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SIS Modell Als SIS Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie

SIS-Modell

Als SIS-Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen semi-realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitätsbildung. Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen. Ein einführender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie.

Voraussetzungen Bearbeiten

Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden über.

Beim SIS-Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden: Zum Zeitpunkt   bezeichnet die Anzahl der Gesunden (susceptible individuals) und die Zahl der Infizierten (infectious individuals). Weiterhin sei  die Gesamtzahl der Individuen. Das SIS-Modell kann dann für Krankheiten verwendet werden, die folgende Eigenschaften aufweisen:

  • Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden über und kann erneut angesteckt werden.
  • Infizierte sind sofort ansteckend.
  • Gesunde erkranken mit der linearen Rate .
  • Infizierte genesen mit der linearen Rate .
  • Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit. Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhänge.
  • Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich, also .

Differentialgleichungen des SIS-Modells Bearbeiten

Die Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewöhnlichen Differentialgleichungen formuliert:

Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden.
Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgröße:

Wegen lässt sich das SIS-Modell vollständig durch

beschreiben. Definiere , wodurch sich die DGL als schreiben lässt.

Lösungen der Differentialgleichung Bearbeiten

Durch Trennung der Variablen folgt: , woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion mit der Anfangsbedingung folgt:

Die Zahl der Gesunden folgt durch aus der Lösung für .

Analyse der DGLs durch dimensionslose Größen Bearbeiten

Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Größen über:

Die Änderung kann nach oben abgeschätzt werden durch: .

Diese vereinfachte Differentialgleichung führt für r < 1 auf einen exponentiellen Abfall, damit verschwindet die Krankheit vollständig aus der Population. Für r > 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt angestrebt. Die Krankheit bleibt verbreitet.

Abgrenzungen zu weiteren Modellen Bearbeiten

Neben dem SIS-Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle, die mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden können. Das sind insbesondere die folgenden:

