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Satz von Bloch Der ist eine Aussage der Funktionentheorie die 1925 von dem französischen Mathematiker André Bloch bewies

Satz von Bloch

Der Satz von Bloch ist eine Aussage der Funktionentheorie, die 1925 von dem französischen Mathematiker André Bloch bewiesen wurde. Der Satz gibt eine Grenze für die Komplexität des Bildgebiets holomorpher Funktionen an.

Motivation Bearbeiten

Es sei ein Gebiet. Dann ist eine nicht-konstante holomorphe Funktion eine offene Abbildung, was bedeutet, dass für jeden Bildpunkt eine Kreisscheibe existiert, die im Bild liegt. Der Satz von Bloch verschärft diese Aussage dahingehend, dass (bis auf Normierung) unabhängig von der Funktion eine Kreisscheibe bestimmter Größe im Bildgebiet liegt.

Aussage Bearbeiten

Wenn die Einheitskreisscheibe und eine holomorphe Funktion mit ist, dann enthält das Bildgebiet eine Kreisscheibe vom Radius

Konsequenzen Bearbeiten

  • Es sei ein Gebiet und holomorph mit für ein . Dann enthält eine Kreisscheibe vom Radius mit
  • Eine nicht-konstante ganze (auf ganz holomorphe) Funktion enthält Kreisscheiben beliebig großer Radien. Die Mittelpunkte der Kreise sind aber je nach Radius verschieden, es wird also nicht immer ganz überdeckt, zum Beispiel ist
  • Der Kleine Satz von Picard lässt sich mit Hilfe des Satzes von Bloch beweisen, wenn man nicht auf die Ergebnisse der Uniformisierungstheorie zurückgreifen will.

Landausche Konstante Bearbeiten

Der Satz von Bloch gibt eine untere Schranke für den Radius an. Es stellt sich die Frage nach der optimalen Konstante, also danach, welches die größte Kreisscheibe ist, die in jedem Fall Platz findet. Dazu sei für das Supremum aller möglichen Radien von Kreisscheiben, die in Platz finden, definiert:

Die landausche Konstante ist dann definiert als

Die genaue Größe der Konstante ist nicht bekannt, jedoch gibt es die folgenden Abschätzungen:

wobei die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.

Die obere Grenze fanden Raphael Robinson 1937 (unveröffentlicht) und Hans Rademacher 1942, der auch vermutete, dass die obere Schranke dem tatsächlichen Wert der landauschen Konstante entspricht. Diese Vermutung ist bis heute ein offenes Problem.

Blochsche Konstante Bearbeiten

Die Bedingung im Satz von Bloch impliziert gemäß dem Satz über implizite Funktionen, dass ein nicht näher bestimmtes Gebiet sogar biholomorph auf sein Bild abgebildet wird. Deshalb ist es naheliegend, die gleiche Fragestellung mit der zusätzlichen Bedingung, die im Bildgebiet Platz findende Kreisscheibe müsse biholomorphes Bild eines Gebietes sein, ebenfalls zu untersuchen.

Bloch selbst erzielte die Abschätzung

Es sei für das Supremum aller möglichen Radien von Kreisscheiben in , die biholomorphes Bild eines Teilgebietes von sind, definiert:

Die blochsche Konstante ist dann definiert als

Der genaue Wert der blochschen Konstante ist ebenfalls nicht bekannt, gefunden wurden bisher die Abschätzungen

wobei die lemniskatische Konstante bezeichnet.

Die obere Grenze fanden L. V. Ahlfors und H. Grunsky 1937. Sie vermuteten zudem, dass diese Grenze dem tatsächlichen Wert der blochschen Konstante entspricht. Auch diese Vermutung konnte bisher nicht bewiesen werden.

Literatur Bearbeiten

  • André Bloch: Les théorèmes de M. Valiron sur les fonctions entières et la théorie de l’uniformisation. Annales de la faculté des sciences de l’université de Toulouse 3e série 17, 1925, S. 1–22 (bei Numdam: [1])
  • Edmund Landau: Über die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten (22. März 1929), Mathematische Zeitschrift 30, Dezember 1929, S. 608–634 („“ auf S. 611, „“ auf S. 614; beim GDZ: [2])
  • Lars V. Ahlfors, Helmut Grunsky: Über die Blochsche Konstante (9. Dezember 1936), Mathematische Zeitschrift 42, Dezember 1937, S. 671–673 (beim GDZ: [3])
  • Lars V. Ahlfors: An extension of Schwarz’s lemma (1. April 1937), Transactions of the AMS 43, Mai 1938, S. 359–364 (englisch; „B≥31/2/4“ und „L≥1/2“ auf S. 364; bei der AMS: [4])
  • Hans Rademacher: On the Bloch-Landau constant (21. März 1942), American Journal of Mathematics 65, Juli 1943, S. 387–390 (englisch; bei Google Books: [5])
  • Albert Baernstein II, Jade P. Vinson: Local minimality results related to the Bloch and Landau constants, in Peter Duren, Juha Heinonen, Brad Osgood, Bruce Palka (Hrsg.): Quasiconformal mappings and analysis. A collection of papers honoring F. W. Gehring, Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98299-X, S. 55–89 (englisch; bei Google Books: [6])
  • Steven R. Finch: Mathematical Constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 456
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, 2006, ISBN 3-540-40432-5

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Bloch ist eine Aussage der Funktionentheorie die 1925 von dem franzosischen Mathematiker Andre Bloch bewiesen wurde Der Satz gibt eine Grenze fur die Komplexitat des Bildgebiets holomorpher Funktionen an Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Aussage 3 Konsequenzen 4 Landausche Konstante 5 Blochsche Konstante 6 Literatur 7 WeblinksMotivation BearbeitenEs sei G C displaystyle G subseteq mathbb C nbsp ein Gebiet Dann ist eine nicht konstante holomorphe Funktion f G C displaystyle f colon G rightarrow mathbb C nbsp eine offene Abbildung was bedeutet dass fur jeden Bildpunkt eine Kreisscheibe existiert die im Bild f G displaystyle f G nbsp liegt Der Satz von Bloch verscharft diese Aussage dahingehend dass bis auf Normierung unabhangig von der Funktion eine Kreisscheibe bestimmter Grosse im Bildgebiet liegt Aussage BearbeitenWenn E z C z lt 1 displaystyle mathbb E left z in mathbb C mid z lt 1 right nbsp die Einheitskreisscheibe und f E C displaystyle f colon overline mathbb E rightarrow mathbb C nbsp eine holomorphe Funktion mit f 0 1 displaystyle f prime 0 1 nbsp ist dann enthalt das Bildgebiet f E displaystyle f mathbb E nbsp eine Kreisscheibe vom Radius r gt 1 12 displaystyle r gt tfrac 1 12 nbsp Konsequenzen BearbeitenEs sei G C displaystyle G subseteq mathbb C nbsp ein Gebiet und f G C displaystyle f colon G rightarrow mathbb C nbsp holomorph mit f c 0 displaystyle f prime c neq 0 nbsp fur ein c G displaystyle c in G nbsp Dann enthalt f G displaystyle f G nbsp eine Kreisscheibe vom Radius 1 12 r f c displaystyle tfrac 1 12 rho f prime c nbsp mit r lt dist c G displaystyle rho lt operatorname dist c partial G nbsp Eine nicht konstante ganze auf ganz C displaystyle mathbb C nbsp holomorphe Funktion enthalt Kreisscheiben beliebig grosser Radien Die Mittelpunkte der Kreise sind aber je nach Radius verschieden es wird also nicht immer ganz C displaystyle mathbb C nbsp uberdeckt zum Beispiel ist exp C C 0 displaystyle exp mathbb C mathbb C setminus 0 nbsp Der Kleine Satz von Picard lasst sich mit Hilfe des Satzes von Bloch beweisen wenn man nicht auf die Ergebnisse der Uniformisierungstheorie zuruckgreifen will Landausche Konstante BearbeitenDer Satz von Bloch gibt eine untere Schranke fur den Radius r displaystyle r nbsp an Es stellt sich die Frage nach der optimalen Konstante also danach welches die grosste Kreisscheibe ist die in jedem Fall Platz findet Dazu sei fur f E C displaystyle f colon overline mathbb E rightarrow mathbb C nbsp das Supremum aller moglichen Radien von Kreisscheiben die in f E displaystyle f mathbb E nbsp Platz finden definiert ℓ f sup r R w f E so dass B w r f E displaystyle ell f sup left r in mathbb R mid exists w in f mathbb E text so dass B w r subseteq f mathbb E right nbsp Die landausche Konstante L displaystyle mathfrak L nbsp ist dann definiert als L inf ℓ f f E C holomorph mit f 0 1 displaystyle mathfrak L inf left ell f mid f colon overline mathbb E rightarrow mathbb C text holomorph mit f prime 0 1 right nbsp Die genaue Grosse der Konstante ist nicht bekannt jedoch gibt es die folgenden Abschatzungen 1 2 10 335 lt L G 1 3 G 5 6 G 1 6 0 543 25 89653 42976 70695 displaystyle frac 1 2 10 335 lt mathfrak L leq frac Gamma 1 3 cdot Gamma 5 6 Gamma 1 6 0 54325 89653 42976 70695 dots nbsp Folge A081760 in OEIS wobei G displaystyle Gamma nbsp die Eulersche Gammafunktion bezeichnet Die obere Grenze fanden Raphael Robinson 1937 unveroffentlicht und Hans Rademacher 1942 der auch vermutete dass die obere Schranke dem tatsachlichen Wert der landauschen Konstante entspricht Diese Vermutung ist bis heute ein offenes Problem Blochsche Konstante BearbeitenDie Bedingung f 0 1 displaystyle f prime 0 1 nbsp im Satz von Bloch impliziert gemass dem Satz uber implizite Funktionen dass ein nicht naher bestimmtes Gebiet sogar biholomorph auf sein Bild abgebildet wird Deshalb ist es naheliegend die gleiche Fragestellung mit der zusatzlichen Bedingung die im Bildgebiet Platz findende Kreisscheibe musse biholomorphes Bild eines Gebietes sein ebenfalls zu untersuchen Bloch selbst erzielte die Abschatzung r gt 1 72 displaystyle r gt tfrac 1 72 nbsp Es sei fur f E C displaystyle f colon overline mathbb E rightarrow mathbb C nbsp das Supremum aller moglichen Radien von Kreisscheiben in f E displaystyle f mathbb E nbsp die biholomorphes Bild eines Teilgebietes von E displaystyle mathbb E nbsp sind definiert b f sup r R S E w f E f S B w r und f S biholomorph displaystyle b f sup left r in mathbb R mid exists S subseteq mathbb E w in f mathbb E colon f S B w r text und f S text biholomorph right nbsp Die blochsche Konstante B displaystyle mathfrak B nbsp ist dann definiert als B inf b f f E C holomorph mit f 0 1 displaystyle mathfrak B inf left b f mid f colon overline mathbb E rightarrow mathbb C text holomorph mit f prime 0 1 right nbsp Der genaue Wert der blochschen Konstante ist ebenfalls nicht bekannt gefunden wurden bisher die Abschatzungen 3 4 2 10 4 lt B G 1 3 G 11 12 G 1 4 1 3 p 12 3 8 ϖ 0 471 86 16534 52681 78487 displaystyle frac sqrt 3 4 2 cdot 10 4 lt mathfrak B leq frac Gamma 1 3 cdot Gamma 11 12 Gamma 1 4 cdot sqrt 1 sqrt 3 frac pi 12 3 8 varpi 0 47186 16534 52681 78487 dots nbsp Folge A085508 in OEIS wobei ϖ displaystyle varpi nbsp die lemniskatische Konstante bezeichnet Die obere Grenze fanden L V Ahlfors und H Grunsky 1937 Sie vermuteten zudem dass diese Grenze dem tatsachlichen Wert der blochschen Konstante entspricht Auch diese Vermutung konnte bisher nicht bewiesen werden Literatur BearbeitenAndre Bloch Les theoremes de M Valiron sur les fonctions entieres et la theorie de l uniformisation Annales de la faculte des sciences de l universite de Toulouse 3e serie 17 1925 S 1 22 bei Numdam 1 Edmund Landau Uber die Blochsche Konstante und zwei verwandte Weltkonstanten 22 Marz 1929 Mathematische Zeitschrift 30 Dezember 1929 S 608 634 L lt 9 16 displaystyle mathfrak L lt tfrac 9 16 nbsp auf S 611 L 0 43 displaystyle mathfrak L geq 0 43 nbsp auf S 614 beim GDZ 2 Lars V Ahlfors Helmut Grunsky Uber die Blochsche Konstante 9 Dezember 1936 Mathematische Zeitschrift 42 Dezember 1937 S 671 673 beim GDZ 3 Lars V Ahlfors An extension of Schwarz s lemma 1 April 1937 Transactions of the AMS 43 Mai 1938 S 359 364 englisch B 31 2 4 und L 1 2 auf S 364 bei der AMS 4 Hans Rademacher On the Bloch Landau constant 21 Marz 1942 American Journal of Mathematics 65 Juli 1943 S 387 390 englisch bei Google Books 5 Albert Baernstein II Jade P Vinson Local minimality results related to the Bloch and Landau constants in Peter Duren Juha Heinonen Brad Osgood Bruce Palka Hrsg Quasiconformal mappings and analysis A collection of papers honoring F W Gehring Springer New York 1998 ISBN 0 387 98299 X S 55 89 englisch bei Google Books 6 Steven R Finch Mathematical Constants Cambridge University Press Cambridge 2003 ISBN 0 521 81805 2 S 456 Reinhold Remmert Georg Schumacher Funktionentheorie 2 Springer 2006 ISBN 3 540 40432 5Weblinks BearbeitenA Bloch Constant for Hyperholomorphic Functions von Dominic Rochon Juni 2000 ausfuhrlicher mathematischer Text uber die blochsche Konstante englisch Eric W Weisstein Landau Constant und Bloch Constant In MathWorld englisch Folge A159671 in OEIS Kettenbruchentwicklung der landauschen Konstante Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bloch amp oldid 214955482