Als Vektoroperator wird in der Quantenmechanik ein Operator bezeichnet der unter Drehungen wie ein Vektor transformiert Er ist ein Spezialfall eines Tensoroperators In der Drehimpulsalgebra der Quantenmechanik konnen Erwartungswerte von Vektoroperatoren und allgemein von Tensoroperatoren mit Hilfe des Wigner Eckart Theorems auf wenige reduzierte Matrixelemente zuruckgefuhrt werden Im Folgenden wird die abstrakte mathematische Definition naher erlautert Ein Vektoroperator erzeugt Morphismen zwischen Zustandsvektorraumen und hat ein spezielles Transformationsverhalten unter Drehungen Der Zustandsvektorraum sei der Hilbertraum H L 2 R 3 C displaystyle mathcal H mathcal L 2 mathbb R 3 mathbb C und die drehende Gruppe die SO 3 displaystyle operatorname SO 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 VerallgemeinerungenFormale Definition BearbeitenDie Drehgruppe operiere kanonisch kovariant auf R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp auf H displaystyle mathcal H nbsp und auf deren Tensorprodukt Ein Vektoroperator A displaystyle A nbsp ist dann ein Morphismus von Darstellungen A H R 3 H displaystyle A colon mathcal H to mathbb R 3 otimes mathcal H nbsp d h ein Vektorraumhomomorphismus der mit Drehungen kommutiert Eigenschaften BearbeitenIst e i displaystyle e i nbsp die kanonische Basis von R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp so kann man schreiben A ps i e i A i ps displaystyle A colon psi mapsto sum i e i otimes A i psi nbsp Unterdruckt man samtliche Struktur so wird daraus A ps A 1 ps A 2 ps A 3 ps H 3 displaystyle A psi A 1 psi A 2 psi A 3 psi in mathcal H 3 nbsp Konjugiert man A displaystyle A nbsp mit einer Drehung das ist die naturliche Operation von Drehungen auf solchen Morphismen so liefert das in dieser Notation die Identitat R A i k A k R k i k R i k 1 A k displaystyle R A i sum k A k R ki sum k R ik 1 A k nbsp welche mancherorts als Definition herangezogen wird Es ist namlich R A D R A D R 1 ps D R i e i A i ps D R 1 displaystyle R A D R circ A circ D R 1 colon psi mapsto D R left sum i e i otimes A i psi right circ D R 1 nbsp i R e i A i ps i k R k i e i A k ps i e i k A k R k i ps displaystyle sum i Re i otimes A i psi sum ik R ki e i otimes A k psi sum i e i otimes left sum k A k R ki right psi nbsp Beispiele BearbeitenDrehimpulsoperator J J x J y J z displaystyle hat mathbf J hat J x hat J y hat J z nbsp Spinoperator S S x S y S z displaystyle hat mathbf S hat S x hat S y hat S z nbsp Ubergangsdipolmoment M M x M y M z displaystyle hat mathbf M hat M x hat M y hat M z nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEin Tensoroperator der Stufe k displaystyle k nbsp ist ein Morphismus von Darstellungen A H R 3 k H displaystyle A colon mathcal H to mathbb R 3k otimes mathcal H nbsp wobei hier die Drehgruppe auf R 3 k displaystyle mathbb R 3k nbsp operiert wie auf R 3 k displaystyle mathbb R 3 oplus k nbsp Dies liefert in der impliziten Notation die Gleichung R T I D R T i 1 i k D R 1 T j 1 j k R j 1 i 1 R j k i k displaystyle R T I D R T i 1 dots i k D R 1 sum T j 1 dots j k R j 1 i 1 dots R j k i k nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vektoroperator amp oldid 188941205
