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Tropenlehre Die ist ein von dem Komponisten Josef Matthias Hauer 1883 1959 entwickeltes Hilfssystem in der Zwölftonkompo

Tropenlehre

Die Tropenlehre ist ein von dem Komponisten Josef Matthias Hauer (1883–1959) entwickeltes Hilfssystem in der Zwölftonkomposition. Ihre gezielte kompositorische Anwendung nennt sich Tropentechnik.

Hauer versteht die von ihm gegen Ende 1921 entwickelten und so genannten 44 Tropen („Wendungen“, „Konstellationsgruppen“) als ein Ordnungssystem im musikalischen Zwölftonraum, mit dessen Hilfe es möglich ist, alle 479.001.600 Permutationen der 12 Töne (Möglichkeiten der Bildung von Zwölftonreihen) zu überschauen und durch die Zusammenfassung gemeinsamer Eigenschaften zu strukturieren und zu ordnen. Dabei verfährt Hauer grundsätzlich so, dass er die zwölf Töne in zwei beliebige Sechstongruppen unterteilt und deren Intervallverhältnisse betrachtet. Für eine „Trope“, die damit also nichts anderes ist als eine in diesem Sinne vorgenommene Kombination zweier sich zum chromatischen Total ergänzender Hexachorde, sind weder absolute Tonhöhen relevant noch eine bestimmte Anordnung von Tönen innerhalb der „Tropenhälften“, d. h. der Sechstongruppen. Auch ist die Reihenfolge der beiden Tropenhälften nicht zwingend, sie können beliebig untereinander vertauscht werden. Das Hauer’sche System erweist sich aufgrund von Berechnungen und durchgeführten systematischen Verfahren zur Herleitung der Tropen als vollständig und in sich geschlossen.

Symmetrie als Grundlage der Tropenlehre Bearbeiten

Der Inhalt und Sinn der Tropenlehre besteht in der Betrachtung der tropeneigenen Intervallverhältnisse mit dem Zweck der Gewinnung satztechnisch relevanter Erkenntnisse. Hier zeigen sich unterschiedliche Arten von Symmetrien und anderen signifikanten Intervallbeziehungen (z. B.: besondere Klangstrukturen) auf verschiedenen Ebenen, nämlich innerhalb der Hexachorde, zwischen den beiden Hälften einer Trope, aber auch zwischen ganzen Tropen. Tatsächlich gibt es keine einzige Trope, die nicht durch ihre Symmetrien beschreibbar wäre. Dadurch wird die Einteilung des Systems in Symmetriegruppen zweckmäßig.

Aufgrund der Kenntnis einer Trope und ihrer intervallischen Eigenschaften ist es möglich, Aussagen über alle aus ihr formbaren Zwölftonreihen zu treffen. Ebenso lässt sich dieses Wissen kompositorisch auf sehr vielfältige Art und Weise nutzen („Tropentechnik“). So lassen sich zum Beispiel Reihen mit besonderen formalen, harmonischen oder melodischen Eigenschaften bilden, was sich durch die Anwendung spezieller tropentechnischer Verfahren wiederum auf eine ganze Komposition übertragen lässt. Insgesamt kann die Kenntnis der Tropen eine genaue und plangemäße Prädetermination einer Komposition ermöglichen, welche die Rahmenbedingungen für die Umsetzung eines kompositorischen Konzeptes schafft. Ein derartiges „Konzept“ kann verschiedenartig und auf unterschiedlichen Ebenen ausfallen, sei es z. B. auf formaler Ebene (z. B.: Erstellung eines „Spiegelkrebskanons“), auf harmonischer Ebene (z. B.: die Verwendung nur bestimmter Klänge) oder auf melodischer Ebene (z. B.: Verwendung eines „Cantus firmus“) etc. … Es kann aber auch Kombinationen dieser Optionen beinhalten.

Die 44 Tropen werden in so genannten „Tropentafeln“ zusammengeschrieben. Eine Tropentafel ist eine Übersicht über die 44 Tropen und stellt optimalerweise bestimmte (oder möglichst viele) Eigenschaften der Tropen dar. Da die Anordnung der Töne innerhalb der Tropenhälften beliebig ist, gibt es ebenso viele mögliche „Tropenbilder“, d. h. notierte Visualisierung einer Trope, wie Tonanordnungen – und daher theoretisch nahezu unendlich viele verschiedene Tropentafeln. In der Regel bietet sich jedoch eine möglichst übersichtliche und musikalisch relevante Aspekte zeigende Tropendarstellung an. Grundsätzlich ist auch die Anordnung (Nummerierung) der Tropen auf einer Tropentafel unterschiedlich, doch hat sich die Nummerierung von Hauers Tafel vom 11. August 1948 aufgrund ihrer Brauchbarkeit und ihrer Verbreitung gegenüber den sonstigen bestehenden Möglichkeiten in der Praxis durchgesetzt.

Kategorien der Tropen Bearbeiten

Aufgrund ihrer Symmetrien lassen sich die Tropen in unterschiedliche Kategorien einteilen. Zur optimalen Erfassung dieser Symmetrieeigenschaften eignet sich eine Kombination aus einer ausschließenden und einer einschließenden Betrachtung. Insgesamt sind dabei zwei grundsätzliche Arten von Symmetrien unterscheidbar:

  • Transposition von Intervallverhältnissen: Zwei verglichene Strukturen weisen, auf unterschiedlicher Tonlage, dieselben Intervallverhältnisse auf.
  • Spiegelung (Umkehrung) von Intervallverhältnissen: Zwei Strukturen weisen, auf unterschiedlicher Tonlage, dieselben Intervallverhältnisse, aber in umgekehrter Richtung, auf.

Diese Symmetrien werden auf den drei bereits erwähnten Ebenen betrachtet:

  • Verhältnisse zwischen Tropen (nur Spiegelung)
  • Verhältnisse zwischen Hexachorden (Transposition und/oder Spiegel)
  • Verhältnisse innerhalb von Hexachorden (Transposition und/oder Spiegel)

Die Betrachtung von Möglichkeiten einer Krebsbildung im Sinne einer Kategorie zur morphologischen Einteilung der Tropen wäre unzweckmäßig, da die beiden Hälften einer Trope ebenso wie auch die Töne innerhalb der Tropenhälften ja beliebig ausgetauscht werden können. So ist es möglich, innerhalb jeder Trope ihren eigenen Krebs zu bilden. Ebenso unzweckmäßig wäre es, eine Transposition als Verhältnis zwischen zwei ganzen Tropen zu betrachten, denn indem die Tropen durch ihre Intervallverhältnisse, nicht aber durch absolute Tonhöhen charakterisiert sind, ergibt jede beliebig transponierte Trope selbstverständlich wieder sich selbst. Aus diesen oben nun angeführten Möglichkeiten der zwei Symmetrien auf diesen drei unterschiedlichen Ebenen ergeben sich folgende relevante Kategorien der Einteilung der Tropen:

Betrachtungen auf Tropenebene Bearbeiten

  • Spiegelung zwischen zwei Tropen: Zwei Tropen stehen im Spiegel zueinander. Alle Tropen, die nicht durch eine andere Trope umkehrbar sind, können durch sich selbst umgekehrt werden. Der Hauer-Schüler Sokolowski spricht in diesem Fall von "Exosymmetrie".

18 Tropen = 9 Tropenpaare: Nr. 5–6, 15–16, 18–22, 19–21, 20–23, 24–25, 28–29, 31–33, 37–38;

Betrachtungen auf Hexachordebene Bearbeiten

  • Spiegelung, aber keine Transposition zwischen zwei Hexachorden einer Trope: Beide Tropenhälften stehen zueinander im Spiegel, nicht aber in der Transposition. Sokolowski nennt diese Tropen "monosymmetrisch". – 13 Tropen: Nr. 2, 3, 9, 11, 12, 13, 26, 27, 30, 34, 39, 42, 43;
  • Transposition, aber keine Umkehrung zwischen zwei Hexachorden einer Trope: Beide Hexachorde weisen dieselben Intervallverhältnisse zueinander auf, stehen zugleich aber nicht im Spiegel zueinander. – 2 Tropen: Nr. 28, 29; Diese beiden Tropen stehen zueinander im Spiegel.
  • Spiegelung und Transposition zwischen den Hexachorden zugleich: Beide Hexachorde stehen zueinander im Spiegel und zugleich auch in der Transposition. – 6 Tropen: Nr. 1, 4, 10, 17, 41, 44;
  • Die übrigen 23 Tropen, bei denen beide Hälften weder in der Transposition, noch im Spiegel zueinander stehen, sind entweder zueinander symmetrisch (8 Tropenpaare: Nr. 5–6, 15–16, 18–22, 19–21, 20–23, 24–25, 31–33, 37–38) oder sie weisen in sich spiegelsymmetrische Hexachorde auf (7 Tropen: Nr. 7, 8, 14, 32, 35, 36, 40), was Sokolowski "endosymmetrisch" nennt.

