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Primärzerlegung Die ist ein Begriff aus der kommutativen Algebra In einer werden Untermoduln als Durchschnitt primärer U

Primärzerlegung

Die Primärzerlegung ist ein Begriff aus der kommutativen Algebra. In einer Primärzerlegung werden Untermoduln als Durchschnitt primärer Untermoduln dargestellt. Existenz und Eindeutigkeit können unter bestimmten Voraussetzungen bewiesen werden. Die Primärzerlegung eines Ideals ist eine Verallgemeinerung der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. Andererseits ist die Primärzerlegung die algebraische Grundlage für die Zerlegung einer algebraischen Varietät in ihre irreduziblen Komponenten.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition Bearbeiten

Ist ein Untermodul eines Moduls über einem Ring , so ist eine Primärzerlegung von eine Darstellung von als Durchschnitt:

von -primären Untermoduln . (Die sind Primideale des Rings .)

Die Primärzerlegung heißt reduziert, wenn folgendes gilt:

  1. Für ist

Bei einer reduzierten Primärzerlegung werden die auch als Primärkomponenten bezeichnet.

Existenz Bearbeiten

Ist ein endlich erzeugter Modul über einem noetherschem Ring , so besitzt jeder echte Untermodul von aufgrund von noetherscher Induktion eine Zerlegung in irreduzible Untermoduln. Da irreduzible Untermoduln von endlich erzeugten Modul über einem noetherschen Ring aber bereits primär sind, ist die Zerlegung in irreduzible Untermoduln bereits eine Primärzerlegung. Ersetzt man nun alle zum selben Primideal primären Komponenten durch deren Schnitt, der selbst primär ist, und lässt alle nicht benötigten Komponenten weg, so erhält man eine reduzierte Primärzerlegung. Insbesondere besitzt jedes Ideal als Untermodul von eine Zerlegung in primäre Ideale.

Eindeutigkeit Bearbeiten

Ist ein Untermodul von einem Modul über einem noetherschen Ring und

eine reduzierte Primärzerlegung in -primäre Untermoduln, so ist

ist die Menge der assoziierten Primideale von . Insbesondere ist die Menge der bei einer reduzierten Primärzerlegung auftretenden Primideale eindeutig festgelegt.

Ist ein minimales Element der Menge , so ist gleich . Die zu minimalen Elementen von gehörigen Primärkomponenten sind durch und eindeutig festgelegt.

Gehört eine Primärkomponente nicht zu einem minimalen Element von , so wird eine eingebettete Primärkomponente genannt. Diese sind nicht unbedingt eindeutig (siehe unten).

Satz von Lasker-Noether Bearbeiten

Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen der Primärzerlegung in noetherschen Ringen nennt man auch Satz von Lasker-Noether. Er lautet

Dieser Satz wurde zunächst von Emanuel Lasker, der vor allem als Schachweltmeister bekannt ist, für Polynomringe über einem Körper bewiesen. Emmy Noether hat dann erkannt, dass sich die Argumente auf die aufsteigende Kettenbedingung zurückführen lassen und daher allgemeiner für noethersche Ringe gelten. Das erklärt die Benennung dieses Satzes. Die Verallgemeinerung auf endlich erzeugte Moduln über einem noetherschen Ring ist dann Routine.

Sätze Bearbeiten

Ist eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines Ringes und

eine reduzierte Primärzerlegung eines Untermoduls mit -primären Untermoduln von , so ist

eine reduzierte Primärdarstellung von .

Beispiele Bearbeiten

In den ganzen Zahlen Bearbeiten

Ist zum Beispiel in den ganzen Zahlen

mit Primzahlen , so ist die Primärzerlegung des von erzeugten Hauptideals

In einem Koordinatenring Bearbeiten

Ist ein Körper, so hat das Ideal

die Primärzerlegungen:

ist als Potenz eines maximalen Ideals primär; im Ring ist jeder Nullteiler nilpotent, daher ist das Ideal auch primär. Sowohl als auch sind -primär. Dieses Beispiel zeigt, dass die Primärzerlegung selbst nicht eindeutig ist, wohl aber die assoziierten Primideale.

Literatur Bearbeiten

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Satz C.32., S. 235
  2. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Satz C.30., S. 235
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, Korollar C.28., S. 234
  4. O. Zariski, P. Samuel: Commutative Algebra I, Springer-Verlag (1975), ISBN 3-540-90089-6
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Veröffentlichungsdatum:
Die Primarzerlegung ist ein Begriff aus der kommutativen Algebra In einer Primarzerlegung werden Untermoduln als Durchschnitt primarer Untermoduln dargestellt Existenz und Eindeutigkeit konnen unter bestimmten Voraussetzungen bewiesen werden Die Primarzerlegung eines Ideals ist eine Verallgemeinerung der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren Andererseits ist die Primarzerlegung die algebraische Grundlage fur die Zerlegung einer algebraischen Varietat in ihre irreduziblen Komponenten Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Existenz 3 Eindeutigkeit 4 Satz von Lasker Noether 5 Satze 6 Beispiele 6 1 In den ganzen Zahlen 6 2 In einem Koordinatenring 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIst U displaystyle U nbsp ein Untermodul eines Moduls M displaystyle M nbsp uber einem Ring R displaystyle R nbsp so ist eine Primarzerlegung von U displaystyle U nbsp eine Darstellung von U displaystyle U nbsp als Durchschnitt U P 1 P n n 1 displaystyle U P 1 cap dots cap P n quad n geq 1 nbsp von p i displaystyle p i nbsp primaren Untermoduln P i displaystyle P i nbsp Die p i displaystyle p i nbsp sind Primideale des Rings R displaystyle R nbsp Die Primarzerlegung heisst reduziert wenn folgendes gilt Fur i j displaystyle i neq j nbsp ist p i p j displaystyle p i neq p j nbsp j i P j P i displaystyle bigcap j neq i P j nsubseteq P i nbsp Bei einer reduzierten Primarzerlegung werden die P i displaystyle P i nbsp auch als Primarkomponenten bezeichnet Existenz BearbeitenIst M displaystyle M nbsp ein endlich erzeugter Modul uber einem noetherschem Ring R displaystyle R nbsp so besitzt jeder echte Untermodul U displaystyle U nbsp von M displaystyle M nbsp aufgrund von noetherscher Induktion eine Zerlegung in irreduzible Untermoduln 1 Da irreduzible Untermoduln von endlich erzeugten Modul uber einem noetherschen Ring aber bereits primar sind 2 ist die Zerlegung in irreduzible Untermoduln bereits eine Primarzerlegung Ersetzt man nun alle zum selben Primideal primaren Komponenten durch deren Schnitt der selbst primar ist 3 und lasst alle nicht benotigten Komponenten weg so erhalt man eine reduzierte Primarzerlegung Insbesondere besitzt jedes Ideal I displaystyle I nbsp als Untermodul von R displaystyle R nbsp eine Zerlegung in primare Ideale Eindeutigkeit BearbeitenIst U displaystyle U nbsp ein Untermodul von einem Modul M displaystyle M nbsp uber einem noetherschen Ring R displaystyle R nbsp und U P 1 P n displaystyle U P 1 cap dots cap P n nbsp eine reduzierte Primarzerlegung in p i displaystyle p i nbsp primare Untermoduln so ist p 1 p n A s s M U displaystyle p 1 dots p n Ass M U nbsp A s s M U displaystyle Ass M U nbsp ist die Menge der assoziierten Primideale von M U displaystyle M U nbsp Insbesondere ist die Menge der bei einer reduzierten Primarzerlegung auftretenden Primideale eindeutig festgelegt Ist p i displaystyle p i nbsp ein minimales Element der Menge p 1 p n displaystyle p 1 dots p n nbsp so ist P i displaystyle P i nbsp gleich R p i U displaystyle R p i cdot U nbsp Die zu minimalen Elementen von A s s M U displaystyle Ass M U nbsp gehorigen Primarkomponenten sind durch M displaystyle M nbsp und U displaystyle U nbsp eindeutig festgelegt Gehort eine Primarkomponente P i displaystyle P i nbsp nicht zu einem minimalen Element von A s s M U displaystyle Ass M U nbsp so wird P i displaystyle P i nbsp eine eingebettete Primarkomponente genannt Diese sind nicht unbedingt eindeutig siehe unten Satz von Lasker Noether BearbeitenDie Existenz und Eindeutigkeitsaussagen der Primarzerlegung in noetherschen Ringen nennt man auch Satz von Lasker Noether Er lautet Jedes Ideal I R displaystyle I subset R nbsp eines noetherschen Ringes R displaystyle R nbsp gestattet eine reduzierte Primarzerlegung I P 1 P n displaystyle I P 1 cap ldots cap P n nbsp Die Primradikale p i displaystyle p i nbsp der P i displaystyle P i nbsp sind eindeutig bestimmt es handelt sich genau um die Primideale der Form I x r R r x I displaystyle I x r in R rx in I nbsp wobei x displaystyle x nbsp alle Elemente aus R displaystyle R nbsp durchlauft Dieser Satz wurde zunachst von Emanuel Lasker der vor allem als Schachweltmeister bekannt ist fur Polynomringe K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp uber einem Korper bewiesen Emmy Noether hat dann erkannt dass sich die Argumente auf die aufsteigende Kettenbedingung zuruckfuhren lassen und daher allgemeiner fur noethersche Ringe gelten Das erklart die Benennung dieses Satzes 4 Die Verallgemeinerung auf endlich erzeugte Moduln uber einem noetherschen Ring ist dann Routine Satze BearbeitenIst S displaystyle S nbsp eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge eines Ringes R displaystyle R nbsp und U 1 i n P i displaystyle U bigcap 1 leq i leq n P i nbsp eine reduzierte Primarzerlegung eines Untermoduls U M displaystyle U subset M nbsp mit p i displaystyle p i nbsp primaren Untermoduln P i displaystyle P i nbsp von M displaystyle M nbsp so ist U S p i S P i S displaystyle U S bigcap p i cap S emptyset P i S nbsp eine reduzierte Primardarstellung von U S displaystyle U S nbsp Beispiele BearbeitenIn den ganzen Zahlen Bearbeiten Ist zum Beispiel in den ganzen Zahlen k p 1 n 1 p n n i displaystyle k p 1 n 1 cdot dots cdot p n n i nbsp mit Primzahlen p i displaystyle p i nbsp so ist die Primarzerlegung des von k displaystyle k nbsp erzeugten Hauptideals k p 1 n 1 p n n i displaystyle k p 1 n 1 cap dots cap p n n i nbsp In einem Koordinatenring Bearbeiten Ist K displaystyle K nbsp ein Korper so hat das Ideal I x 2 x y K x y displaystyle I x 2 xy subset K x y nbsp die Primarzerlegungen I x x y 2 x x 2 y displaystyle I x cap x y 2 x cap x 2 y nbsp x y 2 displaystyle x y 2 nbsp ist als Potenz eines maximalen Ideals primar im Ring K x y x 2 y displaystyle K x y x 2 y nbsp ist jeder Nullteiler nilpotent daher ist das Ideal x 2 y displaystyle x 2 y nbsp auch primar Sowohl x y 2 displaystyle x y 2 nbsp als auch x 2 y displaystyle x 2 y nbsp sind x y displaystyle x y nbsp primar Dieses Beispiel zeigt dass die Primarzerlegung selbst nicht eindeutig ist wohl aber die assoziierten Primideale Literatur BearbeitenErnst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Atiyah Macdonald Introduction to Commutative Algebra Addison Wesley 1969 ISBN 0 2010 0361 9Einzelnachweise Bearbeiten Ernst Kunz Einfuhrung in die algebraische Geometrie Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1997 Satz C 32 S 235 Ernst Kunz Einfuhrung in die algebraische Geometrie Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1997 Satz C 30 S 235 Ernst Kunz Einfuhrung in die algebraische Geometrie Vieweg Braunschweig Wiesbaden 1997 Korollar C 28 S 234 O Zariski P Samuel Commutative Algebra I Springer Verlag 1975 ISBN 3 540 90089 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primarzerlegung amp oldid 223010568 Satz von Lasker Noether