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Weierstraßscher Vorbereitungssatz Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionenthe

Weierstraßscher Vorbereitungssatz

Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstraß-Polynomen her.

Einführung und Formulierung des Satzes Bearbeiten

Es bezeichne den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in Veränderlichen; dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in Veränderlichen um den Nullpunkt.

Ein ist genau dann eine Einheit des Rings , d. h. in dem Ring invertierbar, wenn ist, was wiederum bedeutet, dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist.

Jedes kann mittels der Festlegung als Element von aufgefasst werden; hiermit wird der Ring zu einem Unterring von . Auch der Polynomring ist dann ein Unterring von . Wenn im Kontext des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes von Polynomgrad oder Grad gesprochen wird, dann ist der Grad von Elementen aus als Polynome in gemeint.

Ein Weierstraß-Polynom ist ein Element aus der Form

mit konvergenten Potenzreihen , die in 0 verschwinden, d. h. mit .

Eine Potenzreihe heißt in regulär, falls die holomorphe Funktion nicht die Nullfunktion ist, und in regulär von der Ordnung , falls die Funktion in 0 eine Nullstelle der Ordnung hat.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz, genannt Weierstraßscher Vorbereitungssatz.

Sei eine konvergente Potenzreihe, die in regulär von der Ordnung ist. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstraß-Polynom vom Grad und eine eindeutig bestimmte Einheit mit .

Beweisidee Bearbeiten

konvergiert auf einem geeigneten Polykreis . Da in regulär von der Ordnung ist, findet man , so dass die Funktion für jedes feste genau Nullstellen im Kreis hat. Diese seien mit bezeichnet, wobei für Mehrfachnullstellen Wiederholungen auftreten. Multipliziert man

aus, so erhält man ein Weierstraß-Polynom, das das Verlangte leistet.

Bemerkung Bearbeiten

Der Name Vorbereitungssatz rührt daher, dass die Potenzreihe für die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird. Da der Faktor als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet, sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstraß-Polynoms.

Für , das heißt für holomorphe Funktionen einer Variablen, muss das Weierstraß-Polynom das normierte Monom sein. Es ist dann mit einer holomorphen Funktion , die in 0 nicht verschwindet. Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache, dass eine holomorphe Funktion einer Veränderlichen mit -facher Nullstelle in 0 als mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion geschrieben werden kann, auf Dimensionen.

Zur Einordnung des Satzes soll noch erwähnt werden, dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz über implizite Funktionen ergibt. Ist nämlich in regulär von erster Ordnung, so hat nach dem Vorbereitungssatz die Form

mit einer holomorphen Funktion . Da , gilt in einer Umgebung von 0

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Theorem 2.1
  2. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Theorem 2 (Weierstrass Preparation Theorem)
  3. Wolfgang Ebeling: Funktionentheorie, Differentialtopologie und Singularitäten, Vieweg-Verlag (2001), ISBN 978-3-528-03174-9, Bemerkung 2.3
  4. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. II.B, Seite 70
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Der Weierstrasssche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veranderlicher Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstrass Polynomen her Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung und Formulierung des Satzes 2 Beweisidee 3 Bemerkung 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseEinfuhrung und Formulierung des Satzes BearbeitenEs bezeichne n O displaystyle n mathcal O nbsp den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in n displaystyle n nbsp Veranderlichen dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in n displaystyle n nbsp Veranderlichen um den Nullpunkt Ein f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp ist genau dann eine Einheit des Rings n O displaystyle n mathcal O nbsp d h in dem Ring invertierbar wenn f 0 0 0 displaystyle f 0 ldots 0 neq 0 nbsp ist was wiederum bedeutet dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist Jedes f n 1 O displaystyle f in n 1 mathcal O nbsp kann mittels 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mathcal O nbsp die in 0 verschwinden d h mit a i 0 0 0 displaystyle a i 0 ldots 0 0 nbsp Eine Potenzreihe f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp heisst in z n displaystyle z n nbsp regular falls die holomorphe Funktion z f 0 0 z displaystyle z mapsto f 0 ldots 0 z nbsp nicht die Nullfunktion ist und in z n displaystyle z n nbsp regular von der Ordnung m displaystyle m nbsp falls die Funktion z f 0 0 z displaystyle z mapsto f 0 ldots 0 z nbsp in 0 eine Nullstelle der Ordnung m displaystyle m nbsp hat Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz genannt Weierstrassscher Vorbereitungssatz 1 2 Sei f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp eine konvergente Potenzreihe die in z n displaystyle z n nbsp regular von der Ordnung m displaystyle m nbsp ist Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstrass Polynom h n 1 O z n displaystyle h in n 1 mathcal O z n nbsp vom Grad m displaystyle m nbsp und eine eindeutig bestimmte Einheit u n O displaystyle u in n mathcal O nbsp mit f u h 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leistet Bemerkung BearbeitenDer Name Vorbereitungssatz ruhrt daher dass die Potenzreihe fur die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird Da der Faktor u displaystyle u nbsp als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstrass Polynoms 3 Fur n 1 displaystyle n 1 nbsp das heisst fur holomorphe Funktionen einer Variablen muss das Weierstrass Polynom das normierte Monom z 1 m displaystyle z 1 m nbsp sein Es ist dann f z 1 u z 1 z 1 m displaystyle f z 1 u z 1 z 1 m nbsp mit einer holomorphen Funktion u displaystyle u nbsp die in 0 nicht verschwindet Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache dass eine holomorphe Funktion einer Veranderlichen mit m displaystyle m nbsp facher Nullstelle in 0 als u z 1 z 1 m displaystyle u z 1 z 1 m nbsp mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion u displaystyle u nbsp geschrieben werden kann auf n displaystyle n nbsp Dimensionen Zur Einordnung des Satzes soll noch erwahnt werden dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz uber implizite Funktionen ergibt 4 Ist namlich f n O displaystyle f in n mathcal O nbsp in z n displaystyle z n nbsp regular von erster Ordnung so hat f displaystyle f nbsp nach dem Vorbereitungssatz die Form f z 1 z n u z 1 z n z n a z 1 z n 1 displaystyle f z 1 ldots z n u z 1 ldots z n cdot z n a z 1 ldots z n 1 nbsp mit einer holomorphen Funktion a displaystyle a nbsp Da u 0 0 displaystyle u 0 not 0 nbsp gilt in einer Umgebung von 0 f z 1 z n 0 z n a z 1 z n 1 displaystyle f z 1 ldots z n 0 Longleftrightarrow z n a z 1 ldots z n 1 nbsp Siehe auch BearbeitenDivisionssatz von WeierstrassEinzelnachweise Bearbeiten Wolfgang Ebeling Funktionentheorie Differentialtopologie und Singularitaten Vieweg Verlag 2001 ISBN 978 3 528 03174 9 Theorem 2 1 Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Theorem 2 Weierstrass Preparation Theorem Wolfgang Ebeling Funktionentheorie Differentialtopologie und Singularitaten Vieweg Verlag 2001 ISBN 978 3 528 03174 9 Bemerkung 2 3 Gunning Rossi Analytic functions of several complex variables Prentice Hall 1965 Kap II B Seite 70 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Weierstrassscher Vorbereitungssatz amp oldid 231873464