Schwarzschild Wurmloch In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ein eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen die

Schwarzschild-Wurmloch

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist ein Schwarzschild-Wurmloch eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen, die aus der Schwarzschild-Metrik (welches ungeladene und nicht rotierende Schwarze Löcher beschreibt) durch Koordinatentransformation hervorgeht und topologisch als Wurmloch zwischen zwei verschiedenen Universen interpretiert werden kann. Anschaulich gesehen werden zwei äußere Schwarzschild-Lösungen am Ereignishorizont aneinandergeklebt. Optisch ist dieses daher nicht von einem Schwarzen Loch zu unterscheiden und praktisch nicht durchquerbar, da die benötigte Zeit dafür unendlich lang ist.

Die erste Beschreibung der Metrik eines Schwarzschild-Wurmloches wurde erstmals von Albert Einstein und Nathan Rosen am 1. Juli 1935 veröffentlicht.

Geometrische Beschreibung Bearbeiten

Mathematischer Plot eines Schwarzschild-Wurmlochs

Die Schwarzschild-Metrik eines ungeladenen und nicht rotierenden Schwarzen Loches mit Masse ist gegeben durch:

wobei

der Schwarzschild-Radius ist. Die Stelle, an denen die Schwarzschild-Metrik singulär wird, ergibt ihren Ereignishorizont als . Der Radiusparameter unterteilt die einzelnen Gebiete. Für ergibt sich die innere Metrik hinter dem Ereignishorizont, für genau der Ereignishorizont und für die äußere Metrik. Die Aneinanderklebung zweier äußerer Schwarzschild-Metriken geschieht am Ereignishorizont unter Verwendung der Tatsache, dass negative Zahlen keine reelle und positive Zahlen zwei reelle Wurzeln haben. Die das umsetzende Transformation ist . Für ergibt sich das erste und für das zweite Universum, wobei ihre Verklebung bezeichnet.

Das Differential transformiert sich gemäß:

Der radienabhängige Teil der Schwarzschild-Metrik transformiert sich als:

Beide Resultate eingesetzt in die Schwarzschild-Metrik ergibt sich die Metrik des Schwarzschild-Wurmloches als:

Topologische Betrachtung Bearbeiten

Die gewöhnliche Schwarzschild-Raumzeit ist topologisch der euklidische Raum . Die Entfernung der inneren Lösung (insbesondere der zentralen Singularität) überführt diese topologisch in , was der Zerlegung in Zeit-, Radial- und Winkelkomponente entspricht. Die Verklebung zweier solcher Raumzeiten zu einem Schwarzschild-Wurmloch ist daher topologisch das Produkt .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

A. Einstein and N. Rosen. Phys. Rev. 48, 73 (1935) - The Particle Problem in the General Theory of Relativity (aps.org)
K. Schwarzschild. On the gravitational field of a mass point according to Einstein's theory. arXiv:physics/9905030

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 00:31 am

In der Allgemeinen Relativitatstheorie ist ein Schwarzschild Wurmloch eine Losung der Einsteinschen Feldgleichungen die aus der Schwarzschild Metrik welches ungeladene und nicht rotierende Schwarze Locher beschreibt durch Koordinatentransformation hervorgeht und topologisch als Wurmloch zwischen zwei verschiedenen Universen interpretiert werden kann Anschaulich gesehen werden zwei aussere Schwarzschild Losungen am Ereignishorizont aneinandergeklebt Optisch ist dieses daher nicht von einem Schwarzen Loch zu unterscheiden und praktisch nicht durchquerbar da die benotigte Zeit dafur unendlich lang ist Die erste Beschreibung der Metrik eines Schwarzschild Wurmloches wurde erstmals von Albert Einstein und Nathan Rosen am 1 Juli 1935 veroffentlicht 1 Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Beschreibung 2 Topologische Betrachtung 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseGeometrische Beschreibung Bearbeiten nbsp Mathematischer Plot eines Schwarzschild WurmlochsDie Schwarzschild Metrik eines ungeladenen und nicht rotierenden Schwarzen Loches mit Masse M displaystyle M nbsp ist gegeben durch 2 d s 2 1 r S r c 2 d t 2 1 r S r 1 d r 2 r 2 d W 2 displaystyle mathrm d s 2 left 1 frac r mathrm S r right c 2 mathrm d t 2 left 1 frac r mathrm S r right 1 mathrm d r 2 r 2 mathrm d Omega 2 nbsp wobei r S 2 G M c 2 displaystyle r mathrm S frac 2GM c 2 nbsp der Schwarzschild Radius ist Die Stelle an denen die Schwarzschild Metrik singular wird ergibt ihren Ereignishorizont als r r S displaystyle r r mathrm S nbsp Der Radiusparameter r displaystyle r nbsp unterteilt die einzelnen Gebiete Fur 0 r r S displaystyle 0 leq r leq r mathrm S nbsp ergibt sich die innere Metrik hinter dem Ereignishorizont fur r r S displaystyle r r mathrm S nbsp genau der Ereignishorizont und fur r gt r S displaystyle r gt r mathrm S nbsp die aussere Metrik Die Aneinanderklebung zweier ausserer Schwarzschild Metriken geschieht am Ereignishorizont unter Verwendung der Tatsache dass negative Zahlen keine reelle und positive Zahlen zwei reelle Wurzeln haben Die das umsetzende Transformation ist u 2 r r S displaystyle u 2 r r mathrm S nbsp Fur u lt 0 displaystyle u lt 0 nbsp ergibt sich das erste und fur u gt 0 displaystyle u gt 0 nbsp das zweite Universum wobei u 0 displaystyle u 0 nbsp ihre Verklebung bezeichnet Das Differential transformiert sich gemass 2 u d u d r displaystyle 2u mathrm d u mathrm d r nbsp Der radienabhangige Teil der Schwarzschild Metrik transformiert sich als 1 r S r r r S r u 2 u 2 r S displaystyle 1 frac r mathrm S r frac r r mathrm S r frac u 2 u 2 r mathrm S nbsp Beide Resultate eingesetzt in die Schwarzschild Metrik ergibt sich die Metrik des Schwarzschild Wurmloches als d s 2 u 2 u 2 r S c 2 d t 2 4 u 2 r S d u 2 u 2 r S 2 d W 2 displaystyle mathrm d s 2 frac u 2 u 2 r mathrm S c 2 mathrm d t 2 4 u 2 r mathrm S mathrm d u 2 u 2 r mathrm S 2 mathrm d Omega 2 nbsp Topologische Betrachtung BearbeitenDie gewohnliche Schwarzschild Raumzeit ist topologisch der euklidische Raum R R 3 displaystyle mathbb R times mathbb R 3 nbsp Die Entfernung der inneren Losung insbesondere der zentralen Singularitat uberfuhrt diese topologisch in R R 3 0 R R S 2 displaystyle mathbb R times mathbb R 3 setminus 0 cong mathbb R times mathbb R times S 2 nbsp was der Zerlegung in Zeit Radial und Winkelkomponente entspricht Die Verklebung zweier solcher Raumzeiten zu einem Schwarzschild Wurmloch ist daher topologisch das Produkt R 2 S 2 displaystyle mathbb R 2 times S 2 nbsp Siehe auch BearbeitenWurmloch Reissner Nordstrom Wurmloch Ellis WurmlochEinzelnachweise Bearbeiten A Einstein and N Rosen Phys Rev 48 73 1935 The Particle Problem in the General Theory of Relativity aps org K Schwarzschild On the gravitational field of a mass point according to Einstein s theory arXiv physics 9905030 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwarzschild Wurmloch amp oldid 236300068