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Bethe Formel Die auch Bethe Gleichung Bethe Bloch Formel Bethe Bloch Gleichung oder Bremsformel gibt den Energieverlust

Bethe-Formel

Die Bethe-Formel (auch Bethe-Gleichung, Bethe-Bloch-Formel, Bethe-Bloch-Gleichung oder Bremsformel) gibt den Energieverlust pro Weg an, den schnelle geladene schwere Teilchen (z. B. Protonen, Alphateilchen, Ionen) beim Durchgang durch Materie durch inelastische Stöße mit den Elektronen erleiden; die übertragene Energie bewirkt im Material Anregung oder Ionisation. Dieser Energieverlust, auch als elektronische Abbremsung oder ungenau als Ionisationsverlust bezeichnet, hängt ab von Geschwindigkeit und Ladung der Projektilteilchen und vom Targetmaterial.

Die klassische nicht-relativistische Formel hat schon 1913 Niels Bohr aufgestellt, die quantenmechanisch nicht-relativistische Formel wurde dann 1930, die unten gezeigte quantenmechanisch-relativistische Version 1932 von Hans Bethe aufgestellt.

Die Bethe-Bloch-Formel gilt nicht für einfallende Elektronen. Zum einen ist für diese der Energieverlust wegen ihrer Ununterscheidbarkeit mit den Hüllenelektronen des Materials anders. Zum anderen kommt bei Elektronen aufgrund ihrer geringen Masse ein bedeutender Energieverlust durch Bremsstrahlung hinzu. Der Energieverlust von Elektronen kann stattdessen mit Hilfe der Berger-Seltzer-Formel beschrieben werden.

Weitere Mechanismen, die zum Gesamt-Energieverlust schneller geladener schwerer Teilchen in Materie beitragen können, sind die nukleare Abbremsung (elastische Coulomb-Stöße mit den Atomkernen, siehe Bremsvermögen) und die Bremsstrahlung.

Die Formel Bearbeiten

Bremsvermögen von Aluminium für Protonen als Funktion der Energie des Protons, mit Bethe-Formel ohne (rot) bzw. mit Korrekturen (blau)

Bewegen sich schnelle geladene Teilchen durch Materie, führen sie inelastische Stöße mit den Hüllenelektronen des Materials aus. Dies führt zur Anregung oder zur Ionisation der Atome. Dadurch erleidet das durchquerende Teilchen einen Energieverlust, der durch die folgende Formel näherungsweise angegeben wird. Ihre relativistische Form lautet:

wobei

=
= momentane Geschwindigkeit des Teilchens
= Lichtgeschwindigkeit
= Energie des Teilchens
= Weglänge
= Ladungszahl des Teilchens ( = Ladung des Teilchens)
= Elektrische Feldkonstante
= Elementarladung
= Elektronendichte des Materials
= Masse des Elektrons
= mittleres Anregungspotential des Materials (s. u.)

Die Elektronendichte lässt sich dabei mit berechnen; ist die Dichte des Materials, und Ordnungs- bzw. Massenzahl des Materials und die atomare Masseneinheit.

Im Bild rechts bedeuten die kleinen Kreise Messergebnisse von verschiedenen Arbeitsgruppen; die rote Kurve stellt die Bethe-Formel dar. Offenbar ist die Übereinstimmung von Bethes Theorie mit den Experimenten oberhalb von 0,5 MeV sehr gut, besonders wenn die Korrekturen (s. u.) hinzugefügt werden (blaue Kurve).

Für kleine Energien, d. h. kleine Teilchengeschwindigkeiten , reduziert sich die Bethe-Formel auf

Bei kleinen Energien ist die Bethe-Formel nur dann gültig, wenn diese noch hoch genug sind, dass das durchquerende Teilchen keine Hüllenelektronen mit sich führt. Anderenfalls wird seine effektive Ladung dadurch reduziert, und das Bremsvermögen ist kleiner. Es gibt für kleine Energien eine verfeinerte Theorie der elektronischen Abbremsung von Jens Lindhard, Morten Scharff und Hans E. Schiøtt (LSS-Theorie). Näherungsweise wird auch die Barkas-Formel für die effektive Ladungszahl benutzt:

Allgemein fällt der Energieverlust mit steigender Energie zunächst etwa mit ab und erreicht ein Minimum bei etwa , wobei die Masse des Teilchens ist (also z. B. für Protonen etwa bei 3 GeV, was im Bild nicht mehr sichtbar ist). Da für viele in der Teilchenphysik relevante Strahlungsteilchen und Absorbermaterialien der Energieverlust in der Nähe des Minimums ungefähr den gleichen Wert hat, werden Teilchen mit einer Energie in der Nähe des Minimums häufig zusammengefasst und als MIPs (Minimum Ionizing Particles, dt. minimal ionisierende Teilchen) bezeichnet. Als Faustformel für den spezifischen Energieverlust der MIPs gilt:

Bei noch höherer Energie steigt der Energieverlust wieder an. Bei sehr hohen Energien müssen auch Teilchenreaktionen berücksichtigt werden, die zu Sekundärteilchen führen. Der Energieverlust kann daher in materialabhängiger Weise noch stärker ansteigen.

In der Strahlenbiologie nennt man die Energieabgabe ionisierender Teilchen gemäß der Bethe-Bloch-Gleichung den Linearen Energietransfer () und verwendet die Einheit Kiloelektronenvolt pro Mikrometer (keV/µm).

Das mittlere Anregungspotential Bearbeiten

Im Gültigkeitsbereich der Bethe-Formel (1) wird das durchdrungene Material neben der Teilchendichte nur durch einzige Konstante, das mittlere Anregungspotential , beschrieben.

Felix Bloch hat 1933 gezeigt, dass das mittlere Anregungspotential der Atome im Mittel etwa

beträgt, wo die Ordnungszahl der Atome des Materials bedeutet. Setzt man diese Größe in Formel (1) oben ein, so führt das zu einer Gleichung, die oft als Bethe-Bloch-Gleichung bezeichnet wird. Es gibt aber genauere Tabellen von als Funktion von . Mit ihnen erhält man bessere Resultate als mit Formel (2).

Das mittlere Anregungspotential von Elementen, dividiert durch die Ordnungszahl , aufgetragen über der Ordnungszahl

Im Bild ist das mittlere Anregungspotential der verschiedenen Elemente gezeigt, das die Information über das jeweilige Atom enthält. Die Daten stammen aus dem genannten ICRU-Report. Den Spitzen und Tälern in der Darstellung („-Oszillationen“, wobei die Ordnungszahl des Materials bedeutet) entsprechen niedrigere bzw. höhere Werte des Bremsvermögens; diese Oszillationen beruhen auf der Schalenstruktur der Atome. Wie das Bild zeigt, gilt Formel (2) nur näherungsweise.

Korrekturen Bearbeiten

Die Bethe-Formel wurde von Bethe mit Hilfe der quantenmechanischen Störungstheorie abgeleitet, das Ergebnis ist daher dem Quadrat der Ladung proportional. Eine bessere Beschreibung erhält man, wenn man auch Abweichungen berücksichtigt, die höheren Potenzen von entsprechen, und zwar den Barkas-Andersen-Effekt (proportional nach Walter H. Barkas und Hans Henrik Andersen) und die Bloch-Korrektur (proportional ). Auch muss die Bewegung der Hüllenelektronen im Atom des Materials berücksichtigt werden („Schalenkorrektur“).

Diese Korrekturen sind beispielsweise in den Programmen PSTAR und ASTAR des National Institute of Standards and Technology (NIST), die das Bremsvermögen für Protonen bzw. Alphateilchen berechnen, eingebaut. Die Korrekturen sind groß bei niedrigen Energien und werden immer kleiner, je größer die Energie wird.

Zusätzlich kommt bei sehr hohen Energien noch Fermis Dichtekorrektur hinzu.

