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Satz von Poincaré Bohl Der englisch Poincaré Bohl theorem ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topolog

Satz von Poincaré-Bohl

Der Satz von Poincaré-Bohl, englisch Poincaré-Bohl theorem, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher den beiden Mathematikern Henri Poincaré und Piers Bohl zugerechnet wird. Der Satz stellt eine grundlegende Eigenschaft des brouwerschen Abbildungsgrades für stetige Vektorfelder im reellen Koordinatenraum dar. Diese Eigenschaft wird auch als lineare Homotopie bezeichnet und ergibt sich direkt aus der Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Gemäß der Darstellung bei Alexandroff-Hopf sowie Ortega-Rheinboldt lässt sich der Satz angeben wie folgt:

Hierzu sei
die zugehörige Menge der Randpunkte sowie
die Menge aller Punkte, welche auf den Verbindungsstrecken zwischen den - und -Bildpunkten der jeweiligen Randpunkte liegen.
Dann gilt:
Für jeden außerhalb liegenden Punkt, also für jeden Punkt , stimmen die brouwerschen Abbildungsgrade von und überein:

Literatur Bearbeiten

  • P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 45). Erster Band (Reprint). Chelsea Publishing Company, New York 1965 (MR0185557).
  • P. Bohl: Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 127, 1904, S. 179–276 (MR1580639).
  • Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).
  • James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970) (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3 (MR1744713).
  • H. Poincaré: Sur les courbes définies par les équations différentielles IV. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 2, 1886, S. 151–217.
  • Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I. Fixed-Point Theorems. Springer Verlag, New York (u. a.) 1986 (MR0816732).

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. ↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie I. 1965, S. 459
  2. ↑ J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables 2000, S. 157
  3. Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I. 1986, S. 570 ff
  4. Aus der Darstellung in der Einführung in die Kombinatorische Topologie von Egbert Harzheim ist zu entnehmen, dass aus dem Satz von Poincaré-Bohl durch elementare Schlüsse sogar direkt der berühmte Satz von Poincaré-Brouwer gefolgert werden kann (b:Beweisarchiv: Topologie: Der Satz von Poincaré-Bohl impliziert den Satz von Poincaré-Brouwer.).
  5. ist die abgeschlossene Hülle von  .
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Der Satz von Poincare Bohl englisch Poincare Bohl theorem ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie welcher den beiden Mathematikern Henri Poincare und Piers Bohl zugerechnet wird Der Satz stellt eine grundlegende Eigenschaft des brouwerschen Abbildungsgrades fur stetige Vektorfelder im reellen Koordinatenraum dar Diese Eigenschaft wird auch als lineare Homotopie bezeichnet und ergibt sich direkt aus der Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades 1 2 3 4 Formulierung des Satzes BearbeitenGemass der Darstellung bei Alexandroff Hopf sowie Ortega Rheinboldt lasst sich der Satz angeben wie folgt 1 2 Gegeben seien eine offene und beschrankte Menge W R n n N displaystyle Omega subset mathbb R n n in mathbb N nbsp und dazu zwei stetige AbbildungenF G W R n displaystyle F G colon overline Omega to mathbb R n nbsp 5 dd Hierzu seig W displaystyle gamma partial Omega nbsp dd die zugehorige Menge der Randpunkte sowieU x g F x G x displaystyle U bigcup x in gamma F x G x nbsp dd die Menge aller Punkte welche auf den Verbindungsstrecken zwischen den F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp Bildpunkten der jeweiligen Randpunkte liegen Dann gilt Fur jeden ausserhalb liegenden Punkt also fur jeden Punkt y R n U displaystyle y in mathbb R n setminus U nbsp stimmen die brouwerschen Abbildungsgrade von F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp uberein d F W y d G W y displaystyle d F Omega y d G Omega y nbsp dd Literatur BearbeitenP Alexandroff H Hopf Topologie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 45 Erster Band Reprint Chelsea Publishing Company New York 1965 MR0185557 P Bohl Uber die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nahe einer Gleichgewichtslage In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 127 1904 S 179 276 MR1580639 Egbert Harzheim Einfuhrung in die Kombinatorische Topologie Die Mathematik Einfuhrungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1978 ISBN 3 534 07016 X MR0533264 James M Ortega W C Rheinboldt Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables Unabridged republication of the work first published by Academic Press New York and London 1970 Classics in Applied Mathematics Band 30 Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia 2000 ISBN 0 89871 461 3 MR1744713 H Poincare Sur les courbes definies par les equations differentielles IV In Journal de Mathematiques Pures et Appliquees Band 2 1886 S 151 217 Eberhard Zeidler Nonlinear Functional Analysis and its Applications I Fixed Point Theorems Springer Verlag New York u a 1986 MR0816732 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten a b P Alexandroff H Hopf Topologie I 1965 S 459 a b J M Ortega W C Rheinboldt Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables 2000 S 157 Eberhard Zeidler Nonlinear Functional Analysis and its Applications I 1986 S 570 ff Aus der Darstellung in der Einfuhrung in die Kombinatorische Topologie von Egbert Harzheim ist zu entnehmen dass aus dem Satz von Poincare Bohl durch elementare Schlusse sogar direkt der beruhmte Satz von Poincare Brouwer gefolgert werden kann b Beweisarchiv Topologie Der Satz von Poincare Bohl impliziert den Satz von Poincare Brouwer W displaystyle overline Omega nbsp ist die abgeschlossene Hulle von W displaystyle Omega nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Poincare Bohl amp oldid 222653771