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Vaidya Metrik Die ist eine Verallgemeinerung der kugelsymmetrischen Schwarzschild Metrik Sie ist nach dem indischen Phys

Vaidya-Metrik

Die Vaidya-Metrik ist eine Verallgemeinerung der kugelsymmetrischen Schwarzschild-Metrik. Sie ist nach dem indischen Physiker Prahalad Chunnilal Vaidya benannt und gilt für nichtrotierende und elektrisch neutrale Körper, deren Masse jedoch – im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik – aufgrund von emittierter oder absorbierter masseloser Strahlung („null dust“, z. B. Photonen oder Neutrinos, aber keine elektromagnetische Strahlung) mit der Zeit zu- oder abnimmt:

Die Vaidya-Metrik ist daher – wieder im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik – weder statisch noch stationär.

Anwendung Bearbeiten

Sowohl Sterne als auch Schwarze Löcher verlieren aufgrund von Strahlungstransport bzw. Hawking-Strahlung Masse oder können aufgrund einfallender Materie oder Strahlung an Masse zunehmen. Abhängig davon, ob der Massenverlust oder die -zunahme überwiegt, ist eine monoton fallende oder eine monoton steigende Funktion.

Mit der Vaidya-Metrik lassen sich solche physikalische Verhältnisse jedoch nur mit Einschränkungen modellieren:

  • zum einen berücksichtigt sie nur masselose Strahlung korrekt
  • zum anderen ist sie insofern unphysikalisch, als die Änderung der Masse sofort im ganzen Raum wirksam wird (Fernwirkung).

Eine Metrik als konsistente Lösung für verdampfende Schwarze Löcher konnte bis heute nicht gefunden werden. Daher werden für Analysen und Simulationen Kombinationen aus folgenden Metriken verwendet:

  • Vaidya-Metriken für den Bereich, in dem die Hawking-Strahlung entsteht (in der Nähe des Ereignishorizonts),
  • für etwas größere Abstände die Schwarzschild-Metrik
  • für große Entfernungen die Minkowski-Metrik der flachen Raumzeit.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Vaidya-Metrik Bearbeiten

In den natürlichen Einheiten und mit lautet das Linienelement der Vaidya-Metrik in auslaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten

und in einlaufenden Eddington-Finkelstein-Koordinaten

Vaidya-Bonner-Metrik Bearbeiten

Für elektrisch geladene Körper erweitert sich die Vaidya-Metrik auf die Vaidya-Bonner-Metrik

und

wobei

Die Vaidya-Bonner-Metrik reduziert sich:

M = konst. M ≠ konst.
ungeladen
()		 Schwarzschild-Metrik Vaidya-Metrik
geladen
()		 Reissner-Nordström-Metrik Vaidya-Bonner-Metrik

Bedeutung der Koordinatenzeit Bearbeiten

Die Zeitkoordinate eines feldfreien und ausreichend weit von der Masse entfernten stationären Beobachters steht mit den Koordinaten und im Verhältnis

