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Robuste Schätzverfahren Robustes Schätzverfahren ist ein Begriff der schließenden Statistik Ein Schätzverfahren oder Tes

Robuste Schätzverfahren

Robustes Schätzverfahren ist ein Begriff der schließenden Statistik. Ein Schätzverfahren oder Testverfahren heißt robust, wenn es nicht sensibel auf Ausreißer (Werte außerhalb eines aufgrund einer Verteilung erwarteten Wertebereiches) reagiert.

Die klassischen Schätzmethoden, die in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts entwickelt wurden, tendieren häufig dazu, bei Vorliegen von Ausreißern in der Stichprobe irreführende Ergebnisse zu liefern. Ein robustes Schätzverfahren orientiert sich deshalb an der Masse der Daten und integriert eine Ausreißeranalyse, um den Einfluss von Modellabweichungen zu reduzieren und ihn bei zunehmender Devianz gegen Null streben zu lassen.

Die Entwicklung robuster Schätzer zur Effizienzsteigerung von Schätzverfahren ist seit den 1980er Jahren ein wichtiges Forschungsanliegen in der mathematischen Statistik. Zu den robusten Verfahren gehören zum Beispiel der RANSAC-Algorithmus und Verfahren, die eine hohe Bruchpunktresistenz aufweisen.

Beispiel Bearbeiten

Ein einfaches robustes Schätzverfahren stellt der (empirische) Median dar, den man anstelle des arithmetischen Mittels verwenden kann, um den Erwartungswert einer symmetrischen Verteilung zu schätzen. Den empirischen Median erhält man, indem man die Beobachtungen der Größe nach sortiert und dann den der Reihenfolge nach mittleren Beobachtungswert als Schätzwert wählt. Ein Beispiel: Es wird eine gewisse Zahl von Messungen durchgeführt, um eine physikalische Größe (etwa die Gravitationskonstante) experimentell zu bestimmen. Man nimmt an, dass die auftretenden Messfehler unsystematisch sind und in beide Richtungen gehen können, die Messwerte also mal zu groß, mal zu klein sind – präziser bzw. formal ausgedrückt, handelt es sich um unabhängige und identisch verteilte Beobachtungen mit symmetrischer Verteilung und dem wahren Wert der zu bestimmenden Größe als Erwartungswert. Es gibt nun gelegentlich einzelne Messwerte, die deutlich von den übrigen abweichen („Ausreißer“, die oben beschriebenen Modellabweichungen); sie sind in der Regel auf Fehler bei der Durchführung des Experiments zurückzuführen („Verwackeln“ der Apparatur, „Verschreiben“ o. ä.). Obwohl extreme Abweichungen eher auf einen Fehler hindeuten und daher solche Beobachtungen eher weniger Einfluss auf das Ergebnis haben sollten, beeinflussen sie das arithmetische Mittel stark; der Einfluss wird sogar umso größer, je deutlicher die Abweichung ist. Der Median hingegen ist gegen solche Ausreißer unempfindlich, also „robust“. Sofern keine Ausreißer vorliegen, liefert er allerdings bei gleicher Zahl von Messwerten im Allgemeinen eine ungenauere Schätzung, da „im Kleinen“ der Schätzwert nur durch eine einzige – nämlich die mittlere – Beobachtung bestimmt wird.

Der Erwartungswert einer t-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden wird durch eine Stichprobe der Größe 10 geschätzt.

