www.wikidata.de-de.nina.az

Cardanische Kreise Als bezeichnet man in der euklidischen Ebene den Sonderfall einer Hypozykloide bei der der kleine abr

Cardanische Kreise

Als Cardanische Kreise bezeichnet man in der euklidischen Ebene den Sonderfall einer Hypozykloide, bei der der kleine (abrollende) Kreis halb so groß ist wie der große (feste) Kreis. (Der kleine Kreis rollt im Innern des großen Kreises.) Das Besondere dieser speziellen Hypozykloide ist: Jeder Punkt des Kreisbogens des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Cardanische Kreise: Der blaue Kreis rollt in dem doppelt so großen schwarzen Kreis. Der Punkt P des blauen Kreises bewegt sich auf dem roten Durchmesser

Geschichte Bearbeiten

Zeichnung Cardanische Kreise in einem Manuskript von Nasir ad-Din at-Tusi (13. Jahrhundert)

Die Himmelsscheibe von Nebra enthält einen Mechanismus ähnlich der cardanischen Kreise (in der Himmelsscheibe von Nebra finden sich Ellipsen anstelle von Kreisen).

In der englischen Literatur nennt man diese spezielle Hypozykloide Tusi couple (Tusi-Paar) nach dem persischen Astronomen und Mathematiker Nasir ad-Din at-Tusi des 13. Jahrhunderts. Nasir ad-Din at-Tusi beschrieb die Cardanische Kreise in seinem Werk Tahrir al-Majisti aus dem Jahr 1247. Der Begriff „Tusi couple“ wurde aber erst 1966 von Edward Kennedy geprägt.

Der Zusammenhang, dass jeder Punkt des Kreisbogens des kleineren Kreises sich auf einem Durchmesser des größeres Kreises bewegt, wurde 1570 von dem italienischen Humanisten Gerolamo Cardano beschrieben, auf den sich die deutschsprachige Benennung „Cardanische Kreise“ bezieht. Diese frühen Untersuchungen zu Zykloiden wurden später von Galilei ausgeweitet.

Zeichnung aus Nicolaus Coppernicus aus Thorn über die Kreisbewegungen der Weltkörper

Die Verbindung zwischen der Arbeit von Nasir ad-Din at-Tusi und den europäischen Gelehrten wird angenommen, jedoch konnte die Verbindung noch nicht sicher rekonstruiert werden. Auffallend ist, dass in den Arbeiten von Kopernikus die Punkte phonetisch ähnlich benannt wurden wie in den Arbeiten von Tusi.

Formulierung und Beweis des Satzes von Cardano Bearbeiten

Cardanische Kreise: zum Beweis

Gegeben ist ein Kreis k (blau) mit Mittelpunkt M und Radius r, der in einem Kreis K (schwarz) mit Mittelpunkt O und dem doppelten Radius R=2r liegt und diesen im Punkt P berührt (s. Bild).

Dann gilt:

  • Beim Abrollen des kleinen Kreises im Innern des großen Kreises bewegt sich der am kleinen Kreis fixierte Punkt auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Zusatz: Jeder Punkt der Kreislinie des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des großen Kreises.

Beweis:

Zum Beweis stellt man sich die Bewegung des Punktes in zwei Drehbewegungen zerlegt vor: 1) Drehung um den Punkt um den Winkel und 2) Drehung um den neuen Mittelpunkt des kleinen Kreises um den Winkel . Benutzt man komplexe Zahlen und ihre Darstellung als Gauß’sche Zahlenebene, so ist

Das Bild des Punktes (reelle Zahl !) ist dann:

Die Bahn des Punktes ist also das reelle Intervall (Durchmesser des großen Kreises.)

Die Ellipsen (rot, grün, blau) sind Hypotrochoiden des cardanischen Kreises.