Dabei steht ein konstantes () mit

für radial auslaufende Strahlung und

ein konstantes () mit

für radial einlaufende Strahlung.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kim, Choi & Yang: Black hole radiation in the Vaidya metric
  2. Corvin Zahn: Visualisierung der Relativitätstheorie. Koordinatenfreie und interaktive Werkzeuge. Tübingen 2008 (Volltext [PDF; abgerufen am 8. Dezember 2017] Dissertation).
  3. Shaikh, Kundu & Sen: Curvature Properties Of Vaidya Metric
  4. Thanu Padmanabhan: Gravitation: Foundation and Frontiers. Cambridge University Press, New York 2010, ISBN 978-0-521-88223-1 (englisch, Volltext in der Google-Buchsuche).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Vaidya Metrik ist eine Verallgemeinerung der kugelsymmetrischen Schwarzschild Metrik Sie ist nach dem indischen Physiker Prahalad Chunnilal Vaidya benannt und gilt fur nichtrotierende und elektrisch neutrale Korper deren Masse jedoch im Gegensatz zur Schwarzschild Metrik aufgrund von emittierter oder absorbierter masseloser Strahlung null dust z B Photonen oder Neutrinos aber keine elektromagnetische Strahlung mit der Zeit zu oder abnimmt M t konst d M d t 0 displaystyle begin aligned M t amp neq text konst Leftrightarrow frac dM dt amp neq 0 end aligned Die Vaidya Metrik ist daher wieder im Gegensatz zur Schwarzschild Metrik weder statisch noch stationar Inhaltsverzeichnis 1 Anwendung 2 Mathematische Beschreibung 2 1 Vaidya Metrik 2 2 Vaidya Bonner Metrik 2 3 Bedeutung der Koordinatenzeit 3 EinzelnachweiseAnwendung BearbeitenSowohl Sterne als auch Schwarze Locher verlieren aufgrund von Strahlungstransport bzw Hawking Strahlung Masse 1 oder konnen aufgrund einfallender Materie oder Strahlung an Masse zunehmen Abhangig davon ob der Massenverlust oder die zunahme uberwiegt ist M t displaystyle M t nbsp eine monoton fallende oder eine monoton steigende Funktion Mit der Vaidya Metrik lassen sich solche physikalische Verhaltnisse jedoch nur mit Einschrankungen modellieren zum einen berucksichtigt sie nur masselose Strahlung korrekt zum anderen ist sie insofern unphysikalisch als die Anderung der Masse sofort im ganzen Raum wirksam wird Fernwirkung Eine Metrik als konsistente Losung fur verdampfende Schwarze Locher konnte bis heute nicht gefunden werden Daher werden fur Analysen und Simulationen Kombinationen aus folgenden Metriken verwendet Vaidya Metriken fur den Bereich in dem die Hawking Strahlung entsteht in der Nahe des Ereignishorizonts fur etwas grossere Abstande die Schwarzschild Metrik fur grosse Entfernungen die Minkowski Metrik der flachen Raumzeit 2 Mathematische Beschreibung BearbeitenVaidya Metrik Bearbeiten In den naturlichen Einheiten G c k B 1 displaystyle G c k rm B 1 nbsp und mit d W 2 d 8 2 sin 2 8 d ϕ 2 displaystyle mathrm d Omega 2 mathrm d theta 2 sin 2 theta mathrm d phi 2 nbsp lautet das Linienelement der Vaidya Metrik in auslaufenden Eddington Finkelstein Koordinaten 3 d s 2 1 2 M u r d u 2 2 d u d r r 2 d W 2 displaystyle rm d s 2 left 1 dfrac 2M u r right rm d u 2 2 rm d u rm d r r 2 rm d Omega 2 nbsp und in einlaufenden Eddington Finkelstein Koordinaten d s 2 1 2 M v r d v 2 2 d v d r r 2 d W 2 displaystyle rm d s 2 left 1 dfrac 2M v r right rm d v 2 2 rm d v rm d r r 2 rm d Omega 2 nbsp Vaidya Bonner Metrik Bearbeiten Fur elektrisch geladene Korper erweitert sich die Vaidya Metrik auf die Vaidya Bonner Metrik d s 2 1 2 M u r Q u r 2 d u 2 2 d u d r r 2 d W 2 displaystyle rm d s 2 left 1 dfrac 2M u r dfrac Q u r 2 right rm d u 2 2 rm d u rm d r r 2 rm d Omega 2 nbsp und d s 2 1 2 M v r Q v r 2 d v 2 2 d v d r r 2 d W 2 displaystyle rm d s 2 left 1 dfrac 2M v r dfrac Q v r 2 right rm d v 2 2 rm d v rm d r r 2 rm d Omega 2 nbsp wobei M displaystyle M nbsp das Massenaquivalent und Q displaystyle Q nbsp die elektrische Ladung des zentralen Korpers ist Die Vaidya Bonner Metrik reduziert sich mit Q d Q 0 displaystyle Q rm d Q 0 nbsp auf die Vaidya Metrik mit d M d Q 0 displaystyle rm d M rm d Q 0 nbsp auf die Reissner Nordstrom Metrik mit d M d Q Q 0 displaystyle rm d M rm d Q Q 0 nbsp auf die Schwarzschild Metrik M konst M konst ungeladen Q 0 displaystyle Q 0 nbsp Schwarzschild Metrik Vaidya Metrikgeladen Q 0 displaystyle Q neq 0 nbsp Reissner Nordstrom Metrik Vaidya Bonner MetrikBedeutung der Koordinatenzeit Bearbeiten Die Zeitkoordinate t displaystyle t nbsp eines feldfreien und ausreichend weit von der Masse M displaystyle M nbsp entfernten stationaren Beobachters steht mit den Koordinaten u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp im Verhaltnis 4 d t d u d r 1 2 M u r Q u r 2 displaystyle rm d t rm d u frac rm d r 1 2M u r Q u r 2 nbsp d t d v d r 1 2 M v r Q v r 2 displaystyle rm d t rm d v frac rm d r 1 2M v r Q v r 2 nbsp Dabei steht ein konstantes u displaystyle u nbsp d u 0 displaystyle rm d u 0 nbsp mit d r d t 1 2 M t r Q t r 2 displaystyle frac rm d r rm d t left 1 frac 2M t r frac Q t r 2 right nbsp fur radial auslaufende Strahlung undein konstantes v displaystyle v nbsp d v 0 displaystyle rm d v 0 nbsp mit d r d t 1 2 M t r Q t r 2 displaystyle frac rm d r rm d t left 1 frac 2M t r frac Q t r 2 right nbsp fur radial einlaufende Strahlung Einzelnachweise Bearbeiten Kim Choi amp Yang Black hole radiation in the Vaidya metric Corvin Zahn Visualisierung der Relativitatstheorie Koordinatenfreie und interaktive Werkzeuge Tubingen 2008 Volltext PDF abgerufen am 8 Dezember 2017 Dissertation Shaikh Kundu amp Sen Curvature Properties Of Vaidya Metric Thanu Padmanabhan Gravitation Foundation and Frontiers Cambridge University Press New York 2010 ISBN 978 0 521 88223 1 englisch Volltext in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vaidya Metrik amp oldid 227545368