Der Satz von Weierstrass Casorati nach Karl Weierstrass und Felice Casorati ist ein Satz aus der Funktionentheorie und beschaftigt sich mit dem Verhalten holomorpher Funktionen in Umgebungen wesentlicher Singularitaten Er ist aber eine schwachere Aussage als die Satze von Picard Der Satz BearbeitenSei z 0 displaystyle z 0 nbsp ein Punkt eines Gebietes G displaystyle G nbsp z 0 displaystyle z 0 nbsp ist eine wesentliche Singularitat der auf G z 0 displaystyle G setminus z 0 nbsp holomorphen Funktion f displaystyle f nbsp genau dann wenn fur jede in G displaystyle G nbsp liegende Umgebung U displaystyle U nbsp von z 0 displaystyle z 0 nbsp das Bild f U z 0 displaystyle f U setminus z 0 nbsp dicht in C displaystyle mathbb C nbsp liegt Anders formuliert Eine holomorphe Funktion hat genau dann in z 0 displaystyle z 0 nbsp eine wesentliche Singularitat wenn in jeder noch so kleinen Umgebung von z 0 displaystyle z 0 nbsp jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von f displaystyle f nbsp approximiert werden kann Beweis BearbeitenWir zeigen die Kontraposition der Aussage z 0 displaystyle z 0 nbsp ist genau dann keine wesentliche Singularitat wenn es eine Umgebung U G displaystyle U subseteq G nbsp von z 0 displaystyle z 0 nbsp gibt und eine nichtleere offene Menge V C displaystyle V subset mathbb C nbsp so dass f U z 0 displaystyle f U setminus z 0 nbsp disjunkt zu V displaystyle V nbsp ist Sei zunachst z 0 displaystyle z 0 nbsp keine wesentliche Singularitat also entweder eine hebbare Singularitat oder eine Polstelle Im hebbaren Fall ist die stetige Fortsetzung von f displaystyle f nbsp in einer Umgebung U displaystyle U nbsp von z 0 displaystyle z 0 nbsp beschrankt etwa f z lt r displaystyle f z lt r nbsp fur alle z U z 0 displaystyle z in U setminus z 0 nbsp Dann ist V z C z gt r displaystyle V z in mathbb C colon z gt r nbsp disjunkt zu f U z 0 displaystyle f U setminus z 0 nbsp Hat f displaystyle f nbsp dagegen in z 0 displaystyle z 0 nbsp eine Polstelle so ist f z g z z z 0 m displaystyle f z tfrac g z z z 0 m nbsp fur eine naturliche Zahl m displaystyle m nbsp und ein holomorphes g displaystyle g nbsp mit g z 0 0 displaystyle g z 0 neq 0 nbsp In einer hinreichend kleinen e displaystyle varepsilon nbsp Umgebung U displaystyle U nbsp von z 0 displaystyle z 0 nbsp gilt g z gt 1 2 g z 0 displaystyle g z gt tfrac 1 2 g z 0 nbsp und folglich f z gt 1 2 e m g z 0 displaystyle f z gt tfrac 1 2 varepsilon m g z 0 nbsp d h f U z 0 displaystyle f U setminus z 0 nbsp ist disjunkt zu V z C z lt 1 2 e m g z 0 displaystyle V z in mathbb C colon z lt tfrac 1 2 varepsilon m g z 0 nbsp Sei jetzt umgekehrt U G displaystyle U subseteq G nbsp eine Umgebung von z 0 displaystyle z 0 nbsp und V C displaystyle V subset mathbb C nbsp offen nicht leer und disjunkt zu f U z 0 displaystyle f U setminus z 0 nbsp Dann enthalt V displaystyle V nbsp eine offene Kreisscheibe es gibt also eine Zahl w C displaystyle w in mathbb C nbsp und ein r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp mit f z w gt r displaystyle f z w gt r nbsp fur alle z U z 0 displaystyle z in U setminus z 0 nbsp Es folgt dass 1 f z w displaystyle tfrac 1 f z w nbsp auf U z 0 displaystyle U setminus z 0 nbsp durch 1 r displaystyle tfrac 1 r nbsp beschrankt ist Nach dem riemannschen Hebbarkeitssatz ist 1 f z w displaystyle tfrac 1 f z w nbsp zu einer auf ganz U displaystyle U nbsp holomorphen Funktion g displaystyle g nbsp fortsetzbar Da g displaystyle g nbsp nicht die Nullfunktion sein kann gibt es ein m N 0 displaystyle m in mathbb N 0 nbsp und holomorphes h displaystyle h nbsp mit g z z z 0 m h z displaystyle g z z z 0 m cdot h z nbsp und h z 0 0 displaystyle h z 0 neq 0 nbsp In einer moglicherweise kleineren Umgebung U U displaystyle U subseteq U nbsp von z 0 displaystyle z 0 nbsp ist auch 1 h z displaystyle tfrac 1 h z nbsp holomorph Dies bedeutet z z 0 m f z 1 h z z z 0 m w displaystyle z z 0 m f z frac 1 h z z z 0 m w nbsp fur alle z U z 0 displaystyle z in U setminus z 0 nbsp Die rechte Seite ist holomorph also hat f displaystyle f nbsp in z 0 displaystyle z 0 nbsp allenfalls eine Polstelle vom Grad m displaystyle m nbsp Literatur BearbeitenEberhard Freitag amp Rolf Busam Funktionentheorie 1 Springer Verlag Berlin ISBN 3 540 67641 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Weierstrass Casorati amp oldid 227595958
