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Irreduzibles Polynom In der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom das sich ni

Irreduzibles Polynom

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lässt und somit nicht in „einfachere“ Polynome zerfällt. Ihre Bedeutung für die Polynomringe ist in den meisten Fällen (Polynome über faktoriellen Ringen) mit der Bedeutung von Primzahlen für natürliche Zahlen gleich.

Definition Bearbeiten

Die Definition lässt sich bereits für Integritätsringe formulieren. Es ist bekannt, dass der Polynomring über einem Integritätsring selbst nullteilerfrei ist. Dies ist der Grund, dass die Definitionen von irreduziblen Elementen übernommen werden kann. Da in vielen Fällen nur Körper behandelt werden und die Definition dort einfacher ist, wird auch die Definition für diesen Spezialfall aufgeführt. In der allgemeinen Definition kann man sich trivialerweise auf eine Variable beschränken.

Definition allgemein für Integritätsringe Bearbeiten

Es sei ein Integritätsring. Dann heißt ein Polynom irreduzibel, wenn nicht invertierbar in ist und für und entweder oder invertierbar ist.

Definition speziell für Körper Bearbeiten

Es sei ein Körper. Dann heißt ein Polynom aus dem Polynomring in Unbestimmten irreduzibel, wenn nicht konstant ist und es keine nichtkonstanten Polynome gibt, so dass gilt. Falls solche Polynome existieren, so heißt auch reduzibel oder zerlegbar.

Eine äquivalente Beschreibung lautet: Irreduzible Polynome sind genau die irreduziblen Elemente im Ring .

Primpolynome und irreduzible Polynome im Vergleich Bearbeiten

Ein Polynom heißt prim oder Primpolynom, wenn für alle mit der Eigenschaft folgt: oder . Ist der Ring sogar faktoriell, so ist auch faktoriell (Satz von Gauß). Insbesondere sind alle Körper faktoriell und damit auch die zugehörigen Polynomringe.

Für Polynome über faktoriellen Ringen (also auch für Polynome über einem Körper) sind Primelemente auch irreduzible Elemente und umgekehrt. Es gilt zudem eine bis auf Assoziiertheit eindeutige Zerlegung von Polynomen in Primpolynome.

Es lassen sich in diesen faktoriellen Ringen die Irreduzibilität von Polynomen auch auf die Irreduzibilität von Polynomen über dem Quotientenkörper zurückführen. Dieses Problem ist aber nicht zwangsläufig einfacher zu lösen. Man beachte dazu, dass ein Polynom aus einem faktoriellen Ring genau dann prim ist, wenn das Polynom entweder konstant einem Primelement ist, oder irreduzibel und primitiv (d. h. größter gemeinsamer Teiler aller Koeffizienten ist ) in dem Quotientenkörper über .

Irreduzibilitätskriterien Bearbeiten

In sehr vielen Bereichen kommen Polynome in einer Variablen vor, deren Irreduzibilität weitere Folgerungen möglich macht, z. B. grundlegend in der Galoistheorie und exemplarisch als Anwendung das chromatische Polynom in der Graphentheorie. (Siehe auch Minimalpolynom). Wichtig ist es deshalb, einfache Entscheidungskriterien für die Irreduzibilität zur Hand zu haben.

Das Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein Bearbeiten

Das Eisensteinkriterium ist ein hinreichendes (aber nicht notwendiges) Kriterium für die Irreduzibilität eines Polynoms in einer erweiterten Koeffizientenmenge. Sei dazu ein Integritätsring, ein Polynom mit Koeffizienten aus und der Quotientenkörper von . Findet man ein Primelement , so dass gilt:

  • für sowie

dann ist irreduzibel über . Es wird häufig angewendet für und . Man kann die Bedingung der Teilbarkeit durch das Primelement auch überall durch Enthaltensein in einem Primideal von ersetzen.

Ist faktoriell und das Polynom primitiv, d. h. der größte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten ist , dann ist auch in irreduzibel.

Reduktionskriterium Bearbeiten

Auch das Reduktionskriterium ist nur ein hinreichendes Kriterium für die Irreduzibilität eines Polynoms. Es sei wieder ein Integritätsring mit Quotientenkörper und ein Primelement. Sei ein Polynom mit . Wenn mit den modulo reduzierten Koeffizienten in irreduzibel ist, dann ist auch irreduzibel in .

Beispiele Bearbeiten

  • Über Körpern gilt:
    • Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
    • Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie Grad 1.
    • Jedes Polynom über vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in hat.
  • Jedes irreduzible Polynom über den reellen Zahlen hat Grad 1 oder 2, folglich entweder die Form mit oder mit . Das hängt damit zusammen, dass der algebraische Abschluss Grad 2 über hat.
  • irreduzibel über für eine Primzahl aus , oder ist primitiv und irreduzibel über
  • ist irreduzibel. Um dies einzusehen, zeigt man, dass alle irreduziblen Faktoren des Polynoms den gleichen Grad haben. Da prim ist, muss das Polynom dann entweder irreduzibel sein, oder in Linearfaktoren zerfallen. Letzteres kann aber nicht sein, da das Polynom in keine Nullstelle besitzt. Um nun zu zeigen, dass alle den gleichen Grad haben, kann man eine Nullstelle im Zerfällungskörper des Polynoms betrachten. Da das Polynom invariant unter der von induzierten Abbildung ist, sind auch Nullstellen. Im Zerfällungskörper hat das Polynom also die Gestalt . Für jeden irreduziblen Faktor gibt es somit ein , so dass Nullstelle des verschobenen Polynoms ist. Mit ist auch irreduzibel, d. h. alle irreduziblen Faktoren haben den gleichen Grad wie das Minimalpolynom von .
  • Das Polynom ist irreduzibel, denn es ist primitiv und ein irreduzibles Polynom in den rationalen Zahlen. Man wende dazu das Reduktionskriterium an. Das Polynom mit den reduzierten Koeffizienten modulo ist dabei , und dies ist irreduzibel.
  • ist irreduzibel. Dies folgt aus dem Eisensteinkriterium nur mit dem Primelement .
  • Für eine Primzahl ist das Polynom für , , irreduzibel über . Das Minimalpolynom von über ist also . Als Folgerung ergibt sich beispielsweise, dass die Quadratwurzel aus eine irrationale Zahl ist (oder eine -te Wurzel aus einer Primzahl mit ).
  • (oder als Element aus  – man beachte, dass es primitiv ist) ist irreduzibel (Eisensteinsches Kriterium). Das Primelement ist dabei . Dieses Polynom ist allerdings nicht separabel, d. h., es hat im algebraischen Abschluss von eine mehrfache Nullstelle. Dieses Phänomen tritt nicht in auf.

Literatur Bearbeiten

  • Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2600-0, Kapitel 18.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ed Dubinsky, Uri Leron: Learning abstract algebra with ISETL. 2019, ISBN 978-3-662-25454-7, S. 232 (Satz 6.17).
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Veröffentlichungsdatum:
In der Algebra einem Teilgebiet der Mathematik ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lasst und somit nicht in einfachere Polynome zerfallt Ihre Bedeutung fur die Polynomringe ist in den meisten Fallen Polynome uber faktoriellen Ringen mit der Bedeutung von Primzahlen fur naturliche Zahlen gleich Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition allgemein fur Integritatsringe 1 2 Definition speziell fur Korper 2 Primpolynome und irreduzible Polynome im Vergleich 3 Irreduzibilitatskriterien 3 1 Das Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein 3 2 Reduktionskriterium 4 Beispiele 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Definition lasst sich bereits fur Integritatsringe formulieren Es ist bekannt dass der Polynomring uber einem Integritatsring selbst nullteilerfrei ist Dies ist der Grund dass die Definitionen von irreduziblen Elementen ubernommen werden kann Da in vielen Fallen nur Korper behandelt werden und die Definition dort einfacher ist wird auch die Definition fur diesen Spezialfall aufgefuhrt In der allgemeinen Definition kann man sich trivialerweise auf eine Variable beschranken Definition allgemein fur Integritatsringe Bearbeiten Es sei R displaystyle R nbsp ein Integritatsring Dann heisst ein Polynom f R X displaystyle f in R X nbsp irreduzibel wenn f 0 displaystyle f neq 0 nbsp nicht invertierbar in R X displaystyle R X nbsp ist und fur g h R X displaystyle g h in R X nbsp und f g h displaystyle f gh nbsp entweder g displaystyle g nbsp oder h displaystyle h nbsp invertierbar ist Definition speziell fur Korper Bearbeiten Es sei K displaystyle K nbsp ein Korper Dann heisst ein Polynom P K X 1 X n displaystyle P in K X 1 ldots X n nbsp aus dem Polynomring in n displaystyle n nbsp Unbestimmten irreduzibel wenn P displaystyle P nbsp nicht konstant ist und es keine nichtkonstanten Polynome Q R K X 1 X n displaystyle Q R in K X 1 ldots X n nbsp gibt so dass P Q R displaystyle P Q cdot R nbsp gilt Falls solche Polynome existieren so heisst P displaystyle P nbsp auch reduzibel oder zerlegbar Eine aquivalente Beschreibung lautet Irreduzible Polynome sind genau die irreduziblen Elemente im Ring K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp Primpolynome und irreduzible Polynome im Vergleich BearbeitenEin Polynom f R X displaystyle f in R X nbsp heisst prim oder Primpolynom wenn fur alle g h R X displaystyle g h in R X nbsp mit der Eigenschaft f g h displaystyle f mid gh nbsp folgt f g displaystyle f mid g nbsp oder f h displaystyle f mid h nbsp Ist der Ring sogar faktoriell so ist auch R X displaystyle R X nbsp faktoriell Satz von Gauss Insbesondere sind alle Korper faktoriell und damit auch die zugehorigen Polynomringe Fur Polynome uber faktoriellen Ringen also auch fur Polynome uber einem Korper sind Primelemente auch irreduzible Elemente und umgekehrt Es gilt zudem eine bis auf Assoziiertheit eindeutige Zerlegung von Polynomen in Primpolynome Es lassen sich in diesen faktoriellen Ringen die Irreduzibilitat von Polynomen auch auf die Irreduzibilitat von Polynomen uber dem Quotientenkorper zuruckfuhren Dieses Problem ist aber nicht zwangslaufig einfacher zu losen Man beachte dazu dass ein Polynom aus einem faktoriellen Ring R displaystyle R nbsp genau dann prim ist wenn das Polynom entweder konstant einem Primelement ist oder irreduzibel und primitiv d h grosster gemeinsamer Teiler aller Koeffizienten ist 1 displaystyle 1 nbsp in dem Quotientenkorper uber R displaystyle R nbsp Irreduzibilitatskriterien BearbeitenIn sehr vielen Bereichen kommen Polynome in einer Variablen vor deren Irreduzibilitat weitere Folgerungen moglich macht z B grundlegend in der Galoistheorie und exemplarisch als Anwendung das chromatische Polynom in der Graphentheorie Siehe auch Minimalpolynom Wichtig ist es deshalb einfache Entscheidungskriterien fur die Irreduzibilitat zur Hand zu haben Das Irreduzibilitatskriterium von Eisenstein Bearbeiten Das Eisensteinkriterium ist ein hinreichendes aber nicht notwendiges Kriterium fur die Irreduzibilitat eines Polynoms in einer erweiterten Koeffizientenmenge Sei dazu A displaystyle A nbsp ein Integritatsring P a n X n a n 1 X n 1 a 1 X a 0 A X mit a n 0 und n gt 0 displaystyle P a n X n a n 1 X n 1 cdots a 1 X a 0 in A X text mit a n neq 0 text und n gt 0 nbsp ein Polynom mit Koeffizienten aus A displaystyle A nbsp und K displaystyle K nbsp der Quotientenkorper von A displaystyle A nbsp Findet man ein Primelement p A displaystyle p in A nbsp so dass gilt p a n displaystyle p nmid a n nbsp p a i displaystyle p mid a i nbsp fur i 0 1 2 n 1 displaystyle i 0 1 2 ldots n 1 nbsp sowie p 2 a 0 displaystyle p 2 nmid a 0 nbsp dann ist P displaystyle P nbsp irreduzibel uber K X displaystyle K X nbsp Es wird haufig angewendet fur A Z displaystyle A mathbb Z nbsp und K Q displaystyle K mathbb Q nbsp Man kann die Bedingung der Teilbarkeit durch das Primelement p displaystyle p nbsp auch uberall durch Enthaltensein in einem Primideal von A displaystyle A nbsp ersetzen Ist A displaystyle A nbsp faktoriell und das Polynom P displaystyle P nbsp primitiv d h der grosste gemeinsame Teiler aller Koeffizienten ist 1 displaystyle 1 nbsp dann ist P displaystyle P nbsp auch in A X displaystyle A X nbsp irreduzibel Reduktionskriterium Bearbeiten Auch das Reduktionskriterium ist nur ein hinreichendes Kriterium fur die Irreduzibilitat eines Polynoms Es sei wieder A displaystyle A nbsp ein Integritatsring mit Quotientenkorper K displaystyle K nbsp und p A displaystyle p in A nbsp ein Primelement Sei f k 0 n a k X k A X displaystyle f sum k 0 n a k X k in A X nbsp ein Polynom mit p a n displaystyle p nmid a n nbsp Wenn f displaystyle f nbsp mit den modulo p displaystyle p nbsp reduzierten Koeffizienten in A p A X displaystyle A pA X nbsp irreduzibel ist dann ist f displaystyle f nbsp auch irreduzibel in K X displaystyle K X nbsp Beispiele BearbeitenUber Korpern gilt Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle so hat es Grad 1 Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom uber einem algebraisch abgeschlossenen Korper wie C displaystyle mathbb C nbsp Grad 1 Jedes Polynom uber K displaystyle K nbsp vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel wenn es keine Nullstelle in K displaystyle K nbsp hat 1 Jedes irreduzible Polynom uber den reellen Zahlen hat Grad 1 oder 2 folglich entweder die Form a X b displaystyle aX b nbsp mit a 0 displaystyle a neq 0 nbsp oder a X 2 b X c displaystyle aX 2 bX c nbsp mit b 2 4 a c lt 0 displaystyle b 2 4ac lt 0 nbsp Das hangt damit zusammen dass der algebraische Abschluss C displaystyle mathbb C nbsp Grad 2 uber R displaystyle mathbb R nbsp hat f X Z X displaystyle f X in mathbb Z X nbsp irreduzibel uber Z displaystyle mathbb Z nbsp displaystyle Leftrightarrow nbsp f X p displaystyle f X pm p nbsp fur eine Primzahl aus Z displaystyle mathbb Z nbsp oder f X displaystyle f X nbsp ist primitiv und irreduzibel uber Q X displaystyle mathbb Q X nbsp X p X 1 F p X displaystyle X p X 1 in mathbb F p X nbsp ist irreduzibel Um dies einzusehen zeigt man dass alle irreduziblen Faktoren r 1 X r 2 X r k X displaystyle r 1 X cdot r 2 X cdots r k X nbsp des Polynoms den gleichen Grad haben Da p displaystyle p nbsp prim ist muss das Polynom dann entweder irreduzibel sein oder in Linearfaktoren zerfallen Letzteres kann aber nicht sein da das Polynom in F p displaystyle mathbb F p nbsp keine Nullstelle besitzt Um nun zu zeigen dass alle r i X displaystyle r i X nbsp den gleichen Grad haben kann man eine Nullstelle a displaystyle alpha nbsp im Zerfallungskorper des Polynoms betrachten Da das Polynom invariant unter der von X X 1 displaystyle X mapsto X 1 nbsp induzierten Abbildung ist sind auch a 1 a p 1 displaystyle alpha 1 ldots alpha p 1 nbsp Nullstellen Im Zerfallungskorper hat das Polynom also die Gestalt X a X a 1 X a p 1 displaystyle X alpha X alpha 1 cdots X alpha p 1 nbsp Fur jeden irreduziblen Faktor r i X displaystyle r i X nbsp gibt es somit ein s F p displaystyle s in mathbb F p nbsp so dass a displaystyle alpha nbsp Nullstelle des verschobenen Polynoms r i X r i X s displaystyle r i X r i X s nbsp ist Mit r i X displaystyle r i X nbsp ist auch r i X displaystyle r i X nbsp irreduzibel d h alle irreduziblen Faktoren r j X displaystyle r j X nbsp haben den gleichen Grad wie das Minimalpolynom von a displaystyle alpha nbsp Das Polynom 8 X 7 7 X 4 21 X 2 15 X 22 Z X displaystyle 8X 7 7X 4 21X 2 15X 22 in mathbb Z X nbsp ist irreduzibel denn es ist primitiv und ein irreduzibles Polynom in den rationalen Zahlen Man wende dazu das Reduktionskriterium an Das Polynom mit den reduzierten Koeffizienten modulo 7 displaystyle 7 nbsp ist dabei X 7 X 1 F 7 X displaystyle X 7 X 1 in mathbb F 7 X nbsp und dies ist irreduzibel 2 X 5 30 X 3 60 X 2 90 Q X displaystyle 2X 5 30X 3 60X 2 90 in mathbb Q X nbsp ist irreduzibel Dies folgt aus dem Eisensteinkriterium nur mit dem Primelement p 5 displaystyle p 5 nbsp Fur eine Primzahl p displaystyle p nbsp ist das Polynom X n p displaystyle X n p nbsp fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp n 1 displaystyle n geq 1 nbsp irreduzibel uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Das Minimalpolynom von p n displaystyle sqrt n p nbsp uber Q displaystyle mathbb Q nbsp ist also X n p displaystyle X n p nbsp Als Folgerung ergibt sich beispielsweise dass die Quadratwurzel aus 2 displaystyle 2 nbsp eine irrationale Zahl ist oder eine n displaystyle n nbsp te Wurzel aus einer Primzahl mit n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp X p Y F p X Y displaystyle X p Y in mathbb F p X Y nbsp oder als Element aus F p Y X displaystyle left mathbb F p Y right X nbsp man beachte dass es primitiv ist ist irreduzibel Eisensteinsches Kriterium Das Primelement ist dabei Y F p Y displaystyle Y in mathbb F p Y nbsp Dieses Polynom ist allerdings nicht separabel d h es hat im algebraischen Abschluss von F p Y displaystyle mathbb F p Y nbsp eine mehrfache Nullstelle Dieses Phanomen tritt nicht in Q displaystyle mathbb Q nbsp auf Literatur BearbeitenChristian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper 2 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2010 ISBN 978 3 8274 2600 0 Kapitel 18 Einzelnachweise Bearbeiten Ed Dubinsky Uri Leron Learning abstract algebra with ISETL 2019 ISBN 978 3 662 25454 7 S 232 Satz 6 17 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Irreduzibles Polynom amp oldid 226290108