver Charakteristik des Grundkörpers. Ist für eine Primzahl und die Witt-Algebra mit kanonischer Basis und Produkt , so ist eine einfache Lie-Algebra, deren Killing-Form 0 ist. Damit ist für beide Kriterien ein Gegenbeispiel: Wäre das Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit hier richtig, wäre die Bedingung wegen des Verschwindens der Killing-Form trivialer Weise erfüllt und die Algebra müsste auflösbar sein, sie ist aber einfach. Wäre das Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit hier gültig, so müsste die Killing-Form der einfachen und somit halbeinfachen Algebra nicht-degeneriert sein, sie verschwindet aber identisch.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3
  2. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag (1972), ISBN 978-0-387-90053-7, Kapitel II, 4.3: Cartan's Criterion
  3. Arthur A. Sagle, Ralph Walde: Introduction to Lie groups and Lie algebras, Academic Press (1973), ISBN 0-080-87366-9, Satz 12.16
  4. Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser (2002), ISBN 0-8176-4259-5, Satz 1.46.
  5. Arthur A. Sagle, Ralph Walde: Introduction to Lie groups and Lie algebras, Academic Press (1973), ISBN 0-080-87366-9, Satz 12.17
  6. Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser (2002), ISBN 0-8176-4259-5, Satz 1.45
  7. Dmitriy Rumynin: Modular Lie Algebras, Lecture Notes 2010
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Veröffentlichungsdatum:
Das auf Elie Cartan zuruckgehende Cartan Kriterium ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der Lie Algebren der ein Kriterium fur die Auflosbarkeit einer Lie Algebra darstellt Das sich daraus ergebende Kriterium fur Halbeinfachheit wird oft ebenfalls Cartan Kriterium genannt Manche Autoren sprechen daher genauer vom Cartan Kriterium fur Auflosbarkeit und vom Cartan Kriterium fur Halbeinfachheit Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Cartan Kriterium fur Auflosbarkeit 3 Korollar zum Satz 4 Cartan Kriterium fur Halbeinfachheit 5 Bemerkungen 6 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenFur einen endlichdimensionalen Vektorraum V displaystyle V nbsp bezeichne S p u r x displaystyle mathrm Spur x nbsp die Spur des Endomorphismus x displaystyle x nbsp auf V displaystyle V nbsp und g l V displaystyle mathfrak gl V nbsp die allgemeine lineare Lie Algebra uber V displaystyle V nbsp das ist die Lie Algebra aller Endomorphismen mit der Kommutatorklammer Fur eine Lie Algebra L displaystyle L nbsp bezeichne L 1 L L displaystyle L 1 L L nbsp die von allen Kommutatoren x y x y L displaystyle x y x y in L nbsp erzeugte Lie Unteralgebra von L displaystyle L nbsp Das kann man iterieren indem man L n 1 L n L n displaystyle L n 1 L n L n nbsp definiert Eine Lie Algebra L displaystyle L nbsp heisst auflosbar falls es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit L n 0 displaystyle L n 0 nbsp gibt Schliesslich sei a d L g l L displaystyle mathrm ad L rightarrow mathfrak gl L nbsp die adjungierte Darstellung die jedes x L displaystyle x in L nbsp auf den Endomorphismus a d x L L y x y displaystyle mathrm ad x L rightarrow L y mapsto x y nbsp abbildet Cartan Kriterium fur Auflosbarkeit BearbeitenEs seien V displaystyle V nbsp ein endlichdimensionaler Vektorraum uber einem Korper der Charakteristik 0 und L displaystyle L nbsp eine Lie Unteralgebra von g l V displaystyle mathfrak gl V nbsp Dann sind folgende Aussagen aquivalent 1 2 3 4 L displaystyle L nbsp ist auflosbar S p u r x y 0 displaystyle mathrm Spur xy 0 nbsp fur alle x L L displaystyle x in L L nbsp und y L displaystyle y in L nbsp Korollar zum Satz BearbeitenFur eine endlichdimensionale Lie Algebra L displaystyle L nbsp uber einem Korper der