Bei normalverteilten Zufallsvariablen sind Ausreißer eher unwahrscheinlich und der arithmetische Mittelwert liefert eine gute Schätzung für den Erwartungswert. Dagegen ist bei einer t-Verteilung mit einer geringen Anzahl von Freiheitsgraden aufgrund der schweren Verteilungsschwänze die Wahrscheinlichkeit für Ausreißer deutlich erhöht. In der nebenstehenden Abbildung sind beide Schätzer erwartungstreu, aber der Median weist eine geringere Varianz auf als der arithmetische Mittelwert, was für die Robustheit des Medians gegenüber Ausreißern spricht. Mit steigender Anzahl von Freiheitsgraden konvergiert die t-Verteilung gegen die Normalverteilung und Ausreißer werden unwahrscheinlicher. In diesem Fall ist die Varianz des arithmetischen Mittelwerts geringer, weil mehr Information aus den Daten verwendet wird.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Robustes Schatzverfahren ist ein Begriff der schliessenden Statistik Ein Schatzverfahren oder Testverfahren heisst robust wenn es nicht sensibel auf Ausreisser Werte ausserhalb eines aufgrund einer Verteilung erwarteten Wertebereiches reagiert Die klassischen Schatzmethoden die in der ersten Halfte des 20 Jahrhunderts entwickelt wurden tendieren haufig dazu bei Vorliegen von Ausreissern in der Stichprobe irrefuhrende Ergebnisse zu liefern Ein robustes Schatzverfahren orientiert sich deshalb an der Masse der Daten und integriert eine Ausreisseranalyse um den Einfluss von Modellabweichungen zu reduzieren und ihn bei zunehmender Devianz gegen Null streben zu lassen Die Entwicklung robuster Schatzer zur Effizienzsteigerung von Schatzverfahren ist seit den 1980er Jahren ein wichtiges Forschungsanliegen in der mathematischen Statistik Zu den robusten Verfahren gehoren zum Beispiel der RANSAC Algorithmus und Verfahren die eine hohe Bruchpunktresistenz aufweisen Beispiel BearbeitenEin einfaches robustes Schatzverfahren stellt der empirische Median dar den man anstelle des arithmetischen Mittels verwenden kann um den Erwartungswert einer symmetrischen Verteilung zu schatzen Den empirischen Median erhalt man indem man die Beobachtungen der Grosse nach sortiert und dann den der Reihenfolge nach mittleren Beobachtungswert als Schatzwert wahlt Ein Beispiel Es wird eine gewisse Zahl von Messungen durchgefuhrt um eine physikalische Grosse etwa die Gravitationskonstante experimentell zu bestimmen Man nimmt an dass die auftretenden Messfehler unsystematisch sind und in beide Richtungen gehen konnen die Messwerte also mal zu gross mal zu klein sind praziser bzw formal ausgedruckt handelt es sich um unabhangige und identisch verteilte Beobachtungen mit symmetrischer Verteilung und dem wahren Wert der zu bestimmenden Grosse als Erwartungswert Es gibt nun gelegentlich einzelne Messwerte die deutlich von den ubrigen abweichen Ausreisser die oben beschriebenen Modellabweichungen sie sind in der Regel auf Fehler bei der Durchfuhrung des Experiments zuruckzufuhren Verwackeln der Apparatur Verschreiben o a Obwohl extreme Abweichungen eher auf einen Fehler hindeuten und daher solche Beobachtungen eher weniger Einfluss auf das Ergebnis haben sollten beeinflussen sie das arithmetische Mittel stark der Einfluss wird sogar umso grosser je deutlicher die Abweichung ist Der Median hingegen ist gegen solche Ausreisser unempfindlich also robust Sofern keine Ausreisser vorliegen liefert er allerdings bei gleicher Zahl von Messwerten im Allgemeinen eine ungenauere Schatzung da im Kleinen der Schatzwert nur durch eine einzige namlich die mittlere Beobachtung bestimmt wird nbsp Der Erwartungswert einer t Verteilung mit 2 Freiheitsgraden wird durch eine Stichprobe der Grosse 10 geschatzt Bei normalverteilten Zufallsvariablen sind Ausreisser eher unwahrscheinlich und der arithmetische Mittelwert liefert eine gute Schatzung fur den Erwartungswert Dagegen ist bei einer t Verteilung mit einer geringen Anzahl von Freiheitsgraden aufgrund der schweren Verteilungsschwanze die Wahrscheinlichkeit fur Ausreisser deutlich erhoht In der nebenstehenden Abbildung sind beide Schatzer erwartungstreu aber der Median weist eine geringere Varianz auf als der arithmetische Mittelwert was fur die Robustheit des Medians gegenuber Ausreissern spricht Mit steigender Anzahl von Freiheitsgraden konvergiert die t Verteilung gegen die Normalverteilung und Ausreisser werden unwahrscheinlicher In diesem Fall ist die Varianz des arithmetischen Mittelwerts geringer weil mehr Information aus den Daten verwendet wird Siehe auch BearbeitenWinsorisiertes Mittel M Schatzer Huber k SchatzerLiteratur BearbeitenP Huber Robust Estimation of a Location Parameter In The Annals of Mathematical Statistics 35 1964 Frank R Hampel et al Robust Statistics The Approach Based on Influence Functions Wiley New York 1986 ISBN 0 471 73577 9 Helmuth Spath Mathematische Software zur linearen Regression Oldenbourg Munchen 1987 ISBN 3 486 20375 4 Helga Bunke Olaf Bunke Nonlinear regression functional relations and robust methods Band 2 Non Linear Functional Relations and Robust Methods Wiley New York u a 1989 ISBN 0 471 91239 5 Werner Stahel Hrsg Directions in Robust Statistics and Diagnostics 2 Bande Bande 33 und 34 von The IMA Volumes in Mathematics and its Applications Springer Berlin u a 1991 ISBN 3 540 97530 6 ISBN 3 540 97531 4 Karl Rudolf Koch Parameterschatzung und Hypothesentests 3 Auflage Dummler Bonn 1997 ISBN 3 427 78923 3 David C Hoaglin Frederick Mosteller John W Tukey Understanding Robust and Exploratory Data Design Wiley New York 2000 ISBN 0 471 38491 7 Mia Hubert Hrsg Theory and Application of Recent Robust Methods Birkhauser Basel u a 2004 ISBN 3 7643 7060 2 Ricardo A Maronna Douglas R Martin Victor J Yohai Robust Statistics Theory and Methods Wiley New York u a 2006 ISBN 0 470 01092 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Robuste Schatzverfahren amp oldid 235094930