www.wikidata.de-de.nina.az

Ausgewogene Menge Eine ausgewogene Menge bezeichnet in der Funktionalanalysis eine Teilmenge eines Vektorraumes die sich

Ausgewogene Menge

Eine ausgewogene Menge bezeichnet in der Funktionalanalysis eine Teilmenge eines Vektorraumes, die sich dadurch auszeichnet, dass zu jedem Element der Menge auch das negative dieses Elementes in der Menge enthalten ist und die gesamte Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Elementen. Bei vielen Autoren finden sich auch die Bezeichnungen kreisförmig (engl. circled), scheibenförmig oder balanciert (engl. balanced).

Verwendung finden ausgewogene Mengen zum Beispiel bei der Definition von lokalkonvexen Räumen, wo Ausgewogenheit eine Eigenschaft der definierenden Nullumgebungsbasis ist.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein reeller oder komplexer Vektorraum . Eine Menge heißt eine ausgewogene Menge, wenn für alle Skalare mit und alle immer auch ist. Für alle liegt die Strecke von nach also in .

Eigenschaften Bearbeiten

Ist ausgewogen und nicht leer, so muss den Nullvektor enthalten, denn ist in , so ist .

In einem topologischen Vektorraum enthält jede Umgebung der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung. Ist nämlich eine Nullumgebung, so gibt es wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation ein und eine Nullumgebung , so dass für alle und alle in . Dann ist eine in enthaltene ausgewogene Nullumgebung.

In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine Nullumgebungsbasis aus ausgewogenen Mengen. Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System von absorbierenden und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften

  • Für alle gilt ,
  • enthält mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt,
  • Für jedes gibt es ein mit ,
  • ,

so wird der Vektorraum mit als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum. Die Ausgewogenheit wird benötigt, um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen.

Ausgewogene konvexe Mengen nennt man auch absolutkonvex. Sie spielen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eine wichtige Rolle.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Eine ausgewogene Menge bezeichnet in der Funktionalanalysis eine Teilmenge eines Vektorraumes die sich dadurch auszeichnet dass zu jedem Element der Menge auch das negative dieses Elementes in der Menge enthalten ist und die gesamte Verbindungsstrecke zwischen diesen beiden Elementen Bei vielen Autoren finden sich auch die Bezeichnungen kreisformig engl circled scheibenformig oder balanciert engl balanced Verwendung finden ausgewogene Mengen zum Beispiel bei der Definition von lokalkonvexen Raumen wo Ausgewogenheit eine Eigenschaft der definierenden Nullumgebungsbasis ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Weblinks 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein reeller oder komplexer Vektorraum V displaystyle V nbsp Eine Menge T V displaystyle T subset V nbsp heisst eine ausgewogene Menge wenn fur alle Skalare r displaystyle r nbsp mit r 1 displaystyle r leq 1 nbsp und alle x T displaystyle x in T nbsp immer auch r x T displaystyle rx in T nbsp ist Fur alle x T displaystyle x in T nbsp liegt die Strecke von x displaystyle x nbsp nach x displaystyle x nbsp also in T displaystyle T nbsp Eigenschaften BearbeitenIst T displaystyle T nbsp ausgewogen und nicht leer so muss T displaystyle T nbsp den Nullvektor enthalten denn ist x displaystyle x nbsp in T displaystyle T nbsp so ist 0 0 x T displaystyle 0 0 cdot x in T nbsp In einem topologischen Vektorraum enthalt jede Umgebung der Null auch eine ausgewogene Nullumgebung Ist namlich U displaystyle U nbsp eine Nullumgebung so gibt es wegen der Stetigkeit der Skalarmultiplikation ein e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp und eine Nullumgebung V displaystyle V nbsp so dass r x U displaystyle rx in U nbsp fur alle r lt e displaystyle r lt varepsilon nbsp und alle x displaystyle x nbsp in V displaystyle V nbsp Dann ist r lt e r V displaystyle textstyle bigcup r lt varepsilon rV nbsp eine in U displaystyle U nbsp enthaltene ausgewogene Nullumgebung In einem topologischen Vektorraum gibt es also stets eine Nullumgebungsbasis aus ausgewogenen Mengen Hat man umgekehrt auf einem algebraischen Vektorraum ein System U displaystyle mathcal U nbsp von absorbierenden und ausgewogenen Mengen mit den Eigenschaften Fur alle U U r gt 0 displaystyle U in mathcal U r gt 0 nbsp gilt r U U displaystyle rU in mathcal U nbsp U displaystyle mathcal U nbsp enthalt mit je zwei Mengen auch deren Durchschnitt Fur jedes U U displaystyle U in mathcal U nbsp gibt es ein V U displaystyle V in mathcal U nbsp mit V V U displaystyle V V subset U nbsp U 0 displaystyle bigcap mathcal U 0 nbsp so wird der Vektorraum mit U displaystyle mathcal U nbsp als Nullumgebungsbasis zu einem topologischen Vektorraum Die Ausgewogenheit wird benotigt um die Stetigkeit der skalaren Multiplikation zu zeigen Ausgewogene konvexe Mengen nennt man auch absolutkonvex Sie spielen in der Theorie der lokalkonvexen Raume eine wichtige Rolle Weblinks BearbeitenV I Sobolev Balanced Set In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Balanced Set In MathWorld englisch Literatur BearbeitenK Floret J Wloka Einfuhrung in die Theorie der lokalkonvexen Raume Lecture Notes in Mathematics 56 1968 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ausgewogene Menge amp oldid 195015360