Literatur Bearbeiten

  • P. Sigmund: Particle Penetration and Radiation Effects, General Aspects and Stopping of Swift Point Charges (= Springer Series in Solid State Sciences. Vol. 151). Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-72622-7.
  • H. Bethe: Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie. In: Annalen der Physik. Band 397, Nr. 3, 1930, S. 325–400, doi:10.1002/andp.19303970303 (Ursprüngliche Publikation von Bethe).
  • F. Bloch: Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie. In: Annalen der Physik. Band 408, Nr. 3, 1933, S. 285–320, doi:10.1002/andp.19334080303 (Ursprüngliche Publikation von Bloch).
  • N. Bohr: On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles on passing through matter. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Band 25, Nr. 145, 1913, S. 10–31, doi:10.1080/14786440108634305 (Vorarbeiten von Bohr).
  • N. Bohr: On the decrease of velocity of swiftly moving electrified particles in passing through matter. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Band 30, Nr. 178, Oktober 1915, S. 581–612, doi:10.1080/14786441008635432 (Vorarbeiten von Bohr).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. N. Bohr: On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles on passing through matter. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Band 25, Nr. 145, 1913, S. 10–31, doi:10.1080/14786440108634305.
  2. P. Sigmund: Particle Penetration and Radiation Effects, General Aspects and Stopping of Swift Point Charges (= Springer Series in Solid State Sciences. Vol. 151). Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-72622-7.
  3. H. A. Bethe, J. Ashkin: Passage of radiation through matter. In: E. Segré (Hrsg.): Experimental Nuclear Physics. Vol. 1, Part II. New York 1953, S. 253.
  4. cern.ch: (Memento vom 14. Dezember 2013 im Internet Archive)
  5. (Memento vom 6. Februar 2012 im Internet Archive)
  6. K. Bethge, G. Walter, B. Wiedemann: Kernphysik. 3. Auflage, Springer, 2007, S. 118, 121.
  7. Jürgen Kiefer: Biologische Strahlenwirkung. Eine Einführung in die Grundlagen von Strahlenschutz und Strahlenanwendung. Heidelberg (Springer) 1981, ISBN 978-3-642-67947-6, S. 47
  8. Claude Amsler: Kern- und Teilchenphysik. vdf Hochschulverlag AG, 2007, ISBN 978-3-8252-2885-9, S. 116 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  9. F. Bloch: Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie. In: Annalen der Physik. Band 408, Nr. 3, 1933, S. 285–320, doi:10.1002/andp.19334080303.
  10. ↑ ICRU Report 49, Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles. International Commission on Radiation Units and Measurements, Bethesda, MD, USA (1993)
  11. PSTAR and ASTAR Databases for Protons and Helium Ions
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Bethe Formel auch Bethe Gleichung Bethe Bloch Formel Bethe Bloch Gleichung oder Bremsformel gibt den Energieverlust pro Weg an den schnelle geladene schwere Teilchen z B Protonen Alphateilchen Ionen beim Durchgang durch Materie durch inelastische Stosse mit den Elektronen erleiden die ubertragene Energie bewirkt im Material Anregung oder Ionisation Dieser Energieverlust auch als elektronische Abbremsung oder ungenau als Ionisationsverlust bezeichnet hangt ab von Geschwindigkeit und Ladung der Projektilteilchen und vom Targetmaterial Die klassische nicht relativistische Formel hat schon 1913 Niels Bohr aufgestellt 1 die quantenmechanisch nicht relativistische Formel wurde dann 1930 die unten gezeigte quantenmechanisch relativistische Version 1932 von Hans Bethe aufgestellt 2 Die Bethe Bloch Formel gilt nicht fur einfallende Elektronen 3 Zum einen ist fur diese der Energieverlust wegen ihrer Ununterscheidbarkeit mit den Hullenelektronen des Materials anders Zum anderen kommt bei Elektronen aufgrund ihrer geringen Masse ein bedeutender Energieverlust durch Bremsstrahlung hinzu Der Energieverlust von Elektronen kann stattdessen mit Hilfe der Berger Seltzer Formel beschrieben werden 4 Weitere Mechanismen die zum Gesamt Energieverlust schneller geladener schwerer Teilchen in Materie beitragen konnen sind die nukleare Abbremsung elastische Coulomb Stosse mit den Atomkernen siehe Bremsvermogen und die Bremsstrahlung Inhaltsverzeichnis 1 Die Formel 2 Das mittlere Anregungspotential 3 Korrekturen 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDie Formel Bearbeiten nbsp Bremsvermogen von Aluminium fur Protonen als Funktion der Energie des Protons mit Bethe Formel ohne rot bzw mit Korrekturen blau Bewegen sich schnelle geladene Teilchen durch Materie fuhren sie inelastische Stosse mit den Hullenelektronen des Materials aus Dies fuhrt zur Anregung oder zur Ionisation der Atome Dadurch erleidet das durchquerende Teilchen einen Energieverlust der durch die folgende Formel naherungsweise angegeben wird Ihre relativistische Form lautet d E d x 4 p n z 2 m e c 2 b 2 e 2 4 p e 0 2 ln 2 m e c 2 b 2 I 1 b 2 b 2 displaystyle frac mathrm d E mathrm d x frac 4 pi nz 2 m rm e c 2 beta 2 cdot left frac e 2 4 pi varepsilon 0 right 2 cdot left ln left frac 2m rm e c 2 beta 2 I cdot 1 beta 2 right beta 2 right qquad qquad nbsp 1 wobei b displaystyle beta nbsp v c displaystyle v c nbsp v displaystyle v nbsp momentane Geschwindigkeit des Teilchensc displaystyle c nbsp LichtgeschwindigkeitE displaystyle E nbsp Energie des Teilchensx displaystyle x nbsp Weglangez displaystyle z nbsp Ladungszahl des Teilchens z e displaystyle z cdot e nbsp Ladung des Teilchens e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp Elektrische Feldkonstantee displaystyle e nbsp Elementarladungn displaystyle n nbsp Elektronendichte des Materialsm e displaystyle m rm e nbsp Masse des ElektronsI displaystyle I nbsp mittleres Anregungspotential des Materials s u Die Elektronendichte n displaystyle n nbsp lasst sich dabei mit n Z r A u displaystyle n frac Z cdot rho A cdot u nbsp berechnen r displaystyle rho nbsp ist die Dichte des Materials Z displaystyle Z nbsp und A displaystyle A nbsp Ordnungs bzw Massenzahl des Materials und u displaystyle u nbsp die atomare Masseneinheit Im Bild rechts bedeuten die kleinen Kreise Messergebnisse von verschiedenen Arbeitsgruppen 5 die rote Kurve stellt die Bethe Formel dar Offenbar ist die Ubereinstimmung von Bethes Theorie mit den Experimenten oberhalb von 0 5 MeV sehr gut besonders wenn die Korrekturen s u hinzugefugt werden blaue Kurve Fur kleine Energien d h kleine Teilchengeschwindigkeiten b 1 displaystyle beta ll 1 nbsp reduziert sich die Bethe Formel auf d E d x 4 p n z 2 m e v 2 e 2 4 p e 0 2 ln 2 m e v 2 I displaystyle frac mathrm d E mathrm d x frac 4 pi nz 2 m e v 2 cdot left frac e 2 4 pi varepsilon 0 right 2 cdot ln left frac 2m e v 2 I right nbsp Bei kleinen Energien ist die Bethe Formel nur dann gultig wenn diese noch hoch genug sind dass das durchquerende Teilchen keine Hullenelektronen mit sich fuhrt Anderenfalls wird seine effektive Ladung dadurch reduziert und das Bremsvermogen ist kleiner Es gibt fur kleine Energien eine verfeinerte Theorie der elektronischen Abbremsung von Jens Lindhard Morten Scharff und Hans E Schiott LSS Theorie 6 Naherungsweise wird auch die Barkas Formel 7 fur die effektive Ladungszahl benutzt z e f f z 1 exp 125 b z 2 3 displaystyle z mathrm eff z left 1 exp left 125 beta z frac 2 3 right right nbsp Allgemein fallt der Energieverlust mit steigender Energie zunachst etwa mit 1 v 2 displaystyle 1 v 2 nbsp ab und erreicht ein Minimum bei etwa E 3 m T c 2 displaystyle E 3m T c 2 nbsp wobei m T displaystyle m T nbsp die Masse des Teilchens ist also z B fur Protonen etwa bei 3 GeV was im Bild nicht mehr sichtbar ist Da fur viele in der Teilchenphysik relevante Strahlungsteilchen und Absorbermaterialien der Energieverlust in der Nahe des Minimums ungefahr den gleichen Wert hat werden Teilchen mit 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durch einzige Konstante das mittlere Anregungspotential I displaystyle I nbsp beschrieben Felix Bloch hat 1933 gezeigt 9 dass das mittlere Anregungspotential der Atome im Mittel etwa I 10 e V Z displaystyle I 10 mathrm eV cdot Z qquad qquad nbsp 2 betragt wo Z displaystyle Z nbsp die Ordnungszahl der Atome des Materials bedeutet Setzt man diese Grosse in Formel 1 oben ein so fuhrt das zu einer Gleichung die oft als Bethe Bloch Gleichung bezeichnet wird Es gibt aber genauere Tabellen 10 von I displaystyle I nbsp als Funktion von Z displaystyle Z nbsp Mit ihnen erhalt man bessere Resultate als mit Formel 2 nbsp Das mittlere Anregungspotential I displaystyle I nbsp von Elementen dividiert durch die Ordnungszahl Z displaystyle Z nbsp aufgetragen uber der OrdnungszahlIm Bild ist das mittlere Anregungspotential