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Positive Operator Valued Probability Measure Positive Operator Valued Probability Measure abgekürzt als POVM ist eine Be

Positive Operator Valued Probability Measure

Positive Operator Valued (Probability) Measure, abgekürzt als POVM, ist eine Beschreibung des quantenmechanischen Messprozesses in der Physik. Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind.

Definition Bearbeiten

Ein POVM auf einem Messraum ist eine Abbildung mit Werten in der Menge der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraumes , die folgenden drei Bedingungen genügt:

Erläuterungen Bearbeiten

Die Definition eines POVM steht in Analogie zu den Kolmogorow-Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie, wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird. POVM verallgemeinern den Begriff des Spektralmaßes, der in der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren auftritt.

Verwendung in der Quantenmechanik Bearbeiten

In der Quantenmechanik treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf. Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten , die folgendes erfüllen:

Die beschreiben die verschiedenen Messergebnisse: Wenn das System im Zustand ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats gegeben durch .

Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer Von-Neumann-Messung (sog. projektive Messung), bei einer solchen sind die Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen. Man kann jedoch jedes POVM als eine Von-Neumann-Messung auf einem erweiterten System (Originalsystem + Hilfssystem) auffassen.

Insbesondere für die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustände oder bei Abhörstrategien in der Quantenkryptographie relevant.

Literatur Bearbeiten

  • Diane Martinez, Jody Trout: Asymptotic Spectral Measures, Quantum Mechanics, and E-theory. In: Communications in Mathematical Physics. Band 226, Nr. 1, 2002, S. 41–60, arxiv:math/0107091.
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Positive Operator Valued Probability Measure abgekurzt als POVM ist eine Beschreibung des quantenmechanischen Messprozesses in der Physik Mathematisch gesehen ist ein POVM eine Art Wahrscheinlichkeitsmass dessen Werte positive Operatoren statt positiver Zahlen sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erlauterungen 2 1 Verwendung in der Quantenmechanik 3 LiteraturDefinition BearbeitenEin POVM auf einem Messraum W A displaystyle Omega mathcal A nbsp ist eine Abbildung m A B H displaystyle mu colon mathcal A to B mathcal H nbsp mit Werten in der Menge der beschrankten linearen Operatoren eines Hilbertraumes H displaystyle mathcal H nbsp die folgenden drei Bedingungen genugt Fur alle A A displaystyle A in mathcal A nbsp gilt 0 m A id H displaystyle 0 leq mu A leq operatorname id mathcal H nbsp hier bezeichnet id H displaystyle operatorname id mathcal H nbsp die identische Abbildung auf dem Hilbertraum Das heisst m A displaystyle mu A nbsp ist positiv und daher auch selbstadjungiert m W id H displaystyle mu Omega operatorname id mathcal H nbsp Fur jede Folge paarweise disjunkter Mengen A n A n N displaystyle A n in mathcal A n in mathbb N nbsp giltm n 1 A n n 1 m A n displaystyle mu bigg biguplus n 1 infty A n bigg sum n 1 infty mu A n nbsp wobei die unendliche Reihe im Sinne der starken Operatortopologie konvergiert Erlauterungen BearbeitenDie Definition eines POVM steht in Analogie zu den Kolmogorow Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie wobei die Wahrscheinlichkeit durch einen positiven Operator statt durch eine positive reelle Zahl beschrieben wird POVM verallgemeinern den Begriff des Spektralmasses der in der Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren auftritt Verwendung in der Quantenmechanik Bearbeiten In der Quantenmechanik treten POVM zur Beschreibung von allgemeineren Messungen auf Hier hat man meistens eine diskrete Menge von sogenannten Effekten E i displaystyle E i nbsp die folgendes erfullen 0 E i I displaystyle 0 leq E i leq I nbsp hier ist I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix Insbesondere sind die E i displaystyle E i nbsp positiv semidefinit i E i I displaystyle sum i E i I nbsp Die E i displaystyle E i nbsp beschreiben die verschiedenen Messergebnisse Wenn das System im Zustand r displaystyle rho nbsp ist ist die Wahrscheinlichkeit des Messresultats i displaystyle i nbsp gegeben durch p i Tr r E i displaystyle p i operatorname Tr rho E i nbsp Dieser Ansatz ist allgemeiner als der einer Von Neumann Messung sog projektive Messung bei einer solchen sind die E i ps i ps i displaystyle E i psi i rangle langle psi i nbsp Projektoren auf die Eigenvektoren der gemessenen Observablen Man kann jedoch jedes POVM als eine Von Neumann Messung auf einem erweiterten System Originalsystem Hilfssystem auffassen Insbesondere fur die Quanteninformationstheorie sind POVM bei der Zustandsunterscheidung nichtorthogonaler Zustande oder bei Abhorstrategien in der Quantenkryptographie relevant Literatur BearbeitenDiane Martinez Jody Trout Asymptotic Spectral Measures Quantum Mechanics and E theory In Communications in Mathematical Physics Band 226 Nr 1 2002 S 41 60 arxiv math 0107091 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Positive Operator Valued Probability Measure amp oldid 210059489