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Skelett Kategorientheorie In der Kategorientheorie ist das Skelett einer Kategorie eine Unterkategorie die keine überflü

Skelett (Kategorientheorie)

In der Kategorientheorie ist das Skelett einer Kategorie eine Unterkategorie, die keine überflüssigen Isomorphismen enthält. In einem gewissen Sinne ist das Skelett einer Kategorie die kleinste äquivalente Kategorie, die alle kategoriellen Eigenschaften beibehält. In der Tat sind zwei Kategorien genau dann äquivalent, wenn sie isomorphe Skelette besitzen.

Definition Bearbeiten

Ein Skelett für eine Kategorie ist eine volle, dichte Unterkategorie , in der je zwei (verschiedene) Objekte nicht isomorph sein dürfen. Das heißt im Einzelnen: Ein Skelett von ist eine Kategorie , so dass gilt:

  • Jedes Objekt von ist ein Objekt von .
  • Für jedes Objekt von ist die -Identität von zugleich die -Identität von .
  • Die Komposition in ist die Einschränkung der Komposition in auf die Morphismen von .
  • Sind , beliebige Objekte von , so sind die -Morphismen von nach genau die -Morphismen von nach , in Formeln:
  • Jedes -Objekt ist zu einem -Objekt isomorph.
  • Je zwei verschiedene -Objekte sind nicht isomorph.

Existenz und Eindeutigkeit Bearbeiten

Grundlegend ist, dass jede Kategorie ein Skelett besitzt. (Diese Aussage ist zum Auswahlaxiom für Klassen äquivalent, wie es etwa die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre bereitstellt.) Wenn auch eine Kategorie mehrere verschiedene Skelette besitzen kann, sind sie jedoch als Kategorien isomorph. Also besitzt jede Kategorie bis auf Isomorphie ein eindeutiges Skelett.

Die Bedeutung von Skeletten rührt daher, dass sie (bis auf Isomorphie) kanonische Vertreter der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenz von Kategorien sind. Das ergibt sich daraus, dass jede Kategorie zu einem Skelett äquivalent ist, und dass zwei Kategorien genau dann äquivalent sind, wenn sie isomorphe Skelette besitzen.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Kategorientheorie ist das Skelett einer Kategorie eine Unterkategorie die keine uberflussigen Isomorphismen enthalt In einem gewissen Sinne ist das Skelett einer Kategorie die kleinste aquivalente Kategorie die alle kategoriellen Eigenschaften beibehalt In der Tat sind zwei Kategorien genau dann aquivalent wenn sie isomorphe Skelette besitzen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Existenz und Eindeutigkeit 3 Beispiele 4 LiteraturDefinition BearbeitenEin Skelett fur eine Kategorie C displaystyle mathcal C nbsp ist eine volle dichte Unterkategorie D displaystyle mathcal D nbsp in der je zwei verschiedene Objekte nicht isomorph sein durfen Das heisst im Einzelnen Ein Skelett von C displaystyle mathcal C nbsp ist eine Kategorie D displaystyle mathcal D nbsp so dass gilt Jedes Objekt von D displaystyle mathcal D nbsp ist ein Objekt von C displaystyle mathcal C nbsp Fur jedes Objekt d displaystyle d nbsp von D displaystyle mathcal D nbsp ist die D displaystyle mathcal D nbsp Identitat von d displaystyle d nbsp zugleich die C displaystyle mathcal C nbsp Identitat von d displaystyle d nbsp Die Komposition in D displaystyle mathcal D nbsp ist die Einschrankung der Komposition in C displaystyle mathcal C nbsp auf die Morphismen von D displaystyle mathcal D nbsp Sind d 1 displaystyle d 1 nbsp d 2 displaystyle d 2 nbsp beliebige Objekte von D displaystyle mathcal D nbsp so sind die C displaystyle mathcal C nbsp Morphismen von d 1 displaystyle d 1 nbsp nach d 2 displaystyle d 2 nbsp genau die D displaystyle mathcal D nbsp Morphismen von d 1 displaystyle d 1 nbsp nach d 2 displaystyle d 2 nbsp in Formeln Hom D d 1 d 2 Hom C d 1 d 2 displaystyle operatorname Hom D d 1 d 2 operatorname Hom C d 1 d 2 nbsp Jedes C displaystyle mathcal C nbsp Objekt ist zu einem D displaystyle mathcal D nbsp Objekt isomorph Je zwei verschiedene D displaystyle mathcal D nbsp Objekte sind nicht isomorph Existenz und Eindeutigkeit BearbeitenGrundlegend ist dass jede Kategorie ein Skelett besitzt Diese Aussage ist zum Auswahlaxiom fur Klassen aquivalent wie es etwa die Neumann Bernays Godel Mengenlehre bereitstellt Wenn auch eine Kategorie mehrere verschiedene Skelette besitzen kann sind sie jedoch als Kategorien isomorph Also besitzt jede Kategorie bis auf Isomorphie ein eindeutiges Skelett Die Bedeutung von Skeletten ruhrt daher dass sie bis auf Isomorphie kanonische Vertreter der Aquivalenzklassen bezuglich der Aquivalenz von Kategorien sind Das ergibt sich daraus dass jede Kategorie zu einem Skelett aquivalent ist und dass zwei Kategorien genau dann aquivalent sind wenn sie isomorphe Skelette besitzen Beispiele BearbeitenDie Kategorie Set bestehend aus allen Mengen und Abbildungen hat die Unterkategorie der Kardinalzahlen als Skelett Die Kategorie VektK displaystyle K nbsp bestehend aus allen K displaystyle K nbsp Vektorraumen und K displaystyle K nbsp linearen Abbildungen fur einen festen Korper K displaystyle K nbsp hat die Unterkategorie als Skelett die aus den K n displaystyle K n nbsp besteht wobei n displaystyle n nbsp eine Kardinalzahl ist Die Kategorie der Wohlordnungen hat die Unterkategorie der Ordinalzahlen als Skelett Literatur BearbeitenJ Adamek H Herrlich G E Strecker Abstract and concrete categories PDF 4 4 MB John Wiley 1990 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Skelett Kategorientheorie amp oldid 190898155