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Blume Capel Modell Das nach Martin Blume 1 und Hans Willem Capel 2 ist eine Verallgemeinerung des Ising Modells in der F

Blume-Capel-Modell

Das Blume-Capel-Modell nach Martin Blume und Hans Willem Capel ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells in der Festkörperphysik. Es beschreibt eine Situation, in der sich die Spins mehrerer wechselwirkender Teilchen parallel, antiparallel oder orthogonal zu einem externen Magnetfeld ausrichten können, womit zusätzlich zum Ising-Modell auch der orthogonale Fall abgedeckt ist. Anders ausgedrückt beschreibt das Blume-Capel-Modell Spins mit einem Betrag , während das Ising-Modell Spins mit einem Betrag beschreibt.

Definition Bearbeiten

Der dem Blume-Capel-Modell zugrunde liegende Hamilton-Operator , dessen Eigenwerte die möglichen Energien des Systems sind, lautet:

Dabei ist

  • das zero-field splitting, das die Energiedifferenz zwischen dem Singulett und dem Dublett angibt
  • die Stärke der Wechselwirkung benachbarter Spins
  • das magnetische Moment der Spins
  • die Stärke des externen Magnetfeldes
  • die -Komponente des -ten Spins.

Die Notation unter der Summe soll ausdrücken, dass nur über die jeweils nächsten Nachbarn summiert wird.

Der größte Unterschied zum Ising-Modell ist der zusätzliche, vom Parameter abhängige Term im Hamilton-Operator. Für nur zwei mögliche Ausrichtungen des Spins wie im Ising-Modell wäre dieser Term eine Konstante und, wie ein konstanter Term in einem Potential, physikalisch bedeutungslos.

Eigenschaften Bearbeiten

Abhängig vom Wert von nimmt das System verschiedene Grundzustände ein und zeigt unterschiedliches Verhalten beim Phasenübergang.

Bezeichne die Anzahl der nächsten Nachbarn und die Anzahl der Spins im System, so gilt:

  • Für ist der Grundzustand magnetisch ungeordnet und alle Spins liegen orthogonal zum Magnetfeld, . Die Grundzustandsenergie liegt bei .
  • Für ist der Grundzustand entartet.
  • Für ist der Grundzustand vollständig magnetisch geordnet. Das heißt, alle Spins nehmen den Wert an und die Grundzustandsenergie liegt bei . In diesem Bereich existiert also eine Curie-Temperatur , bei der das System von einem magnetisch ungeordneten in einen magnetisch geordneten Zustand übergeht. Dieser Phasenübergang ist