Charakteristik 0 sind folgende Aussagen aquivalent L displaystyle L nbsp ist auflosbar S p u r a d x a d y 0 displaystyle mathrm Spur mathrm ad x mathrm ad y 0 nbsp fur alle x L L displaystyle x in L L nbsp und y L displaystyle y in L nbsp Ist namlich L displaystyle L nbsp auflosbar so auch das homomorphe Bild a d L displaystyle mathrm ad L nbsp und wegen a d L L a d L a d L displaystyle mathrm ad L L mathrm ad L mathrm ad L nbsp folgt die genannte Bedingung aus obigem Satz Ist umgekehrt die Bedingung erfullt so folgt aus obigem Satz dass a d L g l L displaystyle mathrm ad L subset mathfrak gl L nbsp auflosbar ist Da der Kern der adjungierten Darstellung das Zentrum der Lie Algebra ist und dieses als abelsche Lie Algebra trivialer Weise auflosbar ist folgt insgesamt die Auflosbarkeit von L displaystyle L nbsp Verwendet man die Definition der Killing Form k x y S p u r a d x a d y displaystyle kappa x y mathrm Spur mathrm ad x mathrm ad y nbsp so kann die Bedingung in obigem Korollar auch kurz als k L L L 0 displaystyle kappa L L L 0 nbsp geschrieben werden Cartan Kriterium fur Halbeinfachheit BearbeitenFur eine endlichdimensionale Lie Algebra L displaystyle L nbsp uber einem Korper der Charakteristik 0 sind folgende Aussagen aquivalent 5 6 L displaystyle L nbsp ist halbeinfach Die Killing Form auf L displaystyle L nbsp ist nicht ausgeartet Bemerkungen BearbeitenDas oben vorgestellte Cartan Kriterium fur Auflosbarkeit wird dazu verwendet das ebenfalls auf Cartan zuruckgehende Kriterium fur Halbeinfachheit zu beweisen es wird aber nicht von allen Autoren so bezeichnet Die unten genannten Lehrbucher von Humphreys oder Hilgert Neeb nennen das Kriterium fur Auflosbarkeit einfach das Cartan Kriterium und schreiben das Halbeinfachheitskriterium nicht ausdrucklich Cartan zu wahrend beispielsweise die Autoren Sagle Walde oder Knapp die hier vorgestellten Satzbezeichnungen verwenden Die Kriterien gelten nicht im Falle positiver Charakteristik des Grundkorpers Ist K Z p Z displaystyle K mathbb Z p mathbb Z nbsp fur eine Primzahl p 5 displaystyle p geq 5 nbsp und W displaystyle W nbsp die Witt Algebra K p displaystyle K p nbsp mit kanonischer Basis e n n K displaystyle e n n in K nbsp und Produkt e i e j i j e i j i j K displaystyle e i e j i j e i j i j in K nbsp so ist W displaystyle W nbsp eine einfache Lie Algebra deren Killing Form 0 ist 7 Damit ist W displaystyle W nbsp fur beide Kriterien ein Gegenbeispiel Ware das Cartan Kriterium fur Auflosbarkeit hier richtig ware die Bedingung wegen des Verschwindens der Killing Form trivialer Weise erfullt und die Algebra musste auflosbar sein sie ist aber einfach Ware das Cartan Kriterium fur Halbeinfachheit hier gultig so musste die Killing Form der einfachen und somit halbeinfachen Algebra W displaystyle W nbsp nicht degeneriert sein sie verschwindet aber identisch Einzelnachweise Bearbeiten Joachim Hilgert Karl Hermann Neeb Lie Gruppen und Lie Algebren Vieweg 1999 ISBN 3 528 06432 3 James E Humphreys Introduction to Lie Algebras and Representation Theory Berlin New York Springer Verlag 1972 ISBN 978 0 387 90053 7 Kapitel II 4 3 Cartan s Criterion Arthur A Sagle Ralph Walde Introduction to Lie groups and Lie algebras Academic Press 1973 ISBN 0 080 87366 9 Satz 12 16 Anthony W Knapp Lie Groups Beyond an Introduction Birkhauser 2002 ISBN 0 8176 4259 5 Satz 1 46 Arthur A Sagle Ralph Walde Introduction to Lie groups and Lie algebras Academic Press 1973 ISBN 0 080 87366 9 Satz 12 17 Anthony W Knapp Lie Groups Beyond an Introduction Birkhauser 2002 ISBN 0 8176 4259 5 Satz 1 45 Dmitriy Rumynin Modular Lie Algebras Lecture Notes 2010 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cartan Kriterium amp oldid 226819753