  • Das SIS-Modell stellt eine Erweiterung zum SI-Modell dar, bei dem Individuen nicht gesunden können.
  • Eine alternative Erweiterung ist das SIR-Modell, bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Nicholas F. Britton: Essential Mathematical Biology. Springer
  • Sebastian Möhler: Ausbreitung von Infektionskrankheiten. (tu-Freiburg [PDF; abgerufen am 12. März 2020]).
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Veröffentlichungsdatum:
Als SIS Model bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie einen semi realistischen Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten ohne Immunitatsbildung Dieser Artikel benutzt die Differentialgleichungen Ein einfuhrender Artikel mit elementarer Mathematik findet sich bei Mathematische Modellierung der Epidemiologie Inhaltsverzeichnis 1 Voraussetzungen 2 Differentialgleichungen des SIS Modells 2 1 Losungen der Differentialgleichung 2 2 Analyse der DGLs durch dimensionslose Grossen 3 Abgrenzungen zu weiteren Modellen 4 Siehe auch 5 LiteraturVoraussetzungen Bearbeiten nbsp Infizierte gehen nach Genesung wieder in die Gruppe der Gesunden uber Beim SIS Modell werden zwei Gruppen von Individuen unterschieden Zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp bezeichnet S t displaystyle S t nbsp die Anzahl der Gesunden susceptible individuals und I t displaystyle I t nbsp die Zahl der Infizierten infectious individuals Weiterhin sei N displaystyle N nbsp die Gesamtzahl der Individuen Das SIS Modell kann dann fur Krankheiten verwendet werden die folgende Eigenschaften aufweisen Jedes Individuum geht nach der Heilung der Krankheit sofort wieder in die Gruppe der Gesunden uber und kann erneut angesteckt werden Infizierte sind sofort ansteckend Gesunde erkranken mit der linearen Rate c displaystyle c nbsp Infizierte genesen mit der linearen Rate w displaystyle omega nbsp Jede Gruppe interagiert miteinander mit derselben Wahrscheinlichkeit Dies rechtfertigt die Annahme linearer Zusammenhange Alle Parameter bleiben im biologisch sinnvollen Bereich also S t I t 0 displaystyle S t I t in 0 infty nbsp Differentialgleichungen des SIS Modells BearbeitenDie Ausbreitung der betrachteten Krankheit wird meist in Form von gewohnlichen Differentialgleichungen formuliert nbsp Verlauf der Zahl der Infizierten und Gesunden d S d t c I S w I d I d t c I S w I displaystyle begin aligned frac mathrm d S mathrm d t amp cIS omega I frac mathrm d I mathrm d t amp cIS omega I end aligned nbsp Aus den Gleichungen folgt die Erhaltung der Populationsgrosse d N d t d I d t d S d t 0 N I t S t const displaystyle frac mathrm d N mathrm d t frac mathrm d I mathrm d t frac mathrm d S mathrm d t 0 Rightarrow N I t S t text const nbsp Wegen S t N I t displaystyle S t N I t nbsp lasst sich das SIS Modell vollstandig durchd I d t c I N I w I c N w I c I 2 displaystyle frac mathrm d I mathrm d t cI N I omega I cN omega I cI 2 nbsp beschreiben Definiere A c N w displaystyle A cN omega nbsp wodurch sich die DGL als d I d t A c I I displaystyle frac mathrm d I mathrm d t A cI I nbsp schreiben lasst Losungen der Differentialgleichung Bearbeiten Durch Trennung der Variablen folgt d I A c I I d t displaystyle frac mathrm d I A cI I mathrm d t nbsp woraus durch eine einfache Partialbruchzerlegung und Integration die Funktion I t displaystyle I t nbsp mit der Anfangsbedingung I 0 I 0 gt 0 displaystyle I 0 I 0 gt 0 nbsp folgt I t A I 0 e A t A c I 0 e A t 1 displaystyle I t frac AI 0 e At A cI 0 left e At 1 right nbsp Die Zahl der Gesunden S t displaystyle S t nbsp folgt durch S t N I t displaystyle S t N I t nbsp aus der Losung fur I t displaystyle I t nbsp Analyse der DGLs durch dimensionslose Grossen Bearbeiten Zur Vereinfachung der Analyse geht man zu dimensionslosen Grossen uber u 1 S N u 2 I N 8 w t r c N w displaystyle u 1 frac S N u 2 frac I N theta omega t r frac cN omega nbsp d u 1 d 8 r u 1 u 2 u 2 d u 2 d 8 r u 1 u 2 u 2 displaystyle begin aligned frac du 1 d theta amp ru 1 u 2 u 2 frac du 2 d theta amp ru 1 u 2 u 2 end aligned nbsp Die Anderung d u 2 d 8 displaystyle frac du 2 d theta nbsp kann nach oben abgeschatzt werden durch d u 2 d 8 r u 2 u 2 r 1 u 2 displaystyle frac du 2 d theta ru 2 u 2 r 1 u 2 nbsp Diese vereinfachte Differentialgleichung fuhrt fur r lt 1 auf einen exponentiellen Abfall damit verschwindet die Krankheit vollstandig aus der Population Fur r gt 1 wird auf lange Sicht der Fixpunkt 1 r 1 1 r displaystyle frac 1 r 1 frac 1 r nbsp angestrebt Die Krankheit bleibt verbreitet Abgrenzungen zu weiteren Modellen BearbeitenNeben dem SIS Modell gibt es in der Epidemiologie weitere einfache Modelle die mit gewohnlichen Differentialgleichungen beschrieben werden konnen Das sind insbesondere die folgenden Das SIS Modell stellt eine Erweiterung zum SI Modell dar bei dem Individuen nicht gesunden konnen Eine alternative Erweiterung ist das SIR Modell bei dem Individuen immun gegen die Krankheit werden Siehe auch BearbeitenSI Modell Ansteckung ohne Gesundung SIR Modell Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitatsbildung SEIR Modell Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten mit Immunitatsbildung bei denen Infizierte nicht sofort infektios sind Basisreproduktionszahl Dynamisches System mathematischer Oberbegriff Literatur BearbeitenNicholas F Britton Essential Mathematical Biology Springer Sebastian Mohler Ausbreitung von Infektionskrankheiten tu Freiburg PDF abgerufen am 12 Marz 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title SIS Modell amp oldid 198326418