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Lévy Khinchin Formel Die ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Sie charakterisiert die unendlic

Lévy-Khinchin-Formel

Die Lévy-Khinchin-Formel ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie charakterisiert die unendlich teilbaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen über eine kanonische Darstellung ihrer logarithmierten charakteristischen Funktion, die aus drei Teilen besteht.

Die Lévy-Khinchin-Formel basiert auf einer Arbeit von Paul Lévy von 1934, die eine Formel von Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow aus dem Jahre 1932 verallgemeinert. Im Jahr 1937 veröffentlichte dann Alexander Jakowlewitsch Chintschin die Lévy-Khinchin-Formel.

Die Lévy-Khinchin-Formel ist beispielsweise wichtig für die Theorie der Lévy-Prozesse, da man aus der Darstellung der logarithmierten charakteristischen Funktion als drei Teile eine entsprechende Zerlegung für die Lévy-Prozesse ableiten kann.

Bernstein-Funktionen werden eindeutig durch die Lévy-Khinchin-Formel charakterisiert.

Aussage Bearbeiten

Sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit charakteristischer Funktion . Definiere

Dann gilt:

gilt, so dass die Darstellung
besitzt.

Hierbei bezeichnet die Indikatorfunktion der Menge .

Das Maß wird als kanonisches Maß oder Lévy-Maß von bezeichnet, die Zahl als Zentrierungskonstante und als Gauß’scher Koeffizient. Gemeinsam nennt man ein kanonisches Tripel.

Zu jeder unendlich teilbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört ein eindeutig bestimmtes kanonisches Tripel. Umgekehrt kann bei Vorgabe eines kanonischen Tripels eine eindeutige unendlich teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilung konstruiert werden.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. B.A. Rogozin: Lévy canonical representation. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 345.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Levy Khinchin Formel ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie Sie charakterisiert die unendlich teilbaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf den reellen Zahlen uber eine kanonische Darstellung ihrer logarithmierten charakteristischen Funktion die aus drei Teilen besteht Die Levy Khinchin Formel basiert auf einer Arbeit von Paul Levy von 1934 die eine Formel von Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow aus dem Jahre 1932 verallgemeinert Im Jahr 1937 veroffentlichte dann Alexander Jakowlewitsch Chintschin die Levy Khinchin Formel 1 Die Levy Khinchin Formel ist beispielsweise wichtig fur die Theorie der Levy Prozesse da man aus der Darstellung der logarithmierten charakteristischen Funktion als drei Teile eine entsprechende Zerlegung fur die Levy Prozesse ableiten kann Bernstein Funktionen werden eindeutig durch die Levy Khinchin Formel charakterisiert Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Weblinks 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei P displaystyle P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass auf R displaystyle mathbb R nbsp mit charakteristischer Funktion f t displaystyle varphi t nbsp Definiere PS t ln f t displaystyle Psi t ln varphi t nbsp Dann gilt P displaystyle P nbsp ist genau dann unendlich teilbar wenn es eine reelle Zahl b displaystyle b nbsp und eine positive Zahl s 2 displaystyle sigma 2 nbsp gibt sowie ein s endliches Mass m displaystyle mu nbsp fur das m 0 0 displaystyle mu 0 0 nbsp und R min x 2 1 m d x lt displaystyle int mathbb R min x 2 1 mu mathrm d x lt infty nbsp dd gilt so dass PS displaystyle Psi nbsp die DarstellungPS t i b t s 2 2 t 2 R exp i t x 1 i t x 1 x lt 1 m d x displaystyle Psi t ibt frac sigma 2 2 t 2 int mathbb R left exp itx 1 itx mathbf 1 x lt 1 right mu mathrm d x nbsp dd besitzt 2 Hierbei bezeichnet 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp die Indikatorfunktion der Menge A displaystyle A nbsp Das Mass m displaystyle mu nbsp wird als kanonisches Mass oder Levy Mass von P displaystyle P nbsp bezeichnet die Zahl b displaystyle b nbsp als Zentrierungskonstante und s 2 displaystyle sigma 2 nbsp als Gauss scher Koeffizient Gemeinsam nennt man s 2 b m displaystyle sigma 2 b mu nbsp ein kanonisches Tripel Zu jeder unendlich teilbaren Wahrscheinlichkeitsverteilung gehort ein eindeutig bestimmtes kanonisches Tripel Umgekehrt kann bei Vorgabe eines kanonischen Tripels eine eindeutige unendlich teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilung konstruiert werden Weblinks BearbeitenLevy Khinchin canonical representation In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Einzelnachweise Bearbeiten B A Rogozin Levy canonical representation In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 345 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Levy Khinchin Formel amp oldid 236995435