Technische Anwendungen Bearbeiten

Animation Cardanische Kreise mit Innen- bzw. Außenverzahnung

Wird der äußere Kreis innen verzahnt und der innere Kreis als Zahnrad ausgeführt, dann lässt sich mit Hilfe Cardanischer Kreise eine Rotationsbewegung in eine periodische geradlinige Bewegung umsetzen.

Buchdruckpressen Bearbeiten

Dieses Prinzip lag der Erfindung der Buchdruckschnellpressen von König & Bauer zugrunde.

Motoren Bearbeiten

James White erhielt 1801 von Napoleon Bonaparte eine Medaille für einen Motor, der eine hypocykloidische Geradführung verwendete. Nach Whites Entwurf wurden ein paar Motoren gebaut, der wirtschaftliche Erfolg blieb aber aus.

Matthew Murray entwickelte einen hypocykloidischen Motor im Jahr 1802.

Allgemein Bearbeiten

In der technischen Anwendung ist der Mechanismus auch als hypocykloidische Geradführung bekannt.

In der Getriebesammlung von Franz Reuleaux finden sich zwei Modelle hypocykloidischer Geradführungen.

Hypotrochoiden Bearbeiten

Eine Eigenschaft der cardanischen Kreise ist, dass Punkte auf dem inneren Kreis, die nicht auf der Kreislinie liegen, Ellipsen beschreiben. Diese Ellipsen, und die gerade Linie, die vom klassischen cardanischen Kreis beschrieben werden, sind besondere Fälle von Hypotrochoiden.

Literatur Bearbeiten

  • Girolamo Cardano: Opus novum de proportionibus, Basel 1570. (Archimedes Project)
  • Otto Lueger: Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften. Bd. 2 Stuttgart/ Leipzig 1905, S. 423–424

