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Pirouetteneffekt Der ist die Steigerung oder Verlangsamung der Rotationsgeschwindigkeit die sich ergibt wenn bei einem s

Pirouetteneffekt

Der Pirouetteneffekt ist die Steigerung oder Verlangsamung der Rotationsgeschwindigkeit, die sich ergibt, wenn bei einem sich drehenden Objekt die Masse näher zur Rotationsachse gezogen oder von dieser weiter entfernt wird. Im Alltag erfahrbar ist der Effekt bei der namensgebenden Pirouette im Eiskunstlauf. Dabei versetzen sich Eiskunstläufer zunächst bei zur Seite ausgestreckten Armen in Rotation. Wenn die Arme eng an den Körper angelegt werden, verringert sich dadurch das Trägheitsmoment der Läufer. Da dabei der Drehimpuls erhalten bleibt, nimmt die Winkelgeschwindigkeit der Rotation zu. Umgekehrt verringert sich die Rotationsgeschwindigkeit, wenn die Arme ausgestreckt werden.

Beim Eiskunstlauf wird der Pirouetteneffekt genutzt, um eine schnelle Rotation um die Körperachse zu erzielen.

Das gleiche Prinzip nutzen Turner und Turmspringer beim Salto oder bei Schrauben. In der Luft werden Arme und Beine angezogen, um so aus dem beim Absprung erhaltenen Drehimpuls eine möglichst schnelle Drehung zu gewinnen. Eine Öffnung der Haltung vor dem Auftreffen auf den Boden verringert die Drehgeschwindigkeit und erlaubt eine stehende Landung.

Der Pirouetteneffekt tritt auch bei anderen Drehbewegungen auf, beispielsweise bei einem Tornado in der Entstehungsphase. Bei einer Supernova bricht der Innenbereich des Sterns zusammen, der entstehende Neutronenstern hat dann Umdrehungszeiten im Millisekundenbereich.

Physikalische Grundlagen des Pirouetteneffekts Bearbeiten

Physikalische Größe Formelzeichen SI-Einheiten
Drehimpuls N·m·s, kg·m2/s
Geschwindigkeit m/s
Masse kg
Winkelgeschwindigkeit rad/s
Trägheitsradius m
Rotationsenergie N·m, kg·m2/s2
Hubarbeit N·m, kg·m2/s2
Massenpunkt, der von einer Kreisbahn mit Radius auf eine Bahn mit größerem Radius wechselt.

Der Drehimpuls lässt sich ausdrücken als Produkt von Trägheitsradius , Masse und Winkelgeschwindigkeit :

Aufgrund der Drehimpulserhaltung gilt für ein System ohne äußere Einflüsse und unveränderter Masse, wobei die Indizes und zwei Zustände des Systems bezeichnen:

Daraus ergibt sich, dass die Winkelgeschwindigkeiten sich antiproportional zu den Quadraten der Trägheitsradien verhalten:

Für Punktmassen im Abstand kann die Umfangsgeschwindigkeit an Stelle der Winkelgeschwindigkeit genutzt werden, sodass gilt:

Da die Rotationsenergien ist, gilt

Bei konstanter Masse können, wenn beispielsweise Trägheitsradien und eine der Winkelgeschwindigkeiten bekannt sind, mit obiger Formel die andere Winkelgeschwindigkeit, die Rotationsenergien sowie die Hubarbeit berechnet werden.

Ermittlung der Hubarbeit als Produkt aus Kraft und Weg. Die Zentrifugalkraft wird über die Änderung des Radius integriert.

Die Hubarbeit kann auch direkt ermittelt werden:

Der Pirouetteneffekt ist ein Wechselspiel zwischen Hubenergie und Rotationsenergie. Die Differenz der Rotationsenergien ist die Hubarbeit, die beim Wechsel auf einen kleineren Radius wieder in Rotationsenergie zurückverwandelt werden kann; d. h., die Verringerung des Radius erfordert einen wachsenden Kraftaufwand über die Distanz . Bei der Vergrößerung des Radius wird die in der Rotation gebundene Energie frei.

Der Trägheitsradius eines Massenpunkt ist sein Abstand von der Rotationsachse. Bei mehreren Massepunkten wird dieser effektive Abstand bestimmt, indem die Beiträge alle Massen mit ihren jeweiligen Radien aufsummiert werden:

Für starre Körper, die nicht um eine Hauptträgheitsachse rotieren, was bei Massenpunkten, die untereinander wechselwirken und sich nicht in einer Ebene senkrecht zur Drehachse befinden, im Allgemeinen der Fall ist, muss die Drehimpulserhaltung

mit den Trägheitstensoren und angenommen werden.

Trigonometrische Erklärung Bearbeiten

Geschwindigkeits- und Energieberechnung mit Winkelfunktionen

Der rotierende Massenpunkt wird vom Radius zum Radius versetzt, etwa durch Verlängern der Verbindung mit dem Drehpunkt. Die Masse bewegt sich tangential geradlinig weiter bis zur äußeren Bahn. Dabei nimmt sie die Geschwindigkeit und die Rotationsenergie aus dem inneren Radius als kinetische Energie bis zum Radius mit:

Auf dem äußeren Radius kann die Geschwindigkeit in die Komponenten und zerlegt werden. ist die neue Umfangsgeschwindigkeit, und ist die gedachte Radialgeschwindigkeit, die jedoch, weil sie auf dem neuen Radius = Null ist, in Hubarbeit umgerechnet werden kann.

Die im Bild verwendeten Variablen
Physikalische Größe Formel
Umfangsgeschwindigkeit2
Radialvektor
Rotationsenergiedifferenz

Die Art des Übergangs auf einen anderen Radius spielt für den Endzustand keine Rolle. In der Praxis wird die Bewegung spiralförmig verlaufen, im Ergebnis entsprechen aber die Werte für Energie und Geschwindigkeit dem vereinfachten Beispiel.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Sportmechanik, Abschnitt „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“, Abb. 70 auf S. 78.

Literatur Bearbeiten

  • Günther Bäumler: Sportmechanik: Grundlagen für Studium und Praxis. BLV Verlagsgesellschaft, München Wien Zürich 1981, ISBN 3-405-12435-2.
  • David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Physik. 2. Auflage. WILEY-VCH Verlag GmbH & co. KGaA, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40645-6.
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Der Pirouetteneffekt ist die Steigerung oder Verlangsamung der Rotationsgeschwindigkeit die sich ergibt wenn bei einem sich drehenden Objekt die Masse naher zur Rotationsachse gezogen oder von dieser weiter entfernt wird Im Alltag erfahrbar ist der Effekt bei der namensgebenden Pirouette im Eiskunstlauf Dabei versetzen sich Eiskunstlaufer zunachst bei zur Seite ausgestreckten Armen in Rotation Wenn die Arme eng an den Korper angelegt werden verringert sich dadurch das Tragheitsmoment 8 displaystyle Theta der Laufer Da dabei der Drehimpuls L 8 w displaystyle L Theta cdot omega erhalten bleibt nimmt die Winkelgeschwindigkeit w displaystyle omega der Rotation zu Umgekehrt verringert sich die Rotationsgeschwindigkeit wenn die Arme ausgestreckt werden Beim Eiskunstlauf wird der Pirouetteneffekt genutzt um eine schnelle Rotation um die Korperachse zu erzielen Das gleiche Prinzip nutzen Turner und Turmspringer beim Salto 1 oder bei Schrauben In der Luft werden Arme und Beine angezogen um so aus dem beim Absprung erhaltenen Drehimpuls eine moglichst schnelle Drehung zu gewinnen Eine Offnung der Haltung vor dem Auftreffen auf den Boden verringert die Drehgeschwindigkeit und erlaubt eine stehende Landung Der Pirouetteneffekt tritt auch bei anderen Drehbewegungen auf beispielsweise bei einem Tornado in der Entstehungsphase Bei einer Supernova bricht der Innenbereich des Sterns zusammen der entstehende Neutronenstern hat dann Umdrehungszeiten im Millisekundenbereich Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Grundlagen des Pirouetteneffekts 2 Trigonometrische Erklarung 3 Einzelnachweise 4 LiteraturPhysikalische Grundlagen des Pirouetteneffekts BearbeitenPhysikalische Grosse Formelzeichen SI EinheitenDrehimpuls L displaystyle L nbsp N m s kg m2 sGeschwindigkeit v displaystyle v nbsp m sMasse m displaystyle m nbsp kgWinkelgeschwindigkeit w displaystyle omega nbsp rad sTragheitsradius i displaystyle i nbsp mRotationsenergie W displaystyle W nbsp N m kg m2 s2Hubarbeit W D i f f displaystyle W mathrm Diff nbsp N m kg m2 s2 nbsp Massenpunkt der von einer Kreisbahn mit Radius i 1 displaystyle i 1 nbsp auf eine Bahn mit grosserem Radius i 2 displaystyle i 2 nbsp wechselt Der Drehimpuls L displaystyle vec L nbsp lasst sich ausdrucken als Produkt von Tragheitsradius i displaystyle i nbsp Masse m displaystyle m nbsp und Winkelgeschwindigkeit w displaystyle vec omega nbsp L i 2 m w displaystyle vec L i 2 m vec omega nbsp Aufgrund der Drehimpulserhaltung gilt fur ein System ohne aussere Einflusse und unveranderter Masse wobei die Indizes 1 displaystyle 1 nbsp und 2 displaystyle 2 nbsp zwei Zustande des Systems bezeichnen L 1 m i 1 2 w 1 m i 2 2 w 2 L 2 displaystyle L 1 m cdot i 1 2 cdot omega 1 m cdot i 2 2 cdot omega 2 L 2 nbsp Daraus ergibt sich dass die Winkelgeschwindigkeiten sich antiproportional zu den Quadraten der Tragheitsradien verhalten i 1 2 i 2 2 w 2 w 1 displaystyle frac i 1 2 i 2 2 frac omega 2 omega 1 nbsp Fur Punktmassen im Abstand i displaystyle i nbsp kann die Umfangsgeschwindigkeit v 1 2 i 1 2 w 1 2 displaystyle v 1 2 i 1 2 cdot omega 1 2 nbsp an Stelle der Winkelgeschwindigkeit genutzt werden sodass gilt i 1 i 2 v 2 v 1 displaystyle frac i 1 i 2 frac v 2 v 1 nbsp Da die Rotationsenergien W m 2 v 2 displaystyle textstyle W frac m 2 cdot v 2 nbsp ist gilt W 1 W 2 w 1 w 2 i 2 2 i 1 2 displaystyle frac W 1 W 2 frac omega 1 omega 2 frac i 2 2 i 1 2 nbsp Bei konstanter Masse m 1 m 2 displaystyle m 1 m 2 nbsp konnen wenn beispielsweise Tragheitsradien und eine der Winkelgeschwindigkeiten bekannt sind mit obiger Formel die andere Winkelgeschwindigkeit die Rotationsenergien sowie die Hubarbeit W D i f f W 1 W 2 displaystyle W mathrm Diff W 1 W 2 nbsp berechnet werden nbsp Ermittlung der Hubarbeit W D i f f displaystyle W mathrm Diff nbsp als Produkt aus Kraft und Weg Die Zentrifugalkraft F Z f m w 2 i displaystyle F mathrm Zf m omega 2 i nbsp wird uber die Anderung des Radius i displaystyle i nbsp integriert Die Hubarbeit kann auch direkt ermittelt werden W D i f f m 2 w 1 2 i 1 2 w 2 2 i 2 2 m 2 w 1 2 i 1 2 1 i 1 2 i 2 2 displaystyle begin aligned W mathrm Diff amp frac m 2 cdot left omega 1 2 cdot i 1 2 omega 2 2 cdot i 2 2 right amp frac m 2 cdot omega 1 2 cdot i 1 2 left 1 frac i 1 2 i 2 2 right end aligned nbsp Der Pirouetteneffekt ist ein Wechselspiel zwischen Hubenergie und Rotationsenergie Die Differenz der Rotationsenergien ist die Hubarbeit die beim Wechsel auf einen kleineren Radius wieder in Rotationsenergie zuruckverwandelt werden kann d h die Verringerung des Radius erfordert einen wachsenden Kraftaufwand uber die Distanz i 2 i 1 displaystyle i 2 i 1 nbsp Bei der Vergrosserung des Radius wird die in der Rotation gebundene Energie frei Der Tragheitsradius eines Massenpunkt ist sein Abstand von der Rotationsachse Bei mehreren Massepunkten wird dieser effektive Abstand bestimmt indem die Beitrage alle Massen m l displaystyle m l nbsp mit ihren jeweiligen Radien r l displaystyle r l nbsp aufsummiert werden i 2 l m l l r l 2 m l displaystyle i 2 sum l m l sum l r l 2 cdot m l nbsp Fur starre Korper die nicht um eine Haupttragheitsachse rotieren was bei Massenpunkten die untereinander wechselwirken und sich nicht in einer Ebene senkrecht zur Drehachse befinden im Allgemeinen der Fall ist muss die Drehimpulserhaltung L 1 L 2 8 1 w 1 8 2 w 2 displaystyle begin aligned vec L 1 amp vec L 2 mathbf Theta 1 vec omega 1 amp mathbf Theta 2 vec omega 2 end aligned nbsp mit den Tragheitstensoren 8 1 displaystyle mathbf Theta 1 nbsp und 8 2 displaystyle mathbf Theta 2 nbsp angenommen werden Trigonometrische Erklarung Bearbeiten nbsp Geschwindigkeits und Energieberechnung mit WinkelfunktionenDer rotierende Massenpunkt wird vom Radius i 1 displaystyle i 1 nbsp zum Radius i 2 displaystyle i 2 nbsp versetzt etwa durch Verlangern der Verbindung mit dem Drehpunkt Die Masse bewegt sich tangential geradlinig weiter bis zur ausseren Bahn Dabei nimmt sie die Geschwindigkeit v 1 displaystyle v 1 nbsp und die Rotationsenergie aus dem inneren Radius als kinetische Energie bis zum Radius i 2 displaystyle i 2 nbsp mit W 1 1 2 m v 1 2 displaystyle W 1 frac 1 2 m v 1 2 nbsp Auf dem ausseren Radius kann die Geschwindigkeit v 1 displaystyle v 1 nbsp in die Komponenten v 2 displaystyle v 2 nbsp und v R displaystyle v mathrm R nbsp zerlegt werden v 2 displaystyle v 2 nbsp ist die neue Umfangsgeschwindigkeit und v R displaystyle v mathrm R nbsp ist die gedachte Radialgeschwindigkeit die jedoch weil sie auf dem neuen Radius Null ist in Hubarbeit umgerechnet werden kann Die im Bild verwendeten Variablen Physikalische Grosse Formelcos a 1 i 1 i 2 2 displaystyle cos alpha sqrt 1 i 1 i 2 2 nbsp Umfangsgeschwindigkeit2 v 2 sin a v 1 displaystyle v 2 sin alpha v 1 nbsp Radialvektor v R cos a v 1 displaystyle v mathrm R cos alpha v 1 nbsp Rotationsenergiedifferenz W D i f f 1 2 m v R 2 displaystyle W mathrm Diff frac 1 2 m v mathrm R 2 nbsp Die Art des Ubergangs auf einen anderen Radius spielt fur den Endzustand keine Rolle In der Praxis wird die Bewegung spiralformig verlaufen im Ergebnis entsprechen aber die Werte fur Energie und Geschwindigkeit dem vereinfachten Beispiel Einzelnachweise Bearbeiten Sportmechanik Abschnitt Drehimpuls und Drehimpulserhaltung Abb 70 auf S 78 Literatur BearbeitenGunther Baumler Sportmechanik Grundlagen fur Studium und Praxis BLV Verlagsgesellschaft Munchen Wien Zurich 1981 ISBN 3 405 12435 2 David Halliday Robert Resnick Jearl Walker Physik 2 Auflage WILEY VCH Verlag GmbH amp co KGaA Berlin 2009 ISBN 978 3 527 40645 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pirouetteneffekt amp oldid 230871612