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Satz von Cramér Normalverteilung Der Satz von Cramér nach dem schwedischen Mathematiker Harald Cramér ist die Umkehrung

Satz von Cramér (Normalverteilung)

Der Satz von Cramér (nach dem schwedischen Mathematiker Harald Cramér) ist die Umkehrung der bekannten Aussage, dass die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist.

Satz von Cramér Bearbeiten

Ist eine normalverteilte Zufallsvariable die Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen und , dann sind die Summanden und ebenfalls normalverteilt. Eine normalverteilte Zufallsvariable lässt sich also nur in normalverteilte unabhängige Summanden zerlegen.

Man beachte dazu auch die „Gegenaussage“ des zentralen Grenzwertsatzes, nach dem die Summe einer großen Anzahl von unabhängigen nicht notwendig normalverteilten Summanden annähernd normalverteilt ist.

Der Satz von Cramér hat eine gewisse Stabilität gegenüber kleinen Abweichungen: Ist die Summe (in einem bestimmten Sinne) annähernd normalverteilt, dann sind es auch die Summanden.

Der Satz wurde ursprünglich von Paul Lévy formuliert, aber erst kurz danach von Harald Cramér bewiesen. Er wird deshalb manchmal auch als Satz von Lévy-Cramér bezeichnet, was aber zu Verwechslungen mit anderen Sätzen dieses Namens führen kann.

Beweisskizze Bearbeiten

Der Beweis lässt sich elegant durch Anwendung analytischer Eigenschaften charakteristischer Funktionen führen: Aus der Zerlegung folgt für die zugehörigen charakteristischen Funktionen . Die Funktion ist eine ganze Funktion der Wachstumsordnung 2 ohne Nullstellen, deshalb sind die Faktoren ebenfalls ganze Funktionen mit einer Wachstumsordnung höchstens 2. Daraus folgt (am Beispiel des ersten Faktors) die Darstellung . Aus elementaren Eigenschaften charakteristischer Funktionen folgt daraus schließlich die Darstellung , so dass die charakteristische Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern und ist.

Diese Beweisskizze demonstriert das Zusammenwirken unterschiedlicher mathematischer Disziplinen, hier der Stochastik und der klassischen Funktionentheorie.

Literatur Bearbeiten

  • Eugene Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960. 2. Auflage 1970, ISBN 0-852-64170-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Paul Lévy: Propriétés asymptotiques des sommes de variables aléatoires indépendantes ou enchaînées. In: J. Math. Pures Appl. 14, 1935, S. 347–402.
  2. Harald Cramér: Ueber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion. In: Math. Z. 41, 1936, S. 405–414.
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Der Satz von Cramer nach dem schwedischen Mathematiker Harald Cramer ist die Umkehrung der bekannten Aussage dass die Summe unabhangiger normalverteilter Zufallsvariablen wieder normalverteilt ist Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Cramer 2 Beweisskizze 3 Literatur 4 EinzelnachweiseSatz von Cramer BearbeitenIst eine normalverteilte Zufallsvariable X displaystyle X nbsp die Summe von zwei unabhangigen Zufallsvariablen X 1 displaystyle X 1 nbsp und X 2 displaystyle X 2 nbsp dann sind die Summanden X 1 displaystyle X 1 nbsp und X 2 displaystyle X 2 nbsp ebenfalls normalverteilt Eine normalverteilte Zufallsvariable lasst sich also nur in normalverteilte unabhangige Summanden zerlegen Man beachte dazu auch die Gegenaussage des zentralen Grenzwertsatzes nach dem die Summe einer grossen Anzahl von unabhangigen nicht notwendig normalverteilten Summanden annahernd normalverteilt ist Der Satz von Cramer hat eine gewisse Stabilitat gegenuber kleinen Abweichungen Ist die Summe X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp in einem bestimmten Sinne annahernd normalverteilt dann sind es auch die Summanden Der Satz wurde ursprunglich von Paul Levy formuliert 1 aber erst kurz danach von Harald Cramer bewiesen 2 Er wird deshalb manchmal auch als Satz von Levy Cramer bezeichnet was aber zu Verwechslungen mit anderen Satzen dieses Namens fuhren kann Beweisskizze BearbeitenDer Beweis lasst sich elegant durch Anwendung analytischer Eigenschaften charakteristischer Funktionen fuhren Aus der Zerlegung X X 1 X 2 displaystyle X X 1 X 2 nbsp folgt fur die zugehorigen charakteristischen Funktionen f t f 1 t f 2 t displaystyle varphi t varphi 1 t cdot varphi 2 t nbsp Die Funktion f displaystyle varphi nbsp ist eine ganze Funktion der Wachstumsordnung 2 ohne Nullstellen deshalb sind die Faktoren f 1 f 2 displaystyle varphi 1 varphi 2 nbsp ebenfalls ganze Funktionen mit einer Wachstumsordnung hochstens 2 Daraus folgt am Beispiel des ersten Faktors die Darstellung f 1 t exp a 0 a 1 t a 2 t 2 displaystyle varphi 1 t exp a 0 a 1 cdot t a 2 cdot t 2 nbsp Aus elementaren Eigenschaften charakteristischer Funktionen folgt daraus schliesslich die Darstellung f 1 t exp i a 1 t a 2 t 2 displaystyle varphi 1 t exp mathrm i a 1 t a 2 t 2 nbsp so dass f 1 displaystyle varphi 1 nbsp die charakteristische Funktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern m a 1 displaystyle mu a 1 nbsp und s 2 2 a 2 displaystyle sigma 2 2 cdot a 2 nbsp ist Diese Beweisskizze demonstriert das Zusammenwirken unterschiedlicher mathematischer Disziplinen hier der Stochastik und der klassischen Funktionentheorie Literatur BearbeitenEugene Lukacs Characteristic functions Griffin London 1960 2 Auflage 1970 ISBN 0 852 64170 2 Einzelnachweise Bearbeiten Paul Levy Proprietes asymptotiques des sommes de variables aleatoires independantes ou enchainees In J Math Pures Appl 14 1935 S 347 402 Harald Cramer Ueber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfunktion In Math Z 41 1936 S 405 414 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cramer Normalverteilung amp oldid 197630396