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Replika Trick Der ist ein mathematischer Trick der insbesondere in der Statistischen Mechanik bzw Statistischen Physik d

Replika-Trick

Der Replika-Trick ist ein mathematischer Trick, der insbesondere in der Statistischen Mechanik bzw. Statistischen Physik dazu verwendet wird, Zustandssummen, oder genauer gesagt den Logarithmus der Zustandssumme und damit die Freie Energie zu berechnen, wenn die direkte Bestimmung deutlich schwieriger oder unmöglich ist. Er wurde in der statistischen Mechanik zuerst von Mark Kac genutzt und 1975 von Edwards und Anderson, Grinstein und Luther, sowie Emery im Zusammenhang mit dem sog. Spinglas-Problem unabhängig wiederentdeckt. Er basiert auf der mathematischen Identität

wobei die Zustandssumme und die Anzahl der identischen Systeme (Replikas) bezeichnet. ist dann die Zustandssumme der Replikas, und es interessiert der Limes . Der Strich bezeichnet den Mittelwert über die statistische Unordnung. Anhand der Gewichtung der Replikas unterscheidet man zwischen replika-symmetrischen Lösungen, bei denen alle Replikas eine symmetrische Rolle spielen, und Fällen, in denen Replika-Symmetrie-Brechung (RSB) auftritt.

Anwendungen in der Spinglas-Theorie Bearbeiten

Der Trick wird besonders in der Spinglas-Theorie verwendet, wobei sich besonders der Italiener Giorgio Parisi durch eine grundlegende, in hierarchischer Weise die Replika-Symmetrie brechende mathematische Lösung hervorgetan hat.

Mathematisches Bearbeiten

Es existiert kein allgemeiner Satz über die mathematische Korrektheit der Methode, sodass man auf konkrete Vergleiche mit exakten Resultaten angewiesen ist, die auf komplizierterem Wege mit anderen Methoden gewonnen wurde. Wenn allerdings die Funktion von der Punktmenge zu einer komplex-analytischen Funktion erweitert werden kann, die in einer den Punkt einschließenden offenen Umgebung von definiert ist, dann wird diese Funktion nach einem Satz der Funktionentheorie durch die Werte auf vollständig bestimmt, weil die besagte Menge bei einen Häufungspunkt hat. Auch alle Ableitungen bei sind in diesem Fall vollständig bestimmt. Es geht hier sowohl das Verhalten bei 0 und indirekt auch das Verhalten bei ein.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Giorgio Parisi: On the replica approach to spin glasses. arxiv:cond-mat/9412004, Vortrag gehalten im Februar 1994.
  2. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Springer-Verlag, Berlin 1976, ISBN 3-540-07768-5.
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Der Replika Trick ist ein mathematischer Trick der insbesondere in der Statistischen Mechanik bzw Statistischen Physik dazu verwendet wird Zustandssummen oder genauer gesagt den Logarithmus der Zustandssumme und damit die Freie Energie zu berechnen wenn die direkte Bestimmung deutlich schwieriger oder unmoglich ist Er wurde in der statistischen Mechanik zuerst von Mark Kac genutzt und 1975 von Edwards und Anderson Grinstein und Luther sowie Emery im Zusammenhang mit dem sog Spinglas Problem unabhangig wiederentdeckt Er basiert auf der mathematischen Identitat lim n 0 Z n 1 n ln Z displaystyle lim n to 0 overline Z n 1 over n overline ln Z wobei Z displaystyle Z die Zustandssumme und n displaystyle n die Anzahl der identischen Systeme Replikas bezeichnet Z n displaystyle Z n ist dann die Zustandssumme der n displaystyle n Replikas und es interessiert der Limes n 0 displaystyle n to 0 Der Strich bezeichnet den Mittelwert uber die statistische Unordnung Anhand der Gewichtung der Replikas unterscheidet man zwischen replika symmetrischen Losungen bei denen alle Replikas eine symmetrische Rolle spielen und Fallen in denen Replika Symmetrie Brechung RSB auftritt Inhaltsverzeichnis 1 Anwendungen in der Spinglas Theorie 2 Mathematisches 3 Literatur 4 EinzelnachweiseAnwendungen in der Spinglas Theorie BearbeitenDer Trick wird besonders in der Spinglas Theorie verwendet wobei sich besonders der Italiener Giorgio Parisi durch eine grundlegende in hierarchischer Weise die Replika Symmetrie brechende mathematische Losung hervorgetan hat 1 Mathematisches BearbeitenEs existiert kein allgemeiner Satz uber die mathematische Korrektheit der Methode sodass man auf konkrete Vergleiche mit exakten Resultaten angewiesen ist die auf komplizierterem Wege mit anderen Methoden gewonnen wurde Wenn allerdings die Funktion ln Z z U displaystyle overline ln Z z in U nbsp von der Punktmenge G n 0 1 2 displaystyle G equiv n 0 1 2 infty nbsp zu einer komplex analytischen Funktion erweitert werden kann die in einer den Punkt displaystyle infty nbsp einschliessenden offenen Umgebung U C displaystyle U in mathbb C nbsp von G displaystyle G nbsp definiert ist dann wird diese Funktion nach einem Satz der Funktionentheorie durch die Werte auf G displaystyle G nbsp vollstandig bestimmt 2 weil die besagte Menge bei n displaystyle n infty nbsp einen Haufungspunkt hat Auch alle Ableitungen bei n 0 displaystyle n 0 nbsp sind in diesem Fall vollstandig bestimmt Es geht hier sowohl das Verhalten bei 0 und indirekt auch das Verhalten bei displaystyle infty nbsp ein Literatur BearbeitenM Kac Trondheim Theoretical Physics Seminar Nordita Publ No 286 1968 unpublished and T F Lin J Math Phys 11 1584 1970 Samuel Edwards Philip Warren Anderson Theory of spin glasses Phys F Met Phys 5 965 1975 doi 10 1088 0305 4608 5 5 017 G Grinstein A Luther Application of the renormalization group to phase transitions in disordered systems Phys Rev B 13 1329 1343 doi 10 1103 PhysRevB 13 1329 V J Emery Phys Critical properties of many component systems Rev B 11 239 1975 doi 10 1103 PhysRevB 11 239 Einzelnachweise Bearbeiten Giorgio Parisi On the replica approach to spin glasses arxiv cond mat 9412004 Vortrag gehalten im Februar 1994 Heinrich Behnke Friedrich Sommer Theorie der Funktionen einer komplexen Veranderlichen Springer Verlag Berlin 1976 ISBN 3 540 07768 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Replika Trick amp oldid 237045406