M Schatzer auch maximum likelihood artige Schatzer stellen eine Klasse von Schatzfunktionen dar die als Verallgemeinerung der Maximum Likelihood Methode angesehen werden konnen M Schatzer sind im Vergleich zu anderen Schatzern wie z B den Maximum Likelihood Schatzern robuster gegen Ausreisser Dieser Artikel behandelt M Schatzer zur Ermittlung des Lageparameters Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung durch Verallgemeinerung der Maximum Likelihood Methode 2 Implizite Definition 3 Geeignete Funktionen r 4 Robustheit 5 Numerische Losungsmethode 6 W Schatzer 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseHerleitung durch Verallgemeinerung der Maximum Likelihood Methode BearbeitenDas Prinzip von Maximum Likelihood Schatzern beruht darauf die Funktion i 1 n ln f X i x i 8 displaystyle sum i 1 n ln f X i x i Theta nbsp mit entsprechender Dichte bzw Wahrscheinlichkeitsfunktion f X x displaystyle f X x nbsp in Abhangigkeit von 8 displaystyle Theta nbsp zu minimieren Die Idee bei M Schatzern ist die Funktion ln f X i x i 8 displaystyle ln f X i x i Theta nbsp durch eine Funktion r x 8 displaystyle rho x Theta nbsp zu ersetzen welche weniger empfindlich auf Ausreisser reagiert Aufgabe ist es den Ausdruck i 1 n r x i 8 displaystyle sum i 1 n rho x i Theta nbsp in Abhangigkeit von 8 displaystyle Theta nbsp zu minimieren bzw die Gleichung ps x i 8 0 displaystyle sum psi x i Theta 0 nbsp mit ps x i 8 r 8 x i 8 displaystyle psi x i Theta frac partial rho partial Theta x i Theta nbsp zu losen Jede Losung dieser Gleichung wird M Schatzer genannt Implizite Definition BearbeitenSei F displaystyle F nbsp eine beliebige Verteilungsfunktion und ps displaystyle psi nbsp eine ungerade und monoton wachsende Funktion ungleich 0 Dann ist m ps F displaystyle mu psi F nbsp definiert als die Losung m m ps F displaystyle mu mu psi F nbsp der Gleichung E ps x m ps x m d F x 0 displaystyle operatorname E psi x mu int psi x mu dF x 0 nbsp Beachtet werden muss dass abhangig von der Wahl von ps displaystyle psi nbsp und F displaystyle F nbsp es entweder keine eine oder mehrere Losungen geben kann Im Falle einer konkreten Stichprobe wird m m ps F n displaystyle mu mu psi F n nbsp die Losung von 1 n i 1 n ps x i m ps x m d F n x 0 displaystyle frac 1 n sum i 1 n psi x i mu int psi x mu dF n x 0 nbsp M Schatzer genannt Geeignete Funktionen r BearbeitenIm Folgenden sind die x i displaystyle x i nbsp gemass z i x i 8 S n displaystyle z i frac x i Theta S n nbsp standardisiert um Skaleninvarianz zu erreichen S n displaystyle S n nbsp stellt hierbei einen Streuungschatzer dar fur den meist der MAD Median Absolute Deviation verwendet wird Methode r z displaystyle rho z nbsp ps z displaystyle psi z nbsp w z displaystyle w z nbsp Kleinste Quadrate Methode r L S z z 2 2 displaystyle rho LS z frac z 2 2 nbsp ps L S z z displaystyle psi LS z z nbsp w L S z 1 displaystyle w LS z 1 nbsp Huber k Schatzer r H z 1 2 z 2 z k k z 1 2 k 2 z gt k displaystyle rho H z begin cases frac 1 2 z 2 amp z leq k k z frac 1 2 k 2 amp z gt k end cases nbsp ps H z z z k k sgn z z gt k displaystyle psi H z begin cases z amp z leq k k operatorname sgn z amp z gt k end cases nbsp w H z 1 z k k z z gt k displaystyle w H z begin cases 1 amp z leq k frac k z amp z gt k end cases nbsp Hampel Schatzer r H a z z 2 2 z a a z a 2 2 a lt z b a b a 2 2 c b a 2 1 c z c b 2 b lt z c a b a 2 2 c b a 2 z gt c displaystyle rho Ha z begin cases frac z 2 2 amp z leq a a z frac a 2 2 amp a lt z leq b ab frac a 2 2 c b frac a 2 left 1 left frac c z c b right 2 right amp b lt z leq c ab frac a 2 2 c b frac a 2 amp z gt c end cases nbsp ps H a z z z a a sgn z a lt z b a c z c b sgn z b lt z c 0 z gt c displaystyle psi Ha z begin cases z amp z leq a a operatorname sgn z amp a lt z leq b a frac c z c b operatorname sgn z amp b lt z leq c 0 amp z gt c end cases nbsp w H a z 1 z a a 1 z a lt z b a c z c b 1 z b lt z c 0 z gt c displaystyle w Ha z begin cases 1 amp z leq a a frac 1 z amp a lt z leq b a frac c z c b frac 1 z amp b lt z leq c 0 amp z gt c end cases nbsp Andrews wave r A w z a 2 p 2 1 cos p z a z a 2 a 2 p 2 z gt a displaystyle rho Aw z begin cases frac a 2 pi 2 left 1 cos left frac pi z a right right amp z leq a frac 2a 2 pi 2 amp z gt a end cases nbsp ps A w z a p sin p z a z a 0 z gt a displaystyle psi Aw z begin cases frac a pi sin left frac pi z a right amp z leq a 0 amp z gt a end cases nbsp w A w z a p z sin p z a z a 0 z gt a displaystyle w Aw z begin cases frac a pi z sin left frac pi z a right amp z leq a 0 amp z gt a end cases nbsp Tukey s biweight r T b z a 2 6 1 1 z 2 a 2 3 z a a 2 6 z gt a displaystyle rho Tb z begin cases frac a 2 6 left 1 left 1 frac z 2 a 2 right 3 right amp z leq a frac a 2 6 amp z gt a end cases nbsp ps T b z z 1 z 2 a 2 2 z a 0 z gt a displaystyle psi Tb z begin cases z left 1 frac z 2 a 2 right 2 amp z leq a 0 amp z gt a end cases nbsp w T b z 1 z 2 a 2 2 z a 0 z gt a displaystyle w Tb z begin cases left 1 frac z 2 a 2 right 2 amp z leq a 0 amp z gt a end cases nbsp Die Gewichtsfunktionen im folgenden Bild zeigen die Unterschiede zwischen den Schatzern auf bei Huber k haben auch extreme Beobachtungen ein geringes Gewicht beim Hampel Andrews wave und Tukey s biweight Schatzer wird extremen Beobachtungen das Gewicht Null zugeordnet nbsp Gewichtsfunktionen w z fur verschiedene M Schatzer Die Parameterwerte entsprechen den Standardwerten von SPSS Robustheit BearbeitenBei geeigneter Wahl von ps displaystyle psi nbsp ungerade beschrankt und monoton steigend haben M Schatzer einen Bruchpunkt von ϵ 0 5 displaystyle epsilon 0 5 nbsp 1 Numerische Losungsmethode BearbeitenFur viele Funktionen r displaystyle rho nbsp lasst sich keine explizite Losung angeben sie muss daher numerisch berechnet werden Wie ublich zur Berechnung von Nullstellenproblemen bietet sich auch hier das Newton Raphson Verfahren an und es ergibt sich folgende Iterationsvorschrift wobei wiederum z i x i m S n displaystyle z i frac x i mu S n nbsp m k 1 m k S n i 1 n ps z i i 1 n ps z i displaystyle mu k 1 mu k frac S n sum i 1 n psi z i sum i 1 n psi prime z i nbsp Als geeigneter Startwert m 0 displaystyle mu 0 nbsp wird meist der Median verwendet Dieses Iterationsverfahren konvergiert sehr schnell meist sind zwei bis drei Iterationsschritte ausreichend W Schatzer BearbeitenW Schatzer sind M Schatzern sehr ahnlich und liefern im Normalfall gleiche Ergebnisse Der einzige Unterschied liegt in der Losung des Minimierungsproblems W Schatzer werden meist bei der robusten Regression eingesetzt Es wird die Wichtungsfunktion w z ps z z displaystyle w z frac psi z z nbsp mit ps x i 8 r 8 x i 8 displaystyle psi x i Theta frac partial rho partial Theta x i Theta nbsp eingefuhrt mit deren Hilfe das Minimierungsproblem umgeschrieben werden kann in i 1 n z i w z i 0 displaystyle sum i 1 n z i w z i 0 nbsp Einsetzen der Definition von z i displaystyle z i nbsp ausmultiplizieren und umstellen ergibt schliesslich uber die Fixpunktgleichung 8 i 1 n x i w x i 8 S n i 1 n w x i 8 S n displaystyle Theta frac sum i 1 n x i w frac x i Theta S n sum i 1 n w frac x i Theta S n nbsp die Iterationsvorschrift 8 t 1 i 1 n x i w x i 8 t S n i 1 n w x i 8 t S n displaystyle Theta t 1 frac sum i 1 n x i w frac x i Theta t S n sum i 1 n w frac x i Theta t S n nbsp Siehe auch BearbeitenSogenannte RANSAC AlgorithmenLiteratur BearbeitenRicardo A Maronna R Douglas Martin Victor J Yohai Matias Salibian Barrera Robust Statistics Theory and Methods With R Wiley Series in Probability and Statics 2 Auflage Wiley Hoboken 2019 ISBN 978 1 119 21468 7 Robert G Staudte Robust estimation and testing Wiley New York 1990 ISBN 0 471 85547 2 Rand R Wilcox Introduction to robust estimation and hypothesis testing Academic Press San Diego Cal 1997 ISBN 0 12 751545 3Einzelnachweise Bearbeiten Ricardo A Maronna R Douglas Martin Victor J Yohai Robust Statistics Theory and Methods Wiley Chichester 2006 ISBN 978 0 470 01092 1 S 59 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title M Schatzer amp oldid 237855971