Weblinks Bearbeiten

Commons: Cardanische Kreise – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • https://www.tu-chemnitz.de/mb/MechAntrTech/getriebebibliothek/DB_index.php?TAB=Getriebemodell&NR=147 (Modell zur Verwendung der Cardanischen Kreise in der Getriebetechnik)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. http://sternwarte-recklinghausen.de/astronomie/himmelscheibe-von-nebra/
  2. http://sternwarte-recklinghausen.de/astronomie/himmelscheibe-von-nebra/
  3. http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.2.html
  4. Gerolamo Cardano (1501–1576), Opus novum de proportionibus, 1570
  5. Nikolaus Kopernikus: Wie die wechselseitige Bewegung der Libration aus Kreisbewegungen besteht.. In: De revolutionibus orbium coelestium, Buch 3, Kapitel 4 (alternativer Link).
  6. http://www.columbia.edu/~gas1/project/visions/case1/sci.2.html
  7. http://adsabs.harvard.edu/full/1973JHA.....4..128V
  8. http://www.mirrorservice.org/sites/gutenberg.org/2/7/1/0/27106/27106-h/27106-h.htm
  9. http://www.gutenberg.org/files/27106/27106-h/27106-h.htm
  10. Robert Stuart: Historical and Descriptive Anecdotes of Steam-engines, and of Their Inventors and Improvers. Wightman and Cramp, 1829, S. 634 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  11. http://www.pollymodelengineering.co.uk/sections/stationary-engines/anthony-mount-models/murrays-Hypocycloidal-Engine.asp
  12. http://dampfundmehr.de/im-bau/Hypocycloidal/hypo_7.htm
  13. http://de.academic.ru/dic.nsf/technik/9302/Geradf%C3%BChrung%2C_hypocykloidische
  14. http://www.zeno.org/Lueger-1904/A/Geradf%C3%BChrung,+hypocykloidische
  15. http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=137
  16. http://kmoddl.library.cornell.edu/model.php?m=278
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Als Cardanische Kreise bezeichnet man in der euklidischen Ebene den Sonderfall einer Hypozykloide bei der der kleine abrollende Kreis halb so gross ist wie der grosse feste Kreis Der kleine Kreis rollt im Innern des grossen Kreises Das Besondere dieser speziellen Hypozykloide ist Jeder Punkt des Kreisbogens des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des grossen Kreises Cardanische Kreise Der blaue Kreis rollt in dem doppelt so grossen schwarzen Kreis Der Punkt P des blauen Kreises bewegt sich auf dem roten Durchmesser Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Formulierung und Beweis des Satzes von Cardano 3 Technische Anwendungen 3 1 Buchdruckpressen 3 2 Motoren 3 3 Allgemein 4 Hypotrochoiden 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseGeschichte Bearbeiten nbsp Zeichnung Cardanische Kreise in einem Manuskript von Nasir ad Din at Tusi 13 Jahrhundert Die Himmelsscheibe von Nebra enthalt einen Mechanismus ahnlich der cardanischen Kreise in der Himmelsscheibe von Nebra finden sich Ellipsen anstelle von Kreisen 1 In der englischen Literatur nennt man diese spezielle Hypozykloide Tusi couple Tusi Paar 2 nach dem persischen Astronomen und Mathematiker Nasir ad Din at Tusi des 13 Jahrhunderts Nasir ad Din at Tusi beschrieb die Cardanische Kreise in seinem Werk Tahrir al Majisti aus dem Jahr 1247 3 Der Begriff Tusi couple wurde aber erst 1966 von Edward Kennedy gepragt Der Zusammenhang dass jeder Punkt des Kreisbogens des kleineren Kreises sich auf einem Durchmesser des grosseres Kreises bewegt wurde 1570 von dem italienischen Humanisten Gerolamo Cardano beschrieben 4 auf den sich die deutschsprachige Benennung Cardanische Kreise bezieht Diese fruhen Untersuchungen zu Zykloiden wurden spater von Galilei ausgeweitet nbsp Zeichnung aus Nicolaus Coppernicus aus Thorn uber die Kreisbewegungen der WeltkorperDie Verbindung zwischen der Arbeit von Nasir ad Din at Tusi und den europaischen Gelehrten wird angenommen jedoch konnte die Verbindung noch nicht sicher rekonstruiert werden Auffallend ist dass in den Arbeiten von Kopernikus 5 die Punkte phonetisch ahnlich benannt wurden wie in den Arbeiten von Tusi 6 7 Formulierung und Beweis des Satzes von Cardano Bearbeiten nbsp Cardanische Kreise zum BeweisGegeben ist ein Kreis k blau mit Mittelpunkt M und Radius r der in einem Kreis K schwarz mit Mittelpunkt O und dem doppelten Radius R 2r liegt und diesen im Punkt P beruhrt s Bild Dann gilt Beim Abrollen des kleinen Kreises im Innern des grossen Kreises bewegt sich der am kleinen Kreis fixierte Punkt P displaystyle P nbsp auf einem Durchmesser des grossen Kreises Zusatz Jeder Punkt