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Approximationssatz von Dixmier Der benannt nach Jacques Dixmier ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der Von Neum

Approximationssatz von Dixmier

Der Approximationssatz von Dixmier, benannt nach Jacques Dixmier, ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren. Er besagt, dass man mittels Konvexkombinationen der unitär Konjugierten eines Elementes einer Von-Neumann-Algebra ein Element des Zentrums approximieren kann.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Es seien die Gruppe der unitären Elemente und das Zentrum einer Von-Neumann-Algebra . Dann gilt für jedes Element

Dabei bezeichnet die Bildung der konvexen Hülle und der Querstrich den Normabschluss.

Zusatz: Ist eine endliche Von-Neumann-Algebra, so ist obiger Durchschnitt einelementig. Er besteht aus dem Bild der Spur von .

Anwendungen Bearbeiten

  • Die Tatsache, dass für endliche Von-Neumann-Algebren der Durchschnitt des Normabschlusses der konvexen Hülle der Elemente mit dem Zentrum einelementig ist, kann verwendet werden, die Existenz der Spur zu zeigen. Jedes Element der Von-Neumann-Algebra wird auf das eindeutig bestimmte Element dieses Durchschnitts abgebildet, das definiert die Spur. Dieses Vorgehen ist im angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose ausgeführt.
  • Mit Hilfe des Approximationssatzes von Dixmier kann man zeigen, dass für eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum die Abbildung
eine Bijektion von der Menge aller maximalen, zweiseitigen Ideale von auf die Menge der maximalen Ideale des Zentrums ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.3.5
  2. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel III.5.1, Theorem 1
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.3.6
  4. Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel III.5.2, Korollar 1
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Der Approximationssatz von Dixmier benannt nach Jacques Dixmier ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der Von Neumann Algebren Er besagt dass man mittels Konvexkombinationen der unitar Konjugierten eines Elementes einer Von Neumann Algebra ein Element des Zentrums approximieren kann Formulierung des Satzes BearbeitenEs seien U displaystyle U nbsp die Gruppe der unitaren Elemente und Z displaystyle Z nbsp das Zentrum einer Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp Dann gilt fur jedes Element a A displaystyle a in A nbsp c o n v u a u u U Z displaystyle overline mathrm conv uau u in U cap Z not emptyset nbsp 1 2 Dabei bezeichnet c o n v displaystyle mathrm conv nbsp die Bildung der konvexen Hulle und der Querstrich den Normabschluss Zusatz Ist A displaystyle A nbsp eine endliche Von Neumann Algebra so ist obiger Durchschnitt einelementig Er besteht aus dem Bild der Spur von a displaystyle a nbsp 3 Anwendungen BearbeitenDie Tatsache dass fur endliche Von Neumann Algebren der Durchschnitt des Normabschlusses der konvexen Hulle der Elemente u a u displaystyle uau nbsp mit dem Zentrum einelementig ist kann verwendet werden die Existenz der Spur zu zeigen Jedes Element der Von Neumann Algebra wird auf das eindeutig bestimmte Element dieses Durchschnitts abgebildet das definiert die Spur Dieses Vorgehen ist im angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose ausgefuhrt Mit Hilfe des Approximationssatzes von Dixmier kann man zeigen dass fur eine Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp mit Zentrum Z displaystyle Z nbsp die AbbildungM Z M displaystyle M mapsto Z cap M nbsp dd eine Bijektion von der Menge aller maximalen zweiseitigen Ideale von A displaystyle A nbsp auf die Menge der maximalen Ideale des Zentrums ist 4 Einzelnachweise Bearbeiten R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Theorem 8 3 5 Jacques Dixmier Von Neumann algebras North Holland Amsterdam 1981 ISBN 0 444 86308 7 Kapitel III 5 1 Theorem 1 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Theorem 8 3 6 Jacques Dixmier Von Neumann algebras North Holland Amsterdam 1981 ISBN 0 444 86308 7 Kapitel III 5 2 Korollar 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Approximationssatz von Dixmier amp oldid 184060225