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Satz von Banach Mackey Der nach Stefan Banach und George Mackey ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funkt

Satz von Banach-Mackey

Der Satz von Banach-Mackey (nach Stefan Banach und George Mackey) ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er trifft eine Aussage über Beschränktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Räumen.

Banachkugeln Bearbeiten

Ist eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes, so ist ein Untervektorraum von , der durch das auf eingeschränkte Minkowski-Funktional zu einem normierten Raum wird. Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum, so nennt man eine Banachkugel.

  • Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel, wenn der normierte Raum ein Banachraum ist.
  • Im Folgenraum aller reellen Folgen ist die Menge aller Folgen mit für alle und für eine Banachkugel, denn das Minkowki-Funktional von auf ist gleich der Maximumsnorm.
  • Jede absolutkonvexe, abgeschlossene, beschränkte, folgenvollständige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel, insbesondere sind kompakte, absolutkonvexe Mengen Banachkugeln.
  • Banachkugeln können zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Räume herangezogen werden (siehe dort).

Der Satz von Banach-Mackey Bearbeiten

Eine Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes heißt schwach beschränkt, wenn das Bild unter jedem stetigen, linearen Funktional beschränkt ist. heißt stark beschränkt, wenn für alle Teilmengen des Dualraums, für die für alle gilt.

Indem man für die Mengen in obiger Definition einelementige Mengen nimmt, sieht man, dass stark-beschränkte Mengen schwach-beschränkt sind. Für die Umkehrung gilt:

  • Satz von Banach-Mackey: Jede schwach-beschränkte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark-beschränkt.

Anwendungen Bearbeiten

  • Der Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach-Mackey hergeleitet werden.
  • Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe, abgeschlossene und beschränkte Menge eine Banachkugel, so ist dieser Raum bereits tonneliert. Insbesondere sind alle folgenvollständigen, quasitonnelierten Räume bereits tonneliert.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Corollar 23.14
  2. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.12
  3. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.15
  4. R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8, Satz 23.20+23.21
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Der Satz von Banach Mackey nach Stefan Banach und George Mackey ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis Er trifft eine Aussage uber Beschranktheitseigenschaften gewisser Mengen in lokalkonvexen Raumen Inhaltsverzeichnis 1 Banachkugeln 2 Der Satz von Banach Mackey 3 Anwendungen 4 EinzelnachweiseBanachkugeln BearbeitenIst B E displaystyle B subset E nbsp eine absolutkonvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Raumes so ist E B t gt 0 t B displaystyle textstyle E B bigcup t gt 0 tB nbsp ein Untervektorraum von E displaystyle E nbsp der durch das auf E B displaystyle E B nbsp eingeschrankte Minkowski Funktional zu einem normierten Raum wird Ist dieser normierte Raum sogar ein Banachraum so nennt man B displaystyle B nbsp eine Banachkugel Die Einheitskugel eines normierten Raumes ist genau dann eine Banachkugel wenn der normierte Raum E B displaystyle E B nbsp ein Banachraum ist Im Folgenraum w displaystyle omega nbsp aller reellen Folgen ist die Menge B displaystyle B nbsp aller Folgen x i i displaystyle x i i nbsp mit x i 0 displaystyle x i 0 nbsp fur alle i gt n displaystyle i gt n nbsp und x i 1 displaystyle x i leq 1 nbsp fur i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp eine Banachkugel denn das Minkowki Funktional von B displaystyle B nbsp auf E B R n displaystyle E B cong mathbb R n nbsp ist gleich der Maximumsnorm Jede absolutkonvexe abgeschlossene beschrankte folgenvollstandige Teilmenge eines lokalkonvexen Raums ist eine Banachkugel insbesondere sind kompakte absolutkonvexe Mengen Banachkugeln 1 Banachkugeln konnen zu einer Charakterisierung ultrabornologischer Raume herangezogen werden siehe dort Der Satz von Banach Mackey BearbeitenEine Teilmenge B E displaystyle B subset E nbsp eines lokalkonvexen Raumes heisst schwach beschrankt wenn das Bild unter jedem stetigen linearen Funktional beschrankt ist B displaystyle B nbsp heisst stark beschrankt wenn sup f x x B f M lt displaystyle sup f x x in B f in M lt infty nbsp fur alle Teilmengen M E displaystyle M subset E nbsp des Dualraums fur die sup f x f M lt displaystyle sup f x f in M lt infty nbsp fur alle x E displaystyle x in E nbsp gilt Indem man fur die Mengen M displaystyle M nbsp in obiger Definition einelementige Mengen nimmt sieht man dass stark beschrankte Mengen schwach beschrankt sind Fur die Umkehrung gilt Satz von Banach Mackey 2 Jede schwach beschrankte Banachkugel in einem lokalkonvexen Raum ist stark beschrankt Anwendungen BearbeitenDer Satz von Mackey kann aus dem Satz von Banach Mackey hergeleitet werden 3 Ist in einem quasitonnelierten Raum jede absolutkonvexe abgeschlossene und beschrankte Menge eine Banachkugel so ist dieser Raum bereits tonneliert Insbesondere sind alle folgenvollstandigen quasitonnelierten Raume bereits tonneliert 4 Einzelnachweise Bearbeiten R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Corollar 23 14 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Satz 23 12 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Satz 23 15 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 Satz 23 20 23 21 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Banach Mackey amp oldid 184023367