der Kreislinie des kleinen Kreises bewegt sich auf einem Durchmesser des grossen Kreises Beweis Zum Beweis stellt man sich die Bewegung des Punktes P displaystyle P nbsp in zwei Drehbewegungen zerlegt vor 1 D 1 displaystyle Delta 1 nbsp Drehung um den Punkt O displaystyle O nbsp um den Winkel f displaystyle varphi nbsp und 2 D 2 displaystyle Delta 2 nbsp Drehung um den neuen Mittelpunkt M f r cos f r sin f displaystyle M varphi r cos varphi r sin varphi nbsp des kleinen Kreises um den Winkel 2 f displaystyle 2 varphi nbsp Benutzt man komplexe Zahlen und ihre Darstellung als Gauss sche Zahlenebene so ist D 1 z z e i f displaystyle Delta 1 z mapsto ze i varphi nbsp und D 2 z r e i f z r e i f e i 2 f displaystyle Delta 2 z mapsto re i varphi z re i varphi e i2 varphi nbsp Das Bild des Punktes P 2 r displaystyle P 2r nbsp reelle Zahl ist dann P f D 2 D 1 2 r r e i f 2 r e i f r e i f e i 2 f r e i f e i f 2 r cos f R displaystyle P varphi Delta 2 Delta 1 2r re i varphi 2re i varphi re i varphi e i2 varphi r e i varphi e i varphi 2r cos varphi in mathbb R nbsp Die Bahn des Punktes P displaystyle P nbsp ist also das reelle Intervall 2 r 2 r displaystyle 2r 2r nbsp Durchmesser des grossen Kreises nbsp Die Ellipsen rot grun blau sind Hypotrochoiden des cardanischen Kreises Technische Anwendungen Bearbeiten nbsp Animation Cardanische Kreise mit Innen bzw AussenverzahnungWird der aussere Kreis innen verzahnt und der innere Kreis als Zahnrad ausgefuhrt dann lasst sich mit Hilfe Cardanischer Kreise eine Rotationsbewegung in eine periodische geradlinige Bewegung umsetzen Buchdruckpressen Bearbeiten Dieses Prinzip lag der Erfindung der Buchdruckschnellpressen von Konig amp Bauer zugrunde Motoren Bearbeiten James White erhielt 1801 von Napoleon Bonaparte eine Medaille fur einen Motor der eine hypocykloidische Geradfuhrung verwendete Nach Whites Entwurf wurden ein paar Motoren gebaut der wirtschaftliche Erfolg blieb aber aus 8 9 10 Matthew Murray entwickelte einen hypocykloidischen Motor im Jahr 1802 11 12 Allgemein Bearbeiten In der technischen Anwendung ist der Mechanismus auch als hypocykloidische Geradfuhrung bekannt 13 14 In der Getriebesammlung von Franz Reuleaux finden sich zwei Modelle hypocykloidischer Geradfuhrungen 15 16 Hypotrochoiden BearbeitenEine Eigenschaft der cardanischen Kreise ist dass Punkte auf dem inneren Kreis die nicht auf der Kreislinie liegen Ellipsen beschreiben Diese Ellipsen und die gerade Linie die vom klassischen cardanischen Kreis beschrieben werden sind besondere Falle von Hypotrochoiden Literatur BearbeitenGirolamo Cardano Opus novum de proportionibus Basel 1570 Archimedes Project Otto Lueger Lexikon der gesamten Technik und ihrer Hilfswissenschaften Bd 2 Stuttgart Leipzig 1905 S 423 424Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Cardanische Kreise Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien https www tu chemnitz de mb MechAntrTech getriebebibliothek DB index php TAB Getriebemodell amp NR 147 Modell zur Verwendung der Cardanischen Kreise in der Getriebetechnik Einzelnachweise Bearbeiten http sternwarte recklinghausen de astronomie himmelscheibe von nebra http sternwarte recklinghausen de astronomie himmelscheibe von nebra http www columbia edu gas1 project visions case1 sci 2 html Gerolamo Cardano 1501 1576 Opus novum de proportionibus 1570 Nikolaus Kopernikus Wie die wechselseitige Bewegung der Libration aus Kreisbewegungen besteht In De revolutionibus orbium coelestium Buch 3 Kapitel 4 alternativer Link http www columbia edu gas1 project visions case1 sci 2 html http adsabs harvard edu full 1973JHA 4 128V http www mirrorservice org sites gutenberg org 2 7 1 0 27106 27106 h 27106 h htm http www gutenberg org files 27106 27106 h 27106 h htm Robert Stuart Historical and Descriptive Anecdotes of Steam engines and of Their Inventors and Improvers Wightman and Cramp 1829 S 634 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche http www pollymodelengineering co uk sections stationary engines anthony mount models murrays Hypocycloidal Engine asp http dampfundmehr de im bau Hypocycloidal hypo 7 htm http de academic ru dic nsf technik 9302 Geradf C3 BChrung 2C hypocykloidische http www zeno org Lueger 1904 A Geradf C3 BChrung hypocykloidische http kmoddl library cornell edu model php m 137 http kmoddl library cornell edu model php m 278 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cardanische Kreise amp oldid 237736149