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Martin Blume: Theory of the First-Order Magnetic Phase Change in UO2. In: Physical Review. Band 141, Nr. 2, 1965, S. 517–524, doi:10.1103/PhysRev.141.517 (englisch).
  2. Hans Willem Capel: On the possibility of first-order phase transitions in Ising systems of triplet ions with zero-field splitting. In: Physica. Band 32, Nr. 5, 1966, S. 966–988, doi:10.1016/0031-8914(66)90027-9 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Das Blume Capel Modell nach Martin Blume 1 und Hans Willem Capel 2 ist eine Verallgemeinerung des Ising Modells in der Festkorperphysik Es beschreibt eine Situation in der sich die Spins mehrerer wechselwirkender Teilchen parallel antiparallel oder orthogonal zu einem externen Magnetfeld ausrichten konnen womit zusatzlich zum Ising Modell auch der orthogonale Fall abgedeckt ist Anders ausgedruckt beschreibt das Blume Capel Modell Spins mit einem Betrag s 1 displaystyle s 1 wahrend das Ising Modell Spins mit einem Betrag s 1 2 displaystyle s tfrac 1 2 beschreibt Definition BearbeitenDer dem Blume Capel Modell zugrunde liegende Hamilton Operator H displaystyle mathcal H nbsp dessen Eigenwerte die moglichen Energien des Systems sind lautet H D i 1 s i z 2 J i j s i z s j z m H i s i z displaystyle mathcal H D sum i 1 s i z2 J sum langle i j rangle s i z s j z mu H sum i s i z nbsp Dabei ist D displaystyle D nbsp das zero field splitting das die Energiedifferenz zwischen dem Singulett s z 0 displaystyle s z 0 nbsp und dem Dublett s z 1 displaystyle s z pm 1 nbsp angibt J displaystyle J nbsp die Starke der Wechselwirkung benachbarter Spins m displaystyle mu nbsp das magnetische Moment der Spins H displaystyle H nbsp die Starke des externen Magnetfeldes s i z displaystyle s i z nbsp die z displaystyle z nbsp Komponente des i displaystyle i nbsp ten Spins Die Notation unter der Summe soll ausdrucken dass nur uber die jeweils nachsten Nachbarn summiert wird Der grosste Unterschied zum Ising Modell ist der zusatzliche vom Parameter D displaystyle D nbsp abhangige Term im Hamilton Operator Fur nur zwei mogliche Ausrichtungen des Spins wie im Ising Modell ware dieser Term eine Konstante und wie ein konstanter Term in einem Potential physikalisch bedeutungslos Eigenschaften BearbeitenAbhangig vom Wert von D displaystyle D nbsp nimmt das System verschiedene Grundzustande ein und zeigt unterschiedliches Verhalten beim Phasenubergang Bezeichne n displaystyle n nbsp die Anzahl der nachsten Nachbarn und N displaystyle N nbsp die Anzahl der Spins im System so gilt Fur D gt 1 2 n J displaystyle D gt tfrac 1 2 nJ nbsp ist der Grundzustand magnetisch ungeordnet und alle Spins liegen orthogonal zum Magnetfeld s i 0 displaystyle s i 0 nbsp Die Grundzustandsenergie liegt bei E 0 N D displaystyle E 0 ND nbsp Fur D 1 2 n J displaystyle D tfrac 1 2 nJ nbsp ist der Grundzustand entartet Fur D lt 1 2 n J displaystyle D lt tfrac 1 2 nJ nbsp ist der Grundzustand vollstandig magnetisch geordnet Das heisst alle Spins nehmen den Wert s i 1 displaystyle s i 1 nbsp an und die Grundzustandsenergie liegt bei E 0 1 2 N n J displaystyle E 0 tfrac 1 2 NnJ nbsp In diesem Bereich existiert also eine Curie Temperatur T C displaystyle T mathrm C nbsp bei der das System von einem magnetisch ungeordneten in einen magnetisch geordneten Zustand ubergeht Dieser Phasenubergang ist fur lt D lt 1 3 n J ln 4 displaystyle infty lt D lt tfrac 1 3 nJ ln 4 nbsp ein Phasenubergang zweiter Ordnung Die Curie Temperatur sinkt von n J k B displaystyle frac nJ k mathrm B nbsp bei D displaystyle D infty nbsp auf 1 3 n J k B displaystyle frac 1 3 frac nJ k mathrm B nbsp bei D 1 3 n J ln 4 displaystyle D tfrac 1 3 nJ ln 4 nbsp darin ist k B displaystyle k mathrm B nbsp die Boltzmann Konstante fur 1 3 n J ln 4 lt D lt 1 2 n J displaystyle tfrac 1 3 nJ ln 4 lt D lt tfrac 1 2 nJ nbsp ein Phasenubergang erster Ordnung bei dem die Magnetisierung abrupt von Null auf einen endlichen Wert springt Die Curie Temperatur sinkt weiter von 1 3 n J k B displaystyle frac 1 3 frac nJ k mathrm B nbsp bei D 1 3 n J ln 4 displaystyle D tfrac 1 3 nJ ln 4 nbsp auf 0 displaystyle 0 nbsp K bei D 1 2 n J displaystyle D tfrac 1 2 nJ nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Martin Blume Theory of the First Order Magnetic Phase Change in UO2 In Physical Review Band 141 Nr 2 1965 S 517 524 doi 10 1103 PhysRev 141 517 englisch Hans Willem Capel On the possibility of first order phase transitions in Ising systems of triplet ions with zero field splitting In Physica Band 32 Nr 5 1966 S 966 988 doi 10 1016 0031 8914 66 90027 9 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Blume Capel Modell amp oldid 189823491