Stark konvexer Raum

Stark konvexe Räume sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete normierte Räume, die einer speziellen Konvexitätsbedingung genügen. Diese ist eine geometrische Eigenschaft, die unter anderem zur Folge hat, dass der Rand der Einheitskugel keine "großen", konvexen Mengen enthält. Dieser Begriff geht auf Witold Lwowitsch Schmulian zurück.

Stark konvexer Raum: Der nicht-leere Durchschnitt aus Kugel und konvexer Menge wird beliebig klein.

Kein stark konvexer Raum: Der nicht-leere Durchschnitt aus Kugel und konvexer Menge hat stets einen positiven Durchmesser.

Definitionen

Für einen normierten Raum sei die Einheitskugel sowie die um den Faktor gestreckte Kugel, das heißt die Kugel um 0 mit Radius . Für eine Teilmenge sei der Durchmesser dieser Menge und der Abstand eines Punktes zu dieser Menge.

Ein normierter Raum heißt stark konvex, falls für jede nicht-leere konvexe Menge gilt:

Beispiele und Eigenschaften

• Wie nebenstehende Zeichnungen verdeutlichen, ist der mit der euklidischen Norm stark konvex, mit der Summennorm hingegen nicht. Dies zeigt auch, dass starke Konvexität von der Norm abhängt und nicht nur von der Isomorphieklasse des Raums.
• Gleichmäßig konvexe Räume sind stark konvex, stark konvexe Räume sind strikt konvex, die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht.
• Nach Ky Fan und Irving Glicksberg hat jeder stark konvexe Raum die Radon-Riesz-Eigenschaft und ist umgekehrt jeder reflexive, strikt konvexe Raum mit der Radon-Riesz-Eigenschaft stark konvex.
• Es sei der Folgenraum der absolut-summierbaren Folgen mit der Norm sowie der Folgenraum der quadratisch-summierbaren Folgen mit der Norm . Bekanntlich ist und durch wird eine zu äquivalente Norm auf definiert. Dann ist strikt konvex, hat die Radon-Riesz-Eigenschaft (sogar die stärkere Schur-Eigenschaft), ist aber nicht stark konvex.

Äquivalente Charakterisierungen

Es stellt sich heraus, dass man in der Definition der starken Konvexität nicht alle konvexen Mengen des normierten Raumes betrachten muss, es genügt sich auf abgeschlossene Halbräume zu beschränken. Diese kann man bekanntlich durch die Realteile stetiger, linearer Funktionale, das heißt durch Elemente des Dualraums , beschreiben. Das spiegelt sich in der folgenden Liste äquivalenter Aussagen über einen normierten Raum wider:

• ist stark konvex.
• Für jedes gilt für .
• Ist eine Folge in mit für alle Folgenglieder und ist mit , so ist die Folge eine Cauchy-Folge.
• Ist nicht leer und konvex, und eine Folge in mit , so ist die Folge eine Cauchy-Folge.

Die Cauchy-Folgen in obigen äquivalenten Charakterisierungen sind im Allgemeinen wegen fehlender Vollständigkeit nicht konvergent. Unter Berücksichtigung der Vollständigkeit erhält man, dass für einen normierten Raum folgende Aussagen äquivalent sind:

• ist ein stark konvexer Banachraum.
• Ist eine Folge in mit für alle Folgenglieder und ist mit , so konvergiert die Folge.
• Ist nicht leer, abgeschlossen und konvex, und eine Folge in mit , so konvergiert die Folge in .
• ist reflexiv, strikt konvex und hat die Radon-Riesz-Eigenschaft.

Einzelnachweise

1. V. L. Schmulian: Sur la dérivabilité de la norme dans l'espace de Banach, Doklady Acad. Sci. URSS (1940), Band 27, Seiten 643–648
2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 5.3.15
3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 5.3.16
4. K. Fan, I. Glicksberg: Some geometric properties of the speres in a normed space, Duke Math. J (1958), Band 25, Seiten 553–568
5. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theoreme 5.3.22 und 5.3.23
6. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theoreme 5.3.17 und 5.3.20
7. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Korollar 5.3.18, Theorem 5.3.21, sowie 5.33