www.wikidata.de-de.nina.az

Satz von Toponogow In der Geometrie stellt der den Zusammenhang zwischen Riemannscher Geometrie und synthetischer metris

Satz von Toponogow

In der Geometrie stellt der Satz von Toponogow den Zusammenhang zwischen Riemannscher Geometrie und synthetischer metrischer Geometrie her. Anschaulich besagt er, dass in einer Mannigfaltigkeit mit nach oben beschränkter Krümmung Dreiecke nicht dicker sind als im Vergleichsraum konstanter Krümmung.

Er wurde 1958 von Wiktor Andrejewitsch Toponogow bewiesen.

Vergleichsräume Bearbeiten

Zu jeder Zahl und jedem gibt es eine eindeutige einfach zusammenhängende -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung konstant . Für ist dies die Sphäre vom Radius , für der euklidische Raum und für der mit dem Faktor skalierte hyperbolische Raum.

Vergleichsdreieck Bearbeiten

Ein Vergleichsdreieck in . Aus folgt .

Ein geodätisches Dreieck in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein Dreieck mit Ecken , dessen drei Seiten minimierende Geodäten sind.

Sei eine obere Schranke für die Schnittkrümmungen in , also . Dann gibt es zu jedem geodätischen Dreieck mit Seitenlängen (insbesondere zu jedem geodätischen Dreieck falls ) ein Vergleichsdreieck in mit

Dieses Dreieck ist bis auf Kongruenz eindeutig, wenn entweder oder und alle Seitenlängen kleiner als sind. Man hat dann eine Vergleichsabbildung

die (zum Beispiel) jedem Punkt auf der Seite den entsprechenden Punkt auf der Seite (d. h. den eindeutigen Punkt mit ) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

Satz von Toponogow Bearbeiten

Untere Krümmungsschranken Bearbeiten

Es sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung für eine Zahl . Sei

ein Vergleichsdreieck zu einem geodätischen Dreieck

Dann gilt

für alle .

Obere Krümmungsschranken Bearbeiten

Ein entsprechender Satz gilt für obere Krümmungsschranken, wobei man hier weitere Voraussetzungen benötigt.

Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung . Falls sei einfach zusammenhängend, und falls habe das geodätische Dreieck Seitenlängen höchstens .

Dann gilt für das Vergleichsdreieck

für alle .

Folgerungen Bearbeiten

Aus dem Satz von Toponogow folgt, dass Hadamard-Mannigfaltigkeiten (einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrümmung) CAT(0)-Räume sind und alle dementsprechenden Eigenschaften haben: sie sind zusammenziehbar, je zwei Punkte lassen sich durch eine eindeutige Geodäte verbinden und für Geodäten ist die Funktion konvex.

Literatur Bearbeiten

  • Chavel, Isaac (2006), Riemannian Geometry; A Modern Introduction (second ed.), Cambridge University Press
  • Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
  • Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4417-5

