Eine Bernstein-Funktion ist eine nicht-negative glatte Funktion, deren Ableitungen ein alternierendes Vorzeichen haben, das heißt sie sind komplett-monoton. Sie haben ihren Ursprung in der Potentialtheorie, werden aber auch in der Funktionalanalysis und der Stochastik untersucht. Sie tauchen insbesondere im Zusammenhang mit der Subordination von -Halbgruppen auf Banach-Räumen oder lokalkonvexen Räumen auf, da der infinitesimale Erzeuger einer subordinierten Gruppe durch solche Funktionen mit dem Erzeuger der ursprünglichen Halbgruppe beschrieben werden kann.
Durch die Lévy-Khinchin-Formel können Bernstein-Funktionen eindeutig durch ein Lévy-Tripel charakterisiert werden.
Die Bernstein-Funktionen sind nach Sergei Natanowitsch Bernstein benannt, sie sind aber auch unter vielen weiteren Namen bekannt, darunter Laplace-Exponenten oder negativ-definite Funktionen.
Bernstein-Funktion Bearbeiten
Eine Funktion ist eine Bernstein-Funktion, falls
- ist,
- für alle und gilt.
Lévy-Khinchin-Darstellung Bearbeiten
Folgendes ist äquivalent:
- ist eine Bernstein-Funktion.
- Es existiert ein eindeutiges Lévy-Tripel , d. h. es existieren zwei Konstanten und ein positives Radonmaß auf mit
so dass
für alle . Letztere Darstellung nennt man Lévy-Khinchin-Darstellung.
Literatur Bearbeiten
- René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, doi:10.1515/9783110269338.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Karsten Kruse, Jan Meichsner und Christian Seifert: Subordination for sequentially equicontinuous equibounded -semigroups. In: Springer Science and Business Media (Hrsg.): Journal of Evolution Equations. Band 21, Nr. 2, 2021, S. 2665--2690, doi:10.1007/s00028-021-00700-7.
- ↑ René L. Schilling, Renming Song und Zoran Vondracek: Bernstein Functions: Theory and Applications. Hrsg.: De Gruyter. Berlin, Boston 2012, S. 21, doi:10.1515/9783110269338.