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Suslin Hypothese In der Mengenlehre postuliert die benannt nach dem russischen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin

Suslin-Hypothese

In der Mengenlehre postuliert die Suslin-Hypothese (benannt nach dem russischen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin) eine spezielle Charakterisierung der Menge der reellen Zahlen. Sie ist in dem üblichen System der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre weder beweis- noch widerlegbar.

Motivation Bearbeiten

Georg Cantor zeigte folgende ordnungstheoretische Charakterisierung der reellen Zahlen: Eine lineare Ordnung ist genau dann isomorph zu falls gilt:

Jede solche lineare Ordnung erfüllt zudem die sogenannte abzählbare Antikettenbedingung:

  • Jede Familie von offenen, paarweise disjunkten Intervallen von ist höchstens abzählbar.

Der Beweis dieser zusätzlichen Eigenschaft folgt direkt der Separabilität. Suslin stellte 1920 die Hypothese auf, dass auch die Umkehrung gilt, also Separabilität und abzählbare Antikettenbedingung äquivalent sind.

Formulierung und Konsequenzen Bearbeiten

Die Suslin-Hypothese lässt sich also ausdrücken:

Ronald Jensen zeigte 1968, dass in dem Modell der konstruktiblen Mengen die Suslin-Hypothese falsch ist. Mit Hilfe der Forcing-Methode konstruierten Robert M. Solovay und Stanley Tennenbaum 1971 ein Modell, in dem die Hypothese wahr ist, sie ist also weder beweis- noch widerlegbar.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Michail J. Suslin: Problème 3. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1. 1920, S. 223.
  2. Ronald Jensen: Souslin’s hypothesis is incompatible with V=L. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 15, 1968, S. 935.
  3. Robert M. Solovay, Stanley Tennenbaum: Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem. In: Annals of Mathematics. Serie 2, Band 94. 1971, S. 201–245.

Literatur Bearbeiten

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
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In der Mengenlehre postuliert die Suslin Hypothese benannt nach dem russischen Mathematiker Michail Jakowlewitsch Suslin eine spezielle Charakterisierung der Menge der reellen Zahlen Sie ist in dem ublichen System der Zermelo Fraenkel Mengenlehre weder beweis noch widerlegbar Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Formulierung und Konsequenzen 3 Einzelnachweise 4 LiteraturMotivation BearbeitenGeorg Cantor zeigte folgende ordnungstheoretische Charakterisierung der reellen Zahlen Eine lineare Ordnung P lt displaystyle langle P lt rangle nbsp ist genau dann isomorph zu R lt displaystyle langle mathbb R lt rangle nbsp falls gilt P displaystyle P nbsp ist unbeschrankt Fur jedes p P displaystyle p in P nbsp gibt es q r P displaystyle q r in P nbsp sodass q lt p lt r displaystyle q lt p lt r nbsp P displaystyle P nbsp ist dicht Fur jedes Paar p q P displaystyle p q in P nbsp mit p lt q displaystyle p lt q nbsp gibt es ein r P displaystyle r in P nbsp sodass p lt r lt q displaystyle p lt r lt q nbsp P displaystyle P nbsp ist vollstandig Jede nichtleere nach oben beschrankte Teilmenge von P displaystyle P nbsp hat ein Supremum in P displaystyle P nbsp P displaystyle P nbsp ist separabel P displaystyle P nbsp enthalt eine abzahlbare dichte Teilmenge Jede solche lineare Ordnung P lt displaystyle langle P lt rangle nbsp erfullt zudem die sogenannte abzahlbare Antikettenbedingung Jede Familie von offenen paarweise disjunkten Intervallen von P displaystyle P nbsp ist hochstens abzahlbar Der Beweis dieser zusatzlichen Eigenschaft folgt direkt der Separabilitat Suslin stellte 1920 die Hypothese auf dass auch die Umkehrung gilt also Separabilitat und abzahlbare Antikettenbedingung aquivalent sind 1 Formulierung und Konsequenzen BearbeitenDie Suslin Hypothese lasst sich also ausdrucken Jede unbeschrankte dichte vollstandige lineare Ordnung die die abzahlbare Antikettenbedingung erfullt ist isomorph zu der Ordnung der reellen Zahlen Ronald Jensen zeigte 1968 dass in dem Modell L displaystyle L nbsp der konstruktiblen Mengen die Suslin Hypothese falsch ist 2 Mit Hilfe der Forcing Methode konstruierten Robert M Solovay und Stanley Tennenbaum 1971 ein Modell in dem die Hypothese wahr ist 3 sie ist also weder beweis noch widerlegbar Einzelnachweise Bearbeiten Michail J Suslin Probleme 3 In Fundamenta Mathematicae Band 1 1920 S 223 Ronald Jensen Souslin s hypothesis is incompatible with V L In Notices of the American Mathematical Society Band 15 1968 S 935 Robert M Solovay Stanley Tennenbaum Iterated Cohen extensions and Souslin s problem In Annals of Mathematics Serie 2 Band 94 1971 S 201 245 Literatur BearbeitenJech Thomas Set Theory Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 44085 2 Kunen Keneth Set Theory An Introduction to Independence Proofs North Holland 1980 ISBN 0 444 85401 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Suslin Hypothese amp oldid 210290605