der verschiedenen Elemente gezeigt das die Information uber das jeweilige Atom enthalt Die Daten stammen aus dem genannten ICRU Report 10 Den Spitzen und Talern in der Darstellung Z 2 displaystyle Z 2 nbsp Oszillationen wobei Z 2 displaystyle Z 2 nbsp die Ordnungszahl des Materials bedeutet entsprechen niedrigere bzw hohere Werte des Bremsvermogens diese Oszillationen beruhen auf der Schalenstruktur der Atome Wie das Bild zeigt gilt Formel 2 nur naherungsweise Korrekturen BearbeitenDie Bethe Formel wurde von Bethe mit Hilfe der quantenmechanischen Storungstheorie abgeleitet das Ergebnis ist daher dem Quadrat der Ladung z displaystyle z nbsp proportional Eine bessere Beschreibung erhalt man wenn man auch Abweichungen berucksichtigt die hoheren Potenzen von z displaystyle z nbsp entsprechen und zwar den Barkas Andersen Effekt proportional z 3 displaystyle z 3 nbsp nach Walter H Barkas und Hans Henrik Andersen und die Bloch Korrektur proportional z 4 displaystyle z 4 nbsp Auch muss die Bewegung der Hullenelektronen im Atom des Materials berucksichtigt werden Schalenkorrektur Diese Korrekturen sind beispielsweise in den Programmen PSTAR und ASTAR des National Institute of Standards and Technology NIST die das Bremsvermogen fur Protonen bzw Alphateilchen berechnen eingebaut 11 Die Korrekturen sind gross bei niedrigen Energien und werden immer kleiner je grosser die Energie wird Zusatzlich kommt bei sehr hohen Energien noch Fermis Dichtekorrektur 10 hinzu Literatur BearbeitenP Sigmund Particle Penetration and Radiation Effects General Aspects and Stopping of Swift Point Charges Springer Series in Solid State Sciences Vol 151 Springer Berlin Heidelberg 2006 ISBN 978 3 540 72622 7 H Bethe Zur Theorie des Durchgangs schneller Korpuskularstrahlen durch Materie In Annalen der Physik Band 397 Nr 3 1930 S 325 400 doi 10 1002 andp 19303970303 Ursprungliche Publikation von Bethe F Bloch Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie In Annalen der Physik Band 408 Nr 3 1933 S 285 320 doi 10 1002 andp 19334080303 Ursprungliche Publikation von Bloch N Bohr On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles on passing through matter In The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science Band 25 Nr 145 1913 S 10 31 doi 10 1080 14786440108634305 Vorarbeiten von Bohr N Bohr On the decrease of velocity of swiftly moving electrified particles in passing through matter In The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science Band 30 Nr 178 Oktober 1915 S 581 612 doi 10 1080 14786441008635432 Vorarbeiten von Bohr Weblinks BearbeitenDurchgang geladener Teilchen durch Materie inklusive Plot engl PDF Datei 512 kB Bremsvermogen fur Protonen und Alphateilchen engl Stopping Power Daten und Kurven engl Einzelnachweise Bearbeiten N Bohr On the theory of the decrease of velocity of moving electrified particles on passing through matter In The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science Band 25 Nr 145 1913 S 10 31 doi 10 1080 14786440108634305 P Sigmund Particle Penetration and Radiation Effects General Aspects and Stopping of Swift Point Charges Springer Series in Solid State Sciences Vol 151 Springer Berlin Heidelberg 2006 ISBN 978 3 540 72622 7 H A Bethe J Ashkin Passage of radiation through matter In E Segre Hrsg Experimental Nuclear Physics Vol 1 Part II New York 1953 S 253 cern ch Ionization Memento vom 14 Dezember 2013 im Internet Archive Bildquelle Memento vom 6 Februar 2012 im Internet Archive K Bethge G Walter B Wiedemann Kernphysik 3 Auflage Springer 2007 S 118 121 Jurgen Kiefer Biologische Strahlenwirkung Eine Einfuhrung in die Grundlagen von Strahlenschutz und Strahlenanwendung Heidelberg Springer 1981 ISBN 978 3 642 67947 6 S 47 Claude Amsler Kern und Teilchenphysik vdf Hochschulverlag AG 2007 ISBN 978 3 8252 2885 9 S 116 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche F Bloch Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch Materie In Annalen der Physik Band 408 Nr 3 1933 S 285 320 doi 10 1002 andp 19334080303 a b c ICRU Report 49 Stopping Powers and Ranges for Protons and Alpha Particles International Commission on Radiation Units and Measurements Bethesda MD USA 1993 PSTAR and ASTAR Databases for Protons and Helium Ions Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bethe Formel amp oldid 238103269