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie stellt der Satz von Toponogow den Zusammenhang zwischen Riemannscher Geometrie und synthetischer metrischer Geometrie her Anschaulich besagt er dass in einer Mannigfaltigkeit mit nach oben beschrankter Krummung Dreiecke nicht dicker sind als im Vergleichsraum konstanter Krummung Er wurde 1958 von Wiktor Andrejewitsch Toponogow bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Vergleichsraume 2 Vergleichsdreieck 3 Satz von Toponogow 3 1 Untere Krummungsschranken 3 2 Obere Krummungsschranken 4 Folgerungen 5 Literatur 6 WeblinksVergleichsraume BearbeitenZu jeder Zahl d R displaystyle delta in mathbb R nbsp und jedem n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt es eine eindeutige einfach zusammenhangende n displaystyle n nbsp dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit E d n displaystyle E delta n nbsp der Schnittkrummung konstant d displaystyle delta nbsp Fur d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp ist dies die Sphare vom Radius 1 d displaystyle frac 1 sqrt delta nbsp fur d 0 displaystyle delta 0 nbsp der euklidische Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp und fur d lt 0 displaystyle delta lt 0 nbsp der mit dem Faktor 1 d displaystyle frac 1 sqrt delta nbsp skalierte hyperbolische Raum Vergleichsdreieck Bearbeiten nbsp Ein Vergleichsdreieck in R 2 E d 0 2 displaystyle mathbb R 2 E delta 0 2 nbsp Aus K M 0 displaystyle K M leq 0 nbsp folgt d x y x y displaystyle d x y leq x prime y prime nbsp Ein geodatisches Dreieck D a b c displaystyle Delta a b c nbsp in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist ein Dreieck mit Ecken a b c M displaystyle a b c in M nbsp dessen drei Seiten minimierende Geodaten sind Sei d R displaystyle delta in mathbb R nbsp eine obere Schranke fur die Schnittkrummungen in M displaystyle M nbsp also K M d displaystyle K M leq delta nbsp Dann gibt es zu jedem geodatischen Dreieck D a b c displaystyle Delta a b c nbsp mit Seitenlangen d a b d a c d b c p d displaystyle d a b d a c d b c leq frac pi sqrt delta nbsp insbesondere zu jedem geodatischen Dreieck falls d lt 0 displaystyle delta lt 0 nbsp ein Vergleichsdreieck D a b c displaystyle Delta a prime b prime c prime nbsp in E d 2 E d n displaystyle E delta 2 subset E delta n nbsp mit d a b a b d a c a c d b c b c displaystyle d a b lVert a prime b prime rVert d a c lVert a prime c prime rVert d b c lVert b prime c prime rVert nbsp Dieses Dreieck ist bis auf Kongruenz eindeutig wenn entweder d 0 displaystyle delta leq 0 nbsp oder d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp und alle Seitenlangen kleiner als p d displaystyle frac pi sqrt delta nbsp sind Man hat dann eine Vergleichsabbildung D a b c D a b c displaystyle partial Delta a b c rightarrow partial Delta a prime b prime c prime nbsp die zum Beispiel jedem Punkt x displaystyle x nbsp auf der Seite a b displaystyle a b nbsp den entsprechenden Punkt x displaystyle x prime nbsp auf der Seite a b displaystyle a prime b prime nbsp d h den eindeutigen Punkt mit x a d x a displaystyle lVert x prime a prime rVert d x a nbsp zuordnet analog fur die beiden anderen Seiten Satz von Toponogow BearbeitenUntere Krummungsschranken Bearbeiten Es sei M displaystyle M nbsp eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrummung K M d displaystyle K M geq delta nbsp fur eine Zahl d R displaystyle delta in mathbb R nbsp Sei D a b c E d 2 displaystyle Delta a prime b prime c prime subset E delta 2 nbsp ein Vergleichsdreieck zu einem geodatischen Dreieck D a b c M displaystyle Delta a b c subset M nbsp Dann gilt d E d 2 x c d M x c displaystyle d E delta 2 x prime c prime leq d M x c nbsp fur alle x a b D a b c M displaystyle x in left a b right subset partial Delta a b c subset M nbsp Obere Krummungsschranken Bearbeiten Ein entsprechender Satz gilt fur obere Krummungsschranken wobei man hier weitere Voraussetzungen benotigt Sei M displaystyle M nbsp eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrummung K M d displaystyle K M leq delta nbsp Falls d 0 displaystyle delta leq 0 nbsp sei M displaystyle M nbsp einfach zusammenhangend und falls d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp habe das geodatische Dreieck D a b c M displaystyle Delta a b c subset M nbsp Seitenlangen hochstens p d displaystyle frac pi sqrt delta nbsp Dann gilt fur das Vergleichsdreieck D a b c E d 2 displaystyle Delta a prime b prime c prime subset E delta 2 nbsp d E d 2 x c d M x c displaystyle d E delta 2 x prime c prime geq d M x c nbsp fur alle x a b D a b c M displaystyle x in left a b right subset partial Delta a b c subset M nbsp Folgerungen BearbeitenAus dem Satz von Toponogow folgt dass Hadamard Mannigfaltigkeiten einfach zusammenhangende Mannigfaltigkeiten nichtpositiver Schnittkrummung CAT 0 Raume sind und alle dementsprechenden Eigenschaften haben sie sind zusammenziehbar je zwei Punkte lassen sich durch eine eindeutige Geodate verbinden und fur Geodaten g 1 g 2 displaystyle gamma 1 gamma 2 nbsp ist die Funktion d g 1 t g 2 t displaystyle d gamma 1 t gamma 2 t nbsp konvex Literatur BearbeitenChavel Isaac 2006 Riemannian Geometry A Modern Introduction second ed Cambridge University Press Berger Marcel 2004 A Panoramic View of Riemannian Geometry Springer Verlag ISBN 3 540 65317 1 Cheeger Jeff Ebin David G 2008 Comparison theorems in Riemannian geometry AMS Chelsea Publishing Providence RI ISBN 978 0 8218 4417 5Weblinks BearbeitenW Meyer Toponogov s Theorem and Applications J Eschenburg Comparison Theorems in Riemannian Geometry U Lang V Schroeder On Toponogov s Comparison Theorem for Alexandrov Spaces Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Toponogow amp oldid 213312799