Die Spektraldichte eines stationaren stochastischen Prozesses erlaubt tiefe Einblicke in die Struktur des Prozesses insbesondere wenn es sich um Erkenntnisse uber Periodizitaten handelt Es ist also wichtig dass aus gegebenen Daten z B einer konkreten Zeitreihe die Spektraldichte gut geschatzt werden kann Grundlage der meisten Schatzer ist das Periodogramm das auf Arthur Schuster 1898 zuruckgeht 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Spektraldichte 1 2 Periodogramm 2 Schatzungen der Spektraldichte 2 1 Inkonsistente Schatzungen 2 2 Konsistente Schatzungen 2 2 1 Beispiele 3 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSpektraldichte Bearbeiten Sei X t t Z displaystyle X t t in mathbb Z nbsp Z displaystyle mathbb Z nbsp die Menge der ganzen Zahlen ein evtl komplexwertiger stationarer stochastischer Prozess mit Erwartungswert E X t 0 displaystyle operatorname E X t 0 nbsp Kovarianzfunktion E X t X t h g h displaystyle operatorname E X t X t h gamma h nbsp Falls h g h lt displaystyle textstyle sum h infty infty gamma h lt infty nbsp gilt die Spektraldarstellung von g h displaystyle gamma h nbsp g h p p f l e i h l d l m i t f l 1 2 p h e i h l g h displaystyle gamma h int pi pi f lambda e ih lambda d lambda quad mathrm mit quad f lambda frac 1 2 pi sum h infty infty e ih lambda gamma h nbsp Die Funktion f displaystyle f nbsp heisst Spektraldichte Ihr Funktionswert f l displaystyle f lambda nbsp gibt die Intensitat der Frequenz l displaystyle lambda nbsp im Spektrum von X t displaystyle X t nbsp an Periodogramm Bearbeiten Seien x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp Realisierungen eines stationaren stochastischen Prozesses X t displaystyle X t nbsp mit E X t 0 displaystyle operatorname E X t 0 nbsp Dann heisst der Ausdruck I n l 1 2 p n k 1 n x k e i l k 2 displaystyle I n lambda frac 1 2 pi n left sum k 1 n x k e i lambda k right 2 nbsp Periodogramm der konkreten Zeitreihe x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp Schatzungen der Spektraldichte BearbeitenInkonsistente Schatzungen Bearbeiten Man kann das Periodogramm umformen in I n l 1 2 p k n 1 n 1 e i l k g k g k 1 n t 1 n k x t k x t displaystyle I n lambda frac 1 2 pi sum k n 1 n 1 e i lambda k hat gamma k hat gamma k frac 1 n sum t 1 n k x t k x t nbsp I n l displaystyle I n lambda nbsp erweist sich also als die empirische Fouriertransformierte der empirischen Kovarianzfunktion g k displaystyle hat gamma k nbsp Da f l displaystyle f lambda nbsp die Fouriertransformierte von g h displaystyle gamma h nbsp ist kann man heuristisch erwarten dass I n l displaystyle I n lambda nbsp eine geeignete Schatzung fur f l displaystyle f lambda nbsp darstellt Tatsachlich ist das Periodogramm eine asymptotisch erwartungstreue Schatzung der Spektraldichte allerdings ist sie nicht konsistent 2 d h in unmodifizierter Form nur eingeschrankt geeignet zur Schatzung der Spektraldichte Konsistente Schatzungen Bearbeiten Erwartungstreue und konsistente Schatzungen fur f l displaystyle f lambda nbsp erzeugt man durch geeignete gewichtete Mittel von I n l displaystyle I n lambda prime nbsp aus einer geeigneten Umgebung von l displaystyle lambda nbsp 3 Eine allgemeine Darstellung dafur ist f n l 1 2 p p p W n n I n l n d n displaystyle hat f n lambda tfrac 1 2 pi int pi pi W n nu I n lambda nu d nu nbsp mit geeignetem Spektralfenster W n displaystyle W n nbsp In der Regel wird obiges f n l displaystyle hat f n lambda nbsp diskret erzeugt als Summe und zwar fur die sogenannten Fourierfrequenzen l j 2 p n j displaystyle lambda j frac 2 pi n j nbsp wobei j Z displaystyle j in mathbb Z nbsp so gewahlt ist dass p lt l j lt p displaystyle pi lt lambda j lt pi nbsp gilt Dann hat man die Struktur f n l j k n m n a k n I n l j k n displaystyle hat f n lambda j sum k n leq m n a k n I n lambda j k n nbsp Wenn die a k n displaystyle a k n nbsp und m n displaystyle m n nbsp folgende Eigenschaften haben erzwingt man Konsistenz 4 a k n 0 a k n a k n k n m n a k n 1 lim n k n m n a k n 2 0 lim n m n lim n m n n 0 displaystyle a k n geq 0 a k n a k n sum k n leq m n a k n 1 lim n to infty sum k n leq m n a k n 2 0 lim n to infty m n infty lim n to infty frac m n n 0 nbsp Die Gewichte a k n displaystyle a k n nbsp werden in der Regel durch symmetrische Kernfunktionen K 1 1 0 displaystyle K colon 1 1 to 0 infty nbsp mit 1 1 K 2 x d x lt displaystyle int 1 1 K 2 x dx lt infty nbsp erzeugt gemass 5 a k n K k n m n i m n m n K i m n m n k n m n displaystyle a k n frac K frac k n m n sum i m n m n K frac i m n m n leq k n leq m n nbsp Beispiele Bearbeiten siehe z B 5 Vereinfacht schreiben wir jetzt k displaystyle k nbsp und m displaystyle m nbsp anstatt k n displaystyle k n nbsp und m n displaystyle m n nbsp Abgeschnittenes Periodogramm erzeugt durch den Rechteckkern K x x 1 1 x displaystyle K x chi 1 1 x nbsp Dabei ist x 1 1 displaystyle chi 1 1 nbsp die Indikatorfunktion Es ist also a k 1 displaystyle a k 1 nbsp fur k m displaystyle k leq m nbsp und a k 0 displaystyle a k 0 nbsp sonst Bartlett Schatzung erzeugt durch den Dreieck Kern K x max 1 x 0 displaystyle K x max 1 x 0 nbsp es ist a k m k m 2 displaystyle a k frac m k m 2 nbsp fur k m displaystyle k leq m nbsp und a k 0 displaystyle a k 0 nbsp sonst Parzenschatzung erzeugt durch einen komplizierteren Kern der eine gunstige asymptotische Varianz liefert K x 1 6 x 2 6 x 3 wenn x lt 1 2 2 1 x 3 wenn 1 2 x 1 0 sonst displaystyle K x begin cases 1 6 x 2 6 x 3 amp text wenn x lt frac 1 2 2 1 x 3 amp text wenn frac 1 2 leq x leq 1 0 amp text sonst end cases nbsp Einzelnachweise Bearbeiten A Schuster On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena In Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity 3 1898 S 13 41 doi 10 1029 TM003i001p00013 J Andel Statistische Analyse von Zeitreihen Akademie Verlag Berlin 1984 U Grenander M Rosenblatt Statistical Analysis of Stationary Time Series Wiley 1957 Reprint American Mathematical Society 2008 full text E Parzen Mathematical Considerations in the Estimation of Spectra In Technometrics Vol 3 1961 S 167 190 doi 10 1080 00401706 1961 10489939 JSTOR 1266111 a b P J Brockwell and R A Davis Time Series Theory and Methods Springer 1987 jungste Auflage 2009 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spektraldichteschatzung amp oldid 208066423