Betrachtungen innerhalb eines Hexachordes Bearbeiten

  • Spiegelung, aber keine Transposition innerhalb beider Tropenhälften: Beide Hexachorde einer Trope sind in sich symmetrisch und können umgekehrt werden. Bei einigen Tropen sich hier ergebenden müsste jedoch ein Ton oktavverdoppelt werden. Es zeigt sich, dass es keine Trope gibt, bei der nur eine Tropenhälfte symmetrisch ist, die andere aber nicht. – 6 Tropen: Nr. 7, 14, 32, 35, 36, 40;
  • Transposition, aber keine Spiegelung innerhalb beider Tropenhälften: In beiden Hexachorden einer Trope finden sich (drei-tönige) Klangstrukturen, die vom Rest der Töne innerhalb der Tropenhälfte, in der sie stehen, intervallgetreu transponiert werden können. – 11 Tropen: Nr. 2, 3, 9, 15, 16, 28, 29, 30, 34, 39, 42;
  • Transposition und Spiegelung innerhalb beider Hexachorde: In beiden Hexachorden lassen sich sowohl transponierbare als auch umkehrbare Intervallstrukturen ausmachen. Es gibt keine Trope, in der diese Möglichkeit in nur einem einzigen Hexachord besteht. – 7 Tropen: Nr. 1, 4, 10, 17, 41, 44, aber auch Nr. 8;
  • Transposition innerhalb eines Hexachordes: In einem Hexachord einer Trope findet sich eine in dieser Tropenhälfte transponierbare (dreitönige) Klangstruktur. – 18 Tropen: Nr. 5, 6, 7, 14, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40;
  • Tropen, deren Hexachorde nicht ihre eigene Umkehrung sind und die auch keine erkennbaren transponierbaren (Dreiton-)Strukturen aufweisen. – 8 Tropen: Nr. 11, 12, 13, 20, 23, 26, 27, 43;

Bei den spiegelgleichen Tropen, die in beiden Hälften transponierte Dreitongruppen aufweisen (Nr. 2, 3, 9, 30, 39, 42) ist die Dreitongruppe des ersten Hexachordes im zweiten in gespiegelter Form, aber nicht in ihrer Originalgestalt darstellbar. Bei den Tropen 28 und 29 ist die Dreitonstruktur in beiden Hexachorden identisch und kann nicht im Spiegel dargestellt werden. Bei den Tropen 1, 4, 10, 17, 41 und 44 kann eine in beiden Tropenhälften identische Dreitonstruktur beliebig gespiegelt oder transponiert dargestellt werden. Bei den übrigen Tropen (15, 16 und teilweise 8) sind die möglichen Dreitongruppen in den Hexachorden unterschiedlich. Es ergibt sich aus der Logik des zwölftönig-chromatischen Tonsystems, dass bei einer Trope, bei der ein Hexachord in sich symmetrisch ist, die zweite Tropenhälfte auch durch sich selbst umkehrbar ist. Aus diesem Grund existiert nicht die Kategorie „Spiegelung innerhalb eines Hexachordes“. Bei den Kategorien, die eine Transposition innerhalb eines oder beider Hexachorde angibt, lässt sich die Möglichkeit nicht völlig ausschließen, dass es über die oben genannten hinaus noch weitere Tropen gibt, bei denen diese Eigenschaft bislang noch nicht entdeckt wurde. Die Tropen Nr. 1, 4, 10, 17, 41 und 44. scheinen auf zwei Ebenen wiederholt auf. In ihnen finden sich beide Symmetrieformen (Transposition und Spiegelung) zugleich, und zwar sowohl auf der Hexachordebene als auch bei der Betrachtung der Tropenhälften für sich. Bezugnehmend auf die Terminologie beim Hauer-Schüler Victor Sokolowski (1911–1982) wären diese sechs „polysymmetrisch“, im Sinne einer Symmetrie auf mehreren Ebenen. Insgesamt wird aus der oben erfolgten Zusammenstellung ersichtlich, wie komplex das Tropensystem ist und wie schwierig sich eine eindeutige morphologische Einteilung gestaltet, da sich weder eine ausschließende noch eine einschließende für sich alleine genommen als vollständig erweist. So scheint nur eine Kombination aus ex- und inklusiver Betrachtung, wie hier vorgenommen, optimal zu sein.

Für Tropen mit transponierenden Hexachorden verwendete Hauer das Adjektiv „widergleich“. Für Tropen mit gespiegelten Hexachorden kann in Bezugnahme auf die Tropen-Morphologie bei Othmar Steinbauer (1895–1962) der Begriff „spiegelgleich“ herangezogen werden (obgleich dieser das Wort unter einer anderen Bedeutung verwendete). Das Begriffspaar „widergleich“ – „spiegelgleich“ wird, was für die Tropentechnik zweckmäßig ist, nur im Hinblick auf das Verhältnis der beiden Hexachorde einer Trope angewandt. So können diese beiden Begriffe zur Beschreibung der Tropeneigenschaften auf der Hexachordebene herangezogen werden. Folglich gibt es:

  • 8 widergleiche Tropen (1, 4, 10, 17, 28, 29, 41, 44),
  • 19 spiegelgleiche Tropen (1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 26, 27, 30, 34, 39, 41, 42, 43, 44) und
  • 6 Tropen, die widergleich und zugleich spiegelgleich sind (1, 4, 10, 17, 41, 44).

Zur Anzahl von 44 Tropen Bearbeiten

Die Anzahl von genau 44 Tropen ergibt sich zwingend aufgrund von strukturellen Gegebenheiten der Hexachorde. 44 Tropen entsprechen insgesamt 88 Hexachordpaaren. Während die acht widergleichen Tropen aus zweimal derselben (aber um je ein bestimmtes Intervall transponierten) Hexachordstruktur gebildet werden, bestehen 36 Tropen aus zwei verschiedenen Hexachorden. Somit bestätigt sich die Zahl von 80 existierenden Hexachordstrukturen im Zwölftonsystem, abzüglich aller möglichen Transpositionen und Umlegungen von Tönen. Möchte man diese einberechnen, so wäre zu bedenken, dass von diesen 80 Hexachorden wiederum 75 je zwölf Transpositionsmöglichkeiten besitzen. Fünf Hexachorde sind indessen – im Sinne Messiaens – nur begrenzt transponierbar (Hauer spricht in diesem Zusammenhang von "Tongeschlechtern"): Die Hexachorde der widergleichen Tropen 4, 17 und 44 haben jeweils sechs, vier, bzw. zwei Transpositionsmöglichkeiten. Die beiden Hexachorde der nicht-widergleichen Trope 39 haben je sechs Transpositionen. So ergibt die Rechnung 75 · 12 + 3 · 6 + 4 + 2 = 924. Diese Zahl gibt Hauer als die Gesamtsumme aller möglichen Tongeschlechter an, womit die Summe aller Transpositionsmöglichkeiten aller möglichen Hexachorde ausgedrückt wird. Hieraus errechnet sich nun die Gesamtzahl der möglichen Zwölftonreihen, wenn man die Tropen als Kombination zweier Hexachorde mit einbezieht: 924 · 6! · 6! = 924 · 720 · 720 = 479001600 = 12!

Quellen Bearbeiten

  1. "Das Studium der Satztechnik in der Zwölftonmusik ist dem der Harmonielehre und des Kontrapunktes sehr ähnlich, der Unterschied liegt nur in den größeren Möglichkeiten, in den feineren Verästelungen und Verzweigungen. Die gesamte Satztechnik der Zwölftonmusik klammert sich an die Lehre von den Tropen, die ein intensives Studium erfordert." Hauer, Josef Matthias: Vom Melos zur Pauke. Eine Einführung in die Zwölftonmusik, Wien 1925, S. 11.
  2. Für eine Zusammenstellung verschiedener Tropentafeln siehe Diederichs, Joachim, Fheodoroff, Nikolaus und Schwieger, Johannes (Hg.): Josef Matthias Hauer. Schriften. Manifeste. Dokumente, Edition Österreichische Musikzeit, Wien 2007, S. 418, 440 und 442–447.
  3. Vgl. Sedivy, Dominik: Tropentechnik. Ihre Anwendung und ihre Möglichkeiten, Königshausen & Neumann, Würzburg 2012, S. 47–50.
  4. Josef Matthias Hauer: Vom Melos zur Pauke. Eine Einführung in die Zwölftonmusik, Wien 1925, S. 14.
  5. Vgl. Neumann, Helmut (Hrsg.): Die Klangreihen-Kompositionslehre nach Othmar Steinbauer (1895–1962), Bd. 1, Peter Lang, Frankfurt / Wien 2001, S. 195.
  6. Hauer, Josef Matthias: Vom Melos zur Pauke. Eine Einführung in die Zwölftonmusik, Wien 1925, S. 14.
  7. Die Zahl 924 nennt auch Herbert Eimert im Lehrbuch der Zwölftontechnik, Wiesbaden 1952, S. 20.

Literatur Bearbeiten

  • Barbara Boisits: Tropenlehre. In: Oesterreichisches Musiklexikon. Online-Ausgabe, Wien 2002 ff., ISBN 3-7001-3077-5; Druckausgabe: Band 5, Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, Wien 2006, ISBN 3-7001-3067-8.
  • Diederichs, Joachim, Fheodoroff, Nikolaus und Schwieger, Johannes (Hg.): Josef Matthias Hauer. Schriften. Manifeste. Dokumente, Edition Österreichische Musikzeit, Wien 2007, S. 416–452.
  • Hauer, Josef Matthias: „Die Tropen“, in: Musikblätter des Anbruch, Jhrg. 6 / 1, Universal Edition, Wien 1924, S. 18–21.
  • Hauer, Josef Matthias: Vom Melos zur Pauke. Eine Einführung in die Zwölftonmusik, Universal Edition, Wien 1925.
  • Hauer, Josef Matthias: Zwölftontechnik. Die Lehre von den Tropen, Universal Edition, Wien 1926.
  • Neumann, Helmut (Hrsg.): Die Klangreihen-Kompositionslehre nach Othmar Steinbauer (1895–1962), Bd. 1, Peter Lang, Frankfurt / Wien 2001, S. 167–197.
  • Sedivy, Dominik: Serial Composition and Tonality. An Introduction to the Music of Hauer and Steinbauer, edition mono, Wien 2011, S. 81–90.
  • Sedivy, Dominik: Tropentechnik. Ihre Anwendung und ihre Möglichkeiten, Königshausen & Neumann, Würzburg 2012, S. 44–53.
  • Sengstschmid, Johann: Zwischen Trope und Zwölftonspiel. J. M. Hauers Zwölftontechnik in ausgewählten Beispielen, Gustav Bosse Verlag Regensburg 1980.
  • Weiss, Robert Michael: Das Zwölftonspiel von Josef Matthias Hauer, Hausarbeit an der Hochschule für Musik und darstellende Kunst Wien, Wien 1980, S. 34ff.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Die Tropenlehre ist ein von dem Komponisten Josef Matthias Hauer 1883 1959 entwickeltes Hilfssystem in der Zwolftonkomposition Ihre gezielte kompositorische Anwendung nennt sich Tropentechnik Hauer versteht die von ihm gegen Ende 1921 entwickelten und so genannten 44 Tropen Wendungen Konstellationsgruppen als ein Ordnungssystem im musikalischen Zwolftonraum mit dessen Hilfe es moglich ist alle 479 001 600 Permutationen der 12 Tone Moglichkeiten der Bildung von Zwolftonreihen zu uberschauen und durch die Zusammenfassung gemeinsamer Eigenschaften zu strukturieren und zu ordnen Dabei verfahrt Hauer grundsatzlich so dass er die zwolf Tone in zwei beliebige Sechstongruppen unterteilt und deren Intervallverhaltnisse betrachtet Fur eine Trope die damit also nichts anderes ist als eine in diesem Sinne vorgenommene Kombination zweier sich zum chromatischen Total erganzender Hexachorde sind weder absolute Tonhohen relevant noch eine bestimmte Anordnung von Tonen innerhalb der Tropenhalften d h der Sechstongruppen Auch ist die Reihenfolge der beiden Tropenhalften nicht zwingend sie konnen beliebig untereinander vertauscht werden Das Hauer sche System erweist sich aufgrund von Berechnungen und durchgefuhrten systematischen Verfahren zur Herleitung der Tropen als vollstandig und in sich geschlossen Inhaltsverzeichnis 1 Symmetrie als Grundlage der Tropenlehre 1 1 Kategorien der Tropen 1 2 Betrachtungen auf Tropenebene 1 3 Betrachtungen auf Hexachordebene 1 4 Betrachtungen innerhalb eines Hexachordes 2 Zur Anzahl von 44 Tropen 3 Quellen 4 Literatur 5 Siehe auch 6 WeblinksSymmetrie als Grundlage der Tropenlehre BearbeitenDer Inhalt und Sinn der Tropenlehre besteht in der Betrachtung der tropeneigenen Intervallverhaltnisse mit dem Zweck der Gewinnung satztechnisch relevanter Erkenntnisse 1 Hier zeigen sich unterschiedliche Arten von Symmetrien und anderen signifikanten Intervallbeziehungen z B besondere Klangstrukturen auf verschiedenen Ebenen namlich innerhalb der Hexachorde zwischen den beiden Halften einer Trope aber auch zwischen ganzen Tropen Tatsachlich gibt es keine einzige Trope die nicht durch ihre Symmetrien beschreibbar ware Dadurch wird die Einteilung des Systems in Symmetriegruppen zweckmassig Aufgrund der Kenntnis einer Trope und ihrer intervallischen Eigenschaften ist es moglich Aussagen uber alle aus ihr formbaren Zwolftonreihen zu treffen Ebenso lasst sich dieses Wissen kompositorisch auf sehr vielfaltige Art und Weise nutzen Tropentechnik So lassen sich zum Beispiel Reihen mit besonderen formalen harmonischen oder melodischen Eigenschaften bilden was sich durch die Anwendung spezieller tropentechnischer Verfahren wiederum auf eine ganze Komposition ubertragen lasst Insgesamt kann die Kenntnis der Tropen eine genaue und plangemasse Pradetermination einer Komposition ermoglichen welche die Rahmenbedingungen fur die Umsetzung eines kompositorischen Konzeptes schafft Ein derartiges Konzept kann verschiedenartig und auf unterschiedlichen Ebenen ausfallen sei es z B auf formaler Ebene z B Erstellung eines Spiegelkrebskanons auf harmonischer Ebene z B die Verwendung nur bestimmter Klange oder auf melodischer Ebene z B Verwendung eines Cantus firmus etc Es kann aber auch Kombinationen dieser Optionen beinhalten Die 44 Tropen werden in so genannten Tropentafeln zusammengeschrieben Eine Tropentafel ist eine Ubersicht uber die 44 Tropen und stellt optimalerweise bestimmte oder moglichst viele Eigenschaften der Tropen dar 2 Da die Anordnung der Tone innerhalb der Tropenhalften beliebig ist gibt es ebenso viele mogliche Tropenbilder d h notierte Visualisierung einer Trope wie Tonanordnungen und daher theoretisch nahezu unendlich viele verschiedene Tropentafeln In der Regel bietet sich jedoch eine moglichst ubersichtliche und musikalisch relevante Aspekte zeigende Tropendarstellung an Grundsatzlich ist auch die Anordnung Nummerierung der Tropen auf einer Tropentafel unterschiedlich doch hat sich die Nummerierung von Hauers Tafel vom 11 August 1948 aufgrund ihrer Brauchbarkeit und ihrer Verbreitung gegenuber den sonstigen bestehenden Moglichkeiten in der Praxis durchgesetzt Kategorien der Tropen Bearbeiten Aufgrund ihrer Symmetrien lassen sich die Tropen in unterschiedliche Kategorien einteilen Zur optimalen Erfassung dieser Symmetrieeigenschaften eignet sich eine Kombination aus einer ausschliessenden und einer einschliessenden Betrachtung Insgesamt sind dabei zwei grundsatzliche Arten von Symmetrien unterscheidbar 3 Transposition von Intervallverhaltnissen Zwei verglichene Strukturen weisen auf unterschiedlicher Tonlage dieselben Intervallverhaltnisse auf Spiegelung Umkehrung von Intervallverhaltnissen Zwei Strukturen weisen auf unterschiedlicher Tonlage dieselben Intervallverhaltnisse aber in umgekehrter Richtung auf Diese Symmetrien werden auf den drei bereits erwahnten Ebenen betrachtet Verhaltnisse zwischen Tropen nur Spiegelung Verhaltnisse zwischen Hexachorden Transposition und oder Spiegel Verhaltnisse innerhalb von Hexachorden Transposition und oder Spiegel Die Betrachtung von Moglichkeiten einer Krebsbildung im Sinne einer Kategorie zur morphologischen Einteilung der Tropen ware unzweckmassig da die beiden Halften einer Trope ebenso wie auch die Tone innerhalb der Tropenhalften ja beliebig ausgetauscht werden konnen So ist es moglich innerhalb jeder Trope ihren eigenen Krebs zu bilden Ebenso unzweckmassig ware es eine Transposition als Verhaltnis zwischen zwei ganzen Tropen zu betrachten denn indem die Tropen durch ihre Intervallverhaltnisse nicht aber durch absolute Tonhohen charakterisiert sind ergibt jede beliebig transponierte Trope selbstverstandlich wieder sich selbst Aus diesen oben nun angefuhrten Moglichkeiten der zwei Symmetrien auf diesen drei unterschiedlichen Ebenen ergeben sich folgende relevante Kategorien der Einteilung der Tropen Betrachtungen auf Tropenebene Bearbeiten Spiegelung zwischen zwei Tropen Zwei Tropen stehen im Spiegel zueinander Alle Tropen die nicht durch eine andere Trope umkehrbar sind konnen durch sich selbst umgekehrt werden Der Hauer Schuler Sokolowski spricht in diesem Fall von Exosymmetrie 18 Tropen 9 Tropenpaare Nr 5 6 15 16 18 22 19 21 20 23 24 25 28 29 31 33 37 38 Betrachtungen auf Hexachordebene Bearbeiten Spiegelung aber keine Transposition zwischen zwei Hexachorden einer Trope Beide Tropenhalften stehen zueinander im Spiegel nicht aber in der Transposition Sokolowski nennt diese Tropen monosymmetrisch 13 Tropen Nr 2 3 9 11 12 13 26 27 30 34 39 42 43 Transposition aber keine Umkehrung zwischen zwei Hexachorden einer Trope Beide Hexachorde weisen dieselben Intervallverhaltnisse zueinander auf stehen zugleich aber nicht im Spiegel zueinander 2 Tropen Nr 28 29 Diese beiden Tropen stehen zueinander im Spiegel Spiegelung und Transposition zwischen den Hexachorden zugleich Beide Hexachorde stehen zueinander im Spiegel und zugleich auch in der Transposition 6 Tropen Nr 1 4 10 17 41 44 Die ubrigen 23 Tropen bei denen beide Halften weder in der Transposition noch im Spiegel zueinander stehen sind entweder zueinander symmetrisch 8 Tropenpaare Nr 5 6 15 16 18 22 19 21 20 23 24 25 31 33 37 38 oder sie weisen in sich spiegelsymmetrische Hexachorde auf 7 Tropen Nr 7 8 14 32 35 36 40 was Sokolowski endosymmetrisch nennt Betrachtungen innerhalb eines Hexachordes Bearbeiten Spiegelung aber keine Transposition innerhalb beider Tropenhalften Beide Hexachorde einer Trope sind in sich symmetrisch und konnen umgekehrt werden Bei einigen Tropen sich hier ergebenden musste jedoch ein Ton oktavverdoppelt werden Es zeigt sich dass es keine Trope gibt bei der nur eine Tropenhalfte symmetrisch ist die andere aber nicht 6 Tropen Nr 7 14 32 35 36 40 Transposition aber keine Spiegelung innerhalb beider Tropenhalften In beiden Hexachorden einer Trope finden sich drei tonige Klangstrukturen die vom Rest der Tone innerhalb der Tropenhalfte in der sie stehen intervallgetreu transponiert werden konnen 11 Tropen Nr 2 3 9 15 16 28 29 30 34 39 42 Transposition und Spiegelung innerhalb beider Hexachorde In beiden Hexachorden lassen sich sowohl transponierbare als auch umkehrbare Intervallstrukturen ausmachen Es gibt keine Trope in der diese Moglichkeit in nur einem einzigen Hexachord besteht 7 Tropen Nr 1 4 10 17 41 44 aber auch Nr 8 Transposition innerhalb eines Hexachordes In einem Hexachord einer Trope findet sich eine in dieser Tropenhalfte transponierbare dreitonige Klangstruktur 18 Tropen Nr 5 6 7 14 18 19 21 22 24 25 31 32 33 35 36 37 38 40 Tropen deren Hexachorde nicht ihre eigene Umkehrung sind und die auch keine erkennbaren transponierbaren Dreiton Strukturen aufweisen 8 Tropen Nr 11 12 13 20 23 26 27 43 Bei den spiegelgleichen Tropen die in beiden Halften transponierte Dreitongruppen aufweisen Nr 2 3 9 30 39 42 ist die Dreitongruppe des ersten Hexachordes im zweiten in gespiegelter Form aber nicht in ihrer Originalgestalt darstellbar Bei den Tropen 28 und 29 ist die Dreitonstruktur in beiden Hexachorden identisch und kann nicht im Spiegel dargestellt werden Bei den Tropen 1 4 10 17 41 und 44 kann eine in beiden Tropenhalften identische Dreitonstruktur beliebig gespiegelt oder transponiert dargestellt werden Bei den ubrigen Tropen 15 16 und teilweise 8 sind die moglichen Dreitongruppen in den Hexachorden unterschiedlich Es ergibt sich aus der Logik des zwolftonig chromatischen Tonsystems dass bei einer Trope bei der ein Hexachord in sich symmetrisch ist die zweite Tropenhalfte auch durch sich selbst umkehrbar ist Aus diesem Grund existiert nicht die Kategorie Spiegelung innerhalb eines Hexachordes Bei den Kategorien die eine Transposition innerhalb eines oder beider Hexachorde angibt lasst sich die Moglichkeit nicht vollig ausschliessen dass es uber die oben genannten hinaus noch weitere Tropen gibt bei denen diese Eigenschaft bislang noch nicht entdeckt wurde Die Tropen Nr 1 4 10 17 41 und 44 scheinen auf zwei Ebenen wiederholt auf In ihnen finden sich beide Symmetrieformen Transposition und Spiegelung zugleich und zwar sowohl auf der Hexachordebene als auch bei der Betrachtung der Tropenhalften fur sich Bezugnehmend auf die Terminologie beim Hauer Schuler Victor Sokolowski 1911 1982 waren diese sechs polysymmetrisch im Sinne einer Symmetrie auf mehreren Ebenen Insgesamt wird aus der oben erfolgten Zusammenstellung ersichtlich wie komplex das Tropensystem ist und wie schwierig sich eine eindeutige morphologische Einteilung gestaltet da sich weder eine ausschliessende noch eine einschliessende fur sich alleine genommen als vollstandig erweist So scheint nur eine Kombination aus ex und inklusiver Betrachtung wie hier vorgenommen optimal zu sein Fur Tropen mit transponierenden Hexachorden verwendete Hauer das Adjektiv widergleich 4 Fur Tropen mit gespiegelten Hexachorden kann in Bezugnahme auf die Tropen Morphologie bei Othmar Steinbauer 1895 1962 der Begriff spiegelgleich herangezogen werden obgleich dieser das Wort unter einer anderen Bedeutung verwendete 5 Das Begriffspaar widergleich spiegelgleich wird was fur die Tropentechnik zweckmassig ist nur im Hinblick auf das Verhaltnis der beiden Hexachorde einer Trope angewandt So konnen diese beiden Begriffe zur Beschreibung der Tropeneigenschaften auf der Hexachordebene herangezogen werden Folglich gibt es 8 widergleiche Tropen 1 4 10 17 28 29 41 44 19 spiegelgleiche Tropen 1 2 3 4 9 10 11 12 13 17 26 27 30 34 39 41 42 43 44 und 6 Tropen die widergleich und zugleich spiegelgleich sind 1 4 10 17 41 44 Zur Anzahl von 44 Tropen BearbeitenDie Anzahl von genau 44 Tropen ergibt sich zwingend aufgrund von strukturellen Gegebenheiten der Hexachorde 44 Tropen entsprechen insgesamt 88 Hexachordpaaren Wahrend die acht widergleichen Tropen aus zweimal derselben aber um je ein bestimmtes Intervall transponierten Hexachordstruktur gebildet werden bestehen 36 Tropen aus zwei verschiedenen Hexachorden Somit bestatigt sich die Zahl von 80 existierenden Hexachordstrukturen im Zwolftonsystem abzuglich aller moglichen Transpositionen und Umlegungen von Tonen Mochte man diese einberechnen so ware zu bedenken dass von diesen 80 Hexachorden wiederum 75 je zwolf Transpositionsmoglichkeiten besitzen Funf Hexachorde sind indessen im Sinne Messiaens nur begrenzt transponierbar Hauer spricht in diesem Zusammenhang von Tongeschlechtern Die Hexachorde der widergleichen Tropen 4 17 und 44 haben jeweils sechs vier bzw zwei Transpositionsmoglichkeiten Die beiden Hexachorde der nicht widergleichen Trope 39 haben je sechs Transpositionen So ergibt die Rechnung 75 12 3 6 4 2 924 Diese Zahl gibt Hauer als die Gesamtsumme aller moglichen Tongeschlechter an 6 womit die Summe aller Transpositionsmoglichkeiten aller moglichen Hexachorde ausgedruckt wird 7 Hieraus errechnet sich nun die Gesamtzahl der moglichen Zwolftonreihen wenn man die Tropen als Kombination zweier Hexachorde mit einbezieht 924 6 6 924 720 720 479001600 12 Quellen Bearbeiten Das Studium der Satztechnik in der Zwolftonmusik ist dem der Harmonielehre und des Kontrapunktes sehr ahnlich der Unterschied liegt nur in den grosseren Moglichkeiten in den feineren Verastelungen und Verzweigungen Die gesamte Satztechnik der Zwolftonmusik klammert sich an die Lehre von den Tropen die ein intensives Studium erfordert Hauer Josef Matthias Vom Melos zur Pauke Eine Einfuhrung in die Zwolftonmusik Wien 1925 S 11 Fur eine Zusammenstellung verschiedener Tropentafeln siehe Diederichs Joachim Fheodoroff Nikolaus und Schwieger Johannes Hg Josef Matthias Hauer Schriften Manifeste Dokumente Edition Osterreichische Musikzeit Wien 2007 S 418 440 und 442 447 Vgl Sedivy Dominik Tropentechnik Ihre Anwendung und ihre Moglichkeiten Konigshausen amp Neumann Wurzburg 2012 S 47 50 Josef Matthias Hauer Vom Melos zur Pauke Eine Einfuhrung in die Zwolftonmusik Wien 1925 S 14 Vgl Neumann Helmut Hrsg Die Klangreihen Kompositionslehre nach Othmar Steinbauer 1895 1962 Bd 1 Peter Lang Frankfurt Wien 2001 S 195 Hauer Josef Matthias Vom Melos zur Pauke Eine Einfuhrung in die Zwolftonmusik Wien 1925 S 14 Die Zahl 924 nennt auch Herbert Eimert im Lehrbuch der Zwolftontechnik Wiesbaden 1952 S 20 Literatur BearbeitenBarbara Boisits Tropenlehre In Oesterreichisches Musiklexikon Online Ausgabe Wien 2002 ff ISBN 3 7001 3077 5 Druckausgabe Band 5 Verlag der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften Wien 2006 ISBN 3 7001 3067 8 Diederichs Joachim Fheodoroff Nikolaus und Schwieger Johannes Hg Josef Matthias Hauer Schriften Manifeste Dokumente Edition Osterreichische Musikzeit Wien 2007 S 416 452 Hauer Josef Matthias Die Tropen in Musikblatter des Anbruch Jhrg 6 1 Universal Edition Wien 1924 S 18 21 Hauer Josef Matthias Vom Melos zur Pauke Eine Einfuhrung in die Zwolftonmusik Universal Edition Wien 1925 Hauer Josef Matthias Zwolftontechnik Die Lehre von den Tropen Universal Edition Wien 1926 Neumann Helmut Hrsg Die Klangreihen Kompositionslehre nach Othmar Steinbauer 1895 1962 Bd 1 Peter Lang Frankfurt Wien 2001 S 167 197 Sedivy Dominik Serial Composition and Tonality An Introduction to the Music of Hauer and Steinbauer edition mono Wien 2011 S 81 90 Sedivy Dominik Tropentechnik Ihre Anwendung und ihre Moglichkeiten Konigshausen amp Neumann Wurzburg 2012 S 44 53 Sengstschmid Johann Zwischen Trope und Zwolftonspiel J M Hauers Zwolftontechnik in ausgewahlten Beispielen Gustav Bosse Verlag Regensburg 1980 Weiss Robert Michael Das Zwolftonspiel von Josef Matthias Hauer Hausarbeit an der Hochschule fur Musik und darstellende Kunst Wien Wien 1980 S 34ff Siehe auch BearbeitenTropentechnik Komplementare Harmonik Klangreihe Klangreihenmusik ZwolftonspielWeblinks BearbeitenHauer Links Hauers Kompositionstechnik mit Tropen Analyse Normdaten Sachbegriff GND 1023721678 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tropenlehre amp oldid 234099115