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Operationscharakteristik In der Statistik ist die auch OC Kurve OC englisch für operating characteristic oder OC Funktio

Operationscharakteristik

In der Statistik ist die Operationscharakteristik, auch OC-Kurve (OC: englisch für operating characteristic) oder OC-Funktion genannt, ein Konzept aus der Theorie statistischer Tests, mit dem ein funktionaler Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art und der tatsächlichen Lage des unbekannten Parameters einer Verteilungsfunktion hergestellt wird.

Abhängigkeit des Risikos 2. Art von der wahren Lage des Gegenparameters µ1 (im nebenstehenden Text θ1 genannt) bei einem ein- sowie zweiseitigen Hypothesentest.

Definition Bearbeiten

Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Gütefunktion bzw. Teststärke eines rechts-einseitigen Tests
Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Gütefunktion bzw. Teststärke eines zweiseitigen Tests

Gegeben ist eine Zufallsvariable mit einer Verteilungsfunktion , die von einem unbekannten Parameter abhängt. Für die Schätzung des Parameters werden Beobachtungen der Zufallsvariablen gemacht. Der Parameter kann dann durch eine Schätzfunktion

geschätzt werden. Es soll eine Vermutung bezüglich des wahren, unbekannten Parameters statistisch überprüft werden. Es wird also eine Hypothese bezüglich dieses Parameters aufgestellt, die sogenannte Nullhypothese . Man geht nun davon aus, dass bei Wahrheit der Nullhypothese der Schätzwert in der Nähe des wahren Parameters liegen müsste, und lehnt ab, wenn die Distanz zu groß ist, wenn also in den Ablehnungsbereich des Tests fällt. Der Ablehnungsbereich wird so festgelegt, dass von allen Stichproben selbst dann, wenn wahr wäre, ein Anteil von (häufig wählt man ) abgelehnt würde.

Man kann im Hypothesentest zwei Arten von Fehlern begehen:

  • Man lehnt ab, obwohl der wahre Parameter ist. Es handelt sich also um einen Fehler, den sogenannten α-Fehler oder Fehler 1. Art.
  • Man lehnt nicht ab, obwohl ein anderer Parameter der wahre Parameter ist. Das ist der β-Fehler oder Fehler 2. Art.

wird vor der Testprozedur festgelegt, dagegen hängt vom wahren Parameter ab, der in der Regel unbekannt ist. Man kann für die Risikoabschätzung einer falschen Entscheidung die β-Fehler für verschiedene alternative Parameterwerte berechnen. Der β-Fehler für einen alternativen Parameter berechnet sich als Wahrscheinlichkeit, dass in den Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese fällt, wenn bzw. obwohl in Wahrheit die Verteilung von regiert:

hängt also von ab und kann daher auch als Funktion des alternativen Parameters dargestellt werden:

Diese Funktion wird als Operationscharakteristik, häufig auch geschrieben, bezeichnet. Die Gegenwahrscheinlichkeit zu ist die Wahrscheinlichkeit, dass abgelehnt und dafür akzeptiert wird, wenn der wahre Parameter ist. Hier ist die Ablehnung von zu Gunsten von also erwünscht, weshalb die entsprechende Funktion auch Gütefunktion (und ihr Funktionswert für gegebenes Trennschärfe oder Teststärke) genannt wird.

Gütefunktion und Operationscharakteristik stellen damit beide vollständige Charakterisierungen des zugehörigen Tests dar. Man erkennt an ihnen bspw., ob der Test mit wachsender Beobachtungszahl immer besser wird (Konsistenz) und ob die Wahrscheinlichkeit, abzulehnen, größer ist, wenn zutrifft, als wenn zutrifft (Unverfälschtheit).

Beispiel Bearbeiten

β-Fehler: Die rote Normalverteilungskurve gibt an, wie der Stichprobenmittelwert X verteilt wäre, wenn μ = 260 g ist. Die rote Fläche repräsentiert den α-Fehler von 5 %. Die blaue Kurve zeigt die Verteilung von X, wenn μ in Wahrheit 255 g betrüge. Die blaue Fläche ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass X ≥ 256,7 ist und H0 damit nicht abgelehnt wird, obwohl die Forellen im Durchschnitt untergewichtig sind. Entsprechendes gilt für die grüne Kurve, bei der das wahre Durchschnittsgewicht der Forellen sogar nur noch 252 g beträgt – wie zu sehen, ist das Risiko 2. Art, sie dennoch als normalgewichtig einzustufen, nun wesentlich kleiner.
Operationscharakteristik: Der Ordinatenwert der Grafik gibt den β-Fehler in Abhängigkeit vom unbekannten Parameter μ1 an. Für μ = 260 ist der Wert 0,95, also gerade 1 - α.

Ein Forellenzüchter liefert seinem Großabnehmer Forellen, die im Durchschnitt mindestens 260 g wiegen sollen. Bei Lieferung wird getestet, ob das Durchschnittsgewicht mindestens 260 Gramm beträgt. Wird die Hypothese abgelehnt, wird die Lieferung beanstandet. Es sei bekannt, dass das Gewicht der Forellen normalverteilt ist mit der Varianz und einem unbekannten Erwartungswert . Es werden in einer Stichprobe Forellen gewogen, wobei die -te Forelle wiegt. Das Durchschnittsgewicht

dieser Forellen wird ermittelt. Da der Mittelwert bei jedem Versuch anders ausfällt, ist diese Größe ebenfalls eine Zufallsvariable und normalverteilt mit den Parametern

Die Hypothesen lauten nun und .

Soll der Fehler erster Art beispielsweise betragen, ergibt sich der kritische Wert für die Prüfgröße als

mit als -Quantil der Standardnormalverteilung.

wird also abgelehnt, wenