Die Stokes sche Stromfunktion Formelzeichen ps Dimension L3 T 1 von George Gabriel Stokes ist in der Stromungsmechanik ein analytisches Hilfsmittel zur Losung der Euler Gleichungen in drei dimensionalen axialsymmetrischen stationaren Stromungen inkompressibler reibungsfreier Fluide Die Stokes sche Stromfunktion ist also die Anwendung des Konzepts der Stromfunktion auf axialsymmetrische Stromungen die dann auch analoge Eigenschaften besitzen Aus Ableitungen der Stokes schen Stromfunktion ergibt sich das Geschwindigkeitsfeld das divergenzfrei und die Stromung mithin volumenerhaltend und dichtebestandig ist Die Hohenlinien der Stokes schen Stromfunktion stellen wie im ebenen Fall Stromlinien dar die hier wegen der Axialsymmetrie Stromrohren beranden Wie im ebenen Fall ist der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien im von ihnen berandeten Stromrohrenring uberall gleich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Stokes sche Stromfunktion in Zylinderkoordinaten 1 2 Stokes sche Stromfunktion in Kugelkoordinaten 2 Eigenschaften von mit Stokes schen Stromfunktionen beschriebenen Stromungen 2 1 Stromlinien 2 2 Dichtebestandigkeit 2 3 Rotation der Stromung 2 4 Volumenstrom zwischen Stromlinien 3 Bestimmungsgleichungen fur die Stromfunktion 3 1 Eulersche Gleichungen 3 2 Konservatives Beschleunigungsfeld 3 3 Randbedingungen 4 Beispiel 5 Einzelnachweise 6 LiteraturDefinition BearbeitenBetrachtet wird eine dichtebestandige und stationare Stromung mit einem ortsabhangigen aber nicht zeitabhangigen da stationaren Geschwindigkeitsfeld v x displaystyle vec v vec x nbsp Der Ortsvektor x displaystyle vec x nbsp kann bei axialsymmetrischer Stromung vorteilhaft mit Zylinder oder Kugelkoordinaten parametrisiert werden Stokes sche Stromfunktion in Zylinderkoordinaten Bearbeiten nbsp Parametrisierung des Raumes mit ZylinderkoordinatenDas Zylinderkoordinatensystem R f z displaystyle R varphi z nbsp wie im Bild wird so ausgerichtet dass die z displaystyle z nbsp Richtung die Richtung ist um die die Stromung axialsymmetrisch ist Den Abstand eines Punktes von z displaystyle z nbsp Achse gibt die Koordinate R displaystyle R nbsp an die hier mit einem grossen R displaystyle R nbsp bezeichnet wird um eine Verwechslung mit der Dichte r displaystyle rho nbsp zu vermeiden Der Winkel f displaystyle varphi nbsp zahlt in Umfangsrichtung senkrecht zur z displaystyle z nbsp Achse Die Geschwindigkeit darf nicht von f displaystyle varphi nbsp abhangen und auch keine Komponente in tangentialer f displaystyle varphi nbsp Richtung besitzen Die Geschwindigkeiten in R displaystyle R nbsp und z displaystyle z nbsp Richtung ergeben sich dann durch folgende Ableitungen der Stromfunktion ps R z displaystyle psi R z nbsp v v R e R v z e z rot ps R e f 1 R grad ps e f 1 R ps R e z 1 R ps z e R displaystyle vec v v R hat e R v z hat e z operatorname rot left frac psi R hat e varphi right frac 1 R operatorname grad psi times hat e varphi frac 1 R frac partial psi partial R hat e z frac 1 R frac partial psi partial z hat e R nbsp v R 1 R ps z und v z 1 R ps R displaystyle Rightarrow quad v R frac 1 R frac partial psi partial z quad text und quad v z frac 1 R frac partial psi partial R nbsp Der Operator rot bildet die Rotation grad den Gradient und displaystyle times nbsp das Kreuzprodukt Stokes sche Stromfunktion in Kugelkoordinaten Bearbeiten nbsp Parametrisierung des Raumes mit KugelkoordinatenIn Kugelkoordinaten r f 8 displaystyle r varphi theta nbsp ist die Achse mit 8 0 displaystyle theta 0 nbsp die Richtung um die die Stromung axialsymmetrisch ist Den Abstand eines Punktes vom Ursprung gibt der Radius r displaystyle r nbsp an und der Winkel f displaystyle varphi nbsp zahlt wie in Zylinderkoordinaten in Umfangsrichtung senkrecht zur 8 0 displaystyle theta 0 nbsp Achse Wiederum darf die Geschwindigkeit nicht von f displaystyle varphi nbsp abhangen und auch keine Komponente in tangentialer f displaystyle varphi nbsp Richtung besitzen Die Geschwindigkeiten in r displaystyle r nbsp und 8 displaystyle theta nbsp Richtung berechnen sich dann durch folgende Ableitungen der Stromfunktion ps r 8 displaystyle psi r theta nbsp v v r e r v 8 e 8 rot ps r sin 8 e f 1 r sin 8 grad ps e f 1 r 2 sin 8 ps 8 e r 1 r sin 8 ps r e 8 displaystyle begin aligned vec v amp v r hat e r v theta hat e theta operatorname rot left frac psi r sin theta hat e varphi right frac 1 r sin theta operatorname grad psi times hat e varphi amp frac 1 r 2 sin theta frac partial psi partial theta hat e r frac 1 r sin theta frac partial psi partial r hat e theta end aligned nbsp v r 1 r 2 sin 8 ps 8 und v 8 1 r sin 8 ps r displaystyle Rightarrow quad v r frac 1 r 2 sin theta frac partial psi partial theta quad text und quad v theta frac 1 r sin theta frac partial psi partial r nbsp Der Zusammenhang mit den Zylinderkoordinaten ist durch R r sin 8 displaystyle R r sin theta nbsp und z r cos 8 displaystyle z r cos theta nbsp bzw tan 8 R z displaystyle tan theta R z nbsp und r 2 R 2 z 2 displaystyle r 2 R 2 z 2 nbsp gegeben Eigenschaften von mit Stokes schen Stromfunktionen beschriebenen Stromungen BearbeitenStromlinien Bearbeiten Der Gradient der Stromfunktion in Zylinderkoordinaten ist wegen grad ps v grad ps 1 R grad ps e f 0 displaystyle operatorname grad psi cdot vec v operatorname grad psi cdot frac 1 R operatorname grad psi times hat e varphi 0 nbsp senkrecht zur Geschwindigkeit und in Kugelkoordinaten gilt dasselbe grad ps v grad ps 1 r sin 8 grad ps e f 0 displaystyle operatorname grad psi cdot vec v operatorname grad psi cdot frac 1 r sin theta operatorname grad psi times hat e varphi 0 nbsp Die Geschwindigkeit ist per definitionem uberall tangential zur Stromlinie auf der der Wert der Stromfunktion also konstant ist In der hier vorausgesetzten Axialsymmetrie reprasentiert die Stromlinie eine Stromrohre Dichtebestandigkeit Bearbeiten Wenn das Geschwindigkeitsfeld einer axialsymmetrischen Stromung durch eine Stoke sche Stromfunktion gegeben ist dann gilt in Zylinderkoordinaten div v d i v r o t ps R e f 0 displaystyle operatorname div vec v operatorname div rot left frac psi R hat e varphi right 0 nbsp wie in Kugelkoordinaten div v d i v r o t ps r sin 8 e f 0 displaystyle operatorname div vec v operatorname div rot left frac psi r sin theta hat e varphi right 0 nbsp weil die Divergenz div displaystyle operatorname div nbsp von Rotationsfeldern immer null ist In einer divergenzfreien Stromung verschwindet auf Grund der Massenbilanz uberall die substantielle Zeitableitung der Dichte die daher zeitlich konstant ist Eine divergenzfreie Stromung enthalt weder Quellen noch Senken so dass unter den gegebenen Voraussetzungen Stromlinien im Inneren der Flussigkeit weder beginnen noch enden konnen Die Stromlinien sind also entweder torusformig geschlossen sind buchstablich unendlich oder enden auf dem Rand des Stromungsgebiets Rotation der Stromung Bearbeiten Hauptartikel Wirbelstarke Die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes ist die Wirbelstarke die in Zylinderkoordinaten wegen rot v w e f v R z v z R e f 1 R 2 ps z 2 R 1 R ps R e f displaystyle operatorname rot vec v omega hat e varphi left frac partial v R partial z frac partial v z partial R right hat e varphi left frac 1 R frac partial 2 psi partial z 2 frac partial partial R left frac 1 R frac partial psi partial R right right hat e varphi nbsp nur eine Komponente w in tangentialer Umfangsrichtung hat weswegen die Wirbelstarke als Skalarfeld behandelt werden kann In Kugelkoordinaten ist das auch so rot v w e f 1 r sin 8 2 ps r 2 sin 8 r 2 8 1 sin 8 ps 8 e f displaystyle operatorname rot vec v omega hat e varphi frac 1 r sin theta left frac partial 2 psi partial r 2 frac sin theta r 2 frac partial partial theta left frac 1 sin theta frac partial psi partial theta right right hat e varphi nbsp Anders als in ebenen Stromungen steht hier auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nicht der Laplace Operator Volumenstrom zwischen Stromlinien Bearbeiten nbsp Der Volumenstrom der zwischen zwei Stromlinien uber die Flache A tritt ist vom Ort und der Form der Flache unabhangigDer Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien ist uberall gleich Dies wird anhand zweier Stromlinien gezeigt auf denen die Stromfunktion die Werte ps 0 displaystyle psi 0 nbsp bzw ps 1 displaystyle psi 1 nbsp annimmt siehe Bild Um den Volumenstrom zu berechnen der zwischen diesen beiden Stromlinien hindurchtritt wird eine Linie x s displaystyle vec x s nbsp mit der Bogenlange s 0 l ps x 0 ps 0 displaystyle s in 0 l psi vec x 0 psi 0 nbsp und ps x l ps 1 displaystyle psi vec x l psi 1 nbsp definiert die also auf der einen Stromlinie beginnt und auf der anderen Stromlinie endet Die Parametrisierung mit der Bogenlange bewirkt dass l displaystyle l nbsp die Lange der Linie ist und der Tangenteneinheitsvektor gleich der Ableitung x s displaystyle vec x s nbsp des Ortsvektors ist Auf Grund der Axialsymmetrie definiert diese Linie eine Flache A displaystyle A nbsp auf der der ubertretende Volumenstrom zu bestimmen ist Der Volumenstrom v 01 displaystyle dot v 01 nbsp der uber diese Flache tritt berechnet sich mit einem Kurvenintegral und der Normale an die Kurve n x e f displaystyle hat n vec x times hat e varphi nbsp zu v 01 A v d A 0 l v 2 p R n d s 2 p 0 l 1 R grad ps e f R n d s 2 p 0 l grad ps e f n x s d s 2 p 0 l grad ps x d s d x 2 p x 0 x l grad ps d x 2 p ps 0 ps 1 d ps 2 p ps 1 ps 0 displaystyle begin array rcl dot v 01 amp amp int A vec v cdot mathrm d vec A int 0 l vec v cdot 2 pi R hat n mathrm d s 2 pi int 0 l left frac 1 R operatorname grad psi times hat e varphi right cdot R hat n mathrm d s amp amp 2 pi int 0 l operatorname grad psi cdot underbrace hat e varphi times hat n vec x s mathrm d s 2 pi int 0 l operatorname grad psi cdot underbrace vec x mathrm d s mathrm d vec x amp amp 2 pi int vec x 0 vec x l operatorname grad psi cdot mathrm d vec x 2 pi int psi 0 psi 1 mathrm d psi 2 pi psi 1 psi 0 end array nbsp Indem R r sin 8 displaystyle R r sin theta nbsp ersetzt wird ergibt sich dasselbe Ergebnis in Kugelkoordinaten Daher gilt hier dasselbe wie bei der Stromfunktion in der Ebene Unabhangig vom speziellen Kurvenverlauf ist der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien uberall gleich Wenn die Linie auf derselben Stromlinie startet und endet dann verschwindet der uber sie hinweglaufende Volumenstrom Wenn die gewahlte Linie ein Stuck einer Stromlinie ist dann zeigt sich dass an keiner Stelle einer Stromlinie Fluid uber sie hinwegstromt Eine Stromlinie wirkt auch hier wie eine undurchdringliche Wand Bestimmungsgleichungen fur die Stromfunktion Bearbeiten Hauptartikel Eulersche Gleichungen Stromungsmechanik Nicht jede Stromfunktion reprasentiert eine physikalisch realistische Stromung Damit die Stromfunktion im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist muss sie den eulerschen Gleichungen gehorchen aus denen sich wie sich zeigt die Stromfunktion unabhangig vom Druck berechnen lasst In einem konservativen Schwerefeld gestaltet sich die Suche nach der Stromfunktion besonders einfach Anders als im ebenen Fall ergeben sich Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten was die Losung erschwert Eulersche Gleichungen Bearbeiten Hauptartikel Eulersche Gleichungen Stromungsmechanik Die Euler Gleichungen liefern nach Bildung der Rotation rot grad v v 1 r grad p rot rot v v rot k displaystyle operatorname rot left operatorname grad vec v cdot vec v frac 1 rho operatorname grad p right operatorname rot operatorname rot vec v times vec v operatorname rot vec k nbsp Bestimmungsgleichungen fur die Stromfunktion aus der Tabelle Koordinatensystem BestimmungsgleichungZylinderkoordinaten 1 R ps R w z ps z R w R k R z k z R displaystyle frac 1 R frac partial psi partial R frac partial omega partial z frac partial psi partial z frac partial partial R left frac omega R right frac partial k R partial z frac partial k z partial R nbsp Kugelkoordinaten ps 8 r w r sin 8 ps r 8 w r sin 8 r r k 8 k r 8 displaystyle frac partial psi partial theta frac partial partial r left frac omega r sin theta right frac partial psi partial r frac partial partial theta left frac omega r sin theta right frac partial partial r rk theta frac partial k r partial theta nbsp Darin ist w die f Komponente der Wirbelstarke siehe oben und auf der rechten Seite steht die f Komponente der Rotation der Schwerkraft Diese Gleichungen muss die Stromfunktion erfullen damit sie eine physikalisch realistische Stromung beschreibt BeweisAusnutzung der Grassmann Entwicklung grad v v 1 2 grad v v v rot v displaystyle operatorname grad vec v cdot vec v frac 1 2 operatorname grad vec v cdot vec v vec v times operatorname rot vec v nbsp zeigt bei der Bildung der Rotation in den Euler Gleichungen rot k rot grad v v 1 r grad p rot 1 2 grad v v v rot v r o t r o t v v displaystyle begin aligned operatorname rot vec k amp operatorname rot left operatorname grad vec v cdot vec v frac 1 rho operatorname grad p right operatorname rot left frac 1 2 operatorname grad vec v cdot vec v vec v times operatorname rot vec v right amp operatorname rot rot vec v times vec v end aligned nbsp denn Gradientenfelder sind immer rotationsfrei Mit der Wirbelstarke w e f rot v displaystyle omega hat e varphi operatorname rot vec v nbsp und der Stromfunktion ergibt sich in Zylinderkoordinaten rot w e f 1 R grad ps e f rot w R grad ps rot k displaystyle operatorname rot left omega hat e varphi times frac 1 R operatorname grad psi times hat e varphi right operatorname rot left frac omega R operatorname grad psi right operatorname rot vec k nbsp und in Kugelkoordinaten rot w e f 1 r sin 8 grad ps e f rot w r sin 8 grad ps rot k displaystyle operatorname rot left omega hat e varphi times frac 1 r sin theta operatorname grad psi times hat e varphi right operatorname rot left frac omega r sin theta operatorname grad psi right operatorname rot vec k nbsp weil der Gradient der Stromfunktion keine Komponente in Umfangsrichtung besitzt Aus der Produktregel rot f g grad f g f rot g displaystyle operatorname rot f vec g operatorname grad f times vec g f operatorname rot vec g nbsp und der Tatsache dass Gradientenfelder immer rotationsfrei sind folgt in Zylinderkoordinaten rot w R grad ps grad w R grad ps 1 R ps R w z ps z R w R e f rot k displaystyle begin aligned operatorname rot left frac omega R operatorname grad psi right amp operatorname grad left frac omega R right times operatorname grad psi amp left frac 1 R frac partial psi partial R frac partial omega partial z frac partial psi partial z frac partial partial R left frac omega R right right hat e varphi operatorname rot vec k end aligned nbsp und in Kugelkoordinaten rot w r sin 8 grad ps grad w r sin 8 grad ps 1 r ps 8 r w r sin 8 ps r 8 w r sin 8 e f rot k displaystyle begin aligned operatorname rot left frac omega r sin theta operatorname grad psi right amp operatorname grad left frac omega r sin theta right times operatorname grad psi amp frac 1 r left frac partial psi partial theta frac partial partial r left frac omega r sin theta right frac partial psi partial r frac partial partial theta left frac omega r sin theta right right hat e varphi operatorname rot vec k end aligned nbsp Mit rot k e f k R z k z R displaystyle operatorname rot vec k cdot hat e varphi frac partial k R partial z frac partial k z partial R nbsp in Zylinderkoordinaten und rot k e f 1 r r r k 8 k r 8 displaystyle operatorname rot vec k cdot hat e varphi frac 1 r left frac partial partial r rk theta frac partial k r partial theta right nbsp in Kugelkoordinaten berechnen sich die Formeln aus der Tabelle Konservatives Beschleunigungsfeld Bearbeiten In einem konservativen Beschleunigungsfeld wie es die Schwerkraft eines ist verschwinden die rechten Seiten der Bestimmungsgleichungen wegen der Rotationsfreiheit solcher Felder Dann kann wie im ebenen Fall argumentiert werden die im obigen Beweis als Zwischenergebnis angefallene Bestimmungsgleichung grad w R grad ps rot k 0 displaystyle operatorname grad left frac omega R right times operatorname grad psi operatorname rot vec k vec 0 nbsp wird mit w R f ps displaystyle frac omega R f psi nbsp und einer beliebigen Funktion f displaystyle f nbsp immer erfullt grad w R grad ps grad f ps grad ps d f d ps grad ps grad ps 0 displaystyle operatorname grad left frac omega R right times operatorname grad psi operatorname grad f psi times operatorname grad psi frac mathrm d f mathrm d psi operatorname grad psi times operatorname grad psi vec 0 nbsp In Kugelkoordinaten gilt Analoges fur f ps w r sin 8 displaystyle f psi frac omega r sin theta nbsp mit dem Endergebnis Zylinderkoordinaten f ps 1 R 2 2 ps z 2 1 R R 1 R ps R 1 R 2 2 ps z 2 1 R 3 ps R 1 R 2 2 ps R 2 displaystyle begin aligned f psi amp frac 1 R 2 frac partial 2 psi partial z 2 frac 1 R frac partial partial R left frac 1 R frac partial psi partial R right amp frac 1 R 2 frac partial 2 psi partial z 2 frac 1 R 3 frac partial psi partial R frac 1 R 2 frac partial 2 psi partial R 2 end aligned nbsp Kugelkoordinaten f ps 1 r 2 sin 2 8 2 ps r 2 1 r 4 sin 8 8 1 sin 8 ps 8 1 r 2 sin 2 8 2 ps r 2 cos 8 r 4 sin 3 8 ps 8 1 r 4 sin 2 8 2 ps 8 2 displaystyle begin aligned f psi amp frac 1 r 2 sin 2 theta frac partial 2 psi partial r 2 frac 1 r 4 sin theta frac partial partial theta left frac 1 sin theta frac partial psi partial theta right amp frac 1 r 2 sin 2 theta frac partial 2 psi partial r 2 frac cos theta r 4 sin 3 theta frac partial psi partial theta frac 1 r 4 sin 2 theta frac partial 2 psi partial theta 2 end aligned nbsp Insbesondere ist f 0 displaystyle f 0 nbsp erlaubt 1 was in Potentialstromungen der Fall ist Randbedingungen Bearbeiten Ein Stromungsfeld kann nur bei festen Wanden stationar sein Die Randbedingungen werden entlang von Meridiankurven vorgegeben die mit x s displaystyle vec x s nbsp und der Bogenlange s definiert werden Dann lautet der Tangenteneinheitsvektor e t x s displaystyle hat e t vec x s nbsp und die Normale der Kurve in radialer Richtung n e f e t displaystyle hat n hat e varphi times hat e t nbsp Fliesst nirgends Fluid uber die Linie dann ist sie ein Teil einer Stromlinie und die Linie stellt gleichzeitig eine Wand dar Die Dirichlet Randbedingungen geben den Wert der Stromfunktion entlang einer solchen Linie vor und in Zylinderkoordinaten folgt grad ps e t grad ps n e f n grad ps e f R n v R v norm displaystyle operatorname grad psi cdot hat e t operatorname grad psi cdot hat n times hat e varphi hat n cdot operatorname grad psi times hat e varphi R hat n cdot vec v Rv text norm nbsp weswegen mit Dirichlet Randbedingungen die radiale Geschwindigkeit senkrecht zu Linien festgelegt wird Ist der Wert der Stromfunktion auf der Linie konstant dann ist die Linie ein Teil einer Stromlinie und die Normalkomponente der Geschwindigkeit verschwindet entlang der Linie Die Neumann Randbedingungen geben die Ableitungen der Stromfunktion senkrecht zu Linien vor grad ps n grad ps e f e t e t grad ps e f R e t v R v tang displaystyle operatorname grad psi cdot hat n operatorname grad psi cdot hat e varphi times hat e t hat e t cdot operatorname grad psi times hat e varphi R hat e t cdot vec v Rv text tang nbsp Durch die Neumann Randbedingungen wird also die Geschwindigkeitskomponente tangential zur Linie vorgegeben In Kugelkoordinaten ergibt sich Gleiches mit R r sin 8 displaystyle R r sin theta nbsp Beispiel Bearbeiten nbsp Staupunktstromung um ein axialsymmetrisches Hindernis grau mit Stromlinien weiss und Druckfeld rot hoch blau niedrig In Zylinderkoordinaten gilt in einer ebenen Stromung 0 v z ps R displaystyle 0 v z frac partial psi partial R nbsp und die Geschwindigkeit hat nur eine radiale Komponente Mit der obigen Bestimmungsgleichung ergibt sich mit f 0 displaystyle f 0 nbsp dann 1 R 2 2 ps z 2 0 displaystyle frac 1 R 2 frac partial 2 psi partial z 2 0 nbsp Also verschwindet die zweite Ableitung der Stokes schen Stromfunktion nach der z Koordinate und die erste Ableitung ist mithin eine Konstante Q displaystyle Q nbsp Dann lautet die Radialgeschwindigkeit v R 1 R ps z Q R displaystyle v R frac 1 R frac partial psi partial z frac Q R nbsp was die Geschwindigkeitsverteilung der ebenen Quelle Senke ist Eine in Kugelkoordinaten nur vom Radius abhangige Stromung ist die drei dimensionale Quelle Senke Mit 0 v 8 ps r displaystyle 0 v theta frac partial psi partial r nbsp und f 0 displaystyle f 0 nbsp ergibt sich aus der obigen Bestimmungsgleichung cos 8 sin 8 ps 8 2 ps 8 2 0 ps 8 Q sin 8 ps Q cos 8 displaystyle frac cos theta sin theta frac partial psi partial theta frac partial 2 psi partial theta 2 0 quad rightarrow quad frac partial psi partial theta Q sin theta quad rightarrow quad psi Q cos theta nbsp woraus das Geschwindigkeitsfeld einer drei dimensionalen Quelle Senke folgt v r 1 r 2 sin 8 ps 8 Q sin 8 r 2 sin 8 Q r 2 displaystyle v r frac 1 r 2 sin theta frac partial psi partial theta frac Q sin theta r 2 sin theta frac Q r 2 nbsp Hier nimmt die Geschwindigkeit also mit dem Quadrat des Abstands zur Quelle ab Bei einer Parallelstromung in z Richtung mit Geschwindigkeit u 0 displaystyle u 0 nbsp lautet die Stromfunktion ps u 0 2 r 2 sin 2 8 displaystyle psi frac u 0 2 r 2 sin 2 theta nbsp und die Uberlagerung mit einer Quellstromung gemass ps u 0 2 r 2 sin 2 8 Q cos 8 displaystyle psi frac u 0 2 r 2 sin 2 theta Q cos theta nbsp stellt eine Staupunktstromung um ein stabformiges Hindernis dar siehe Bild 1 Die additive Uberagerung ist statthaft weil es sich um rotationsfreie Potentialstromungen mit w 0 handelt Diese axialsymmetrische Stromung weicht deutlich von der bei Staupunktstromung einleitend gezeigten ab wo ein brett flugelformiges Hindernis umflossen wird Einzelnachweise Bearbeiten a b J H Spurk Stromungslehre Einfuhrung in die Theorie der Stromungen 8 uberarbeitete Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2013 ISBN 978 3 662 10096 7 S 291 ff doi 10 1007 978 3 662 10096 7 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 29 Mai 2023 Literatur BearbeitenG K Batchelor An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press 1967 ISBN 0 521 66396 2 P K Kundu Fluid Mechanics Academic Press 2015 ISBN 978 0 12 405935 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stokessche Stromfunktion amp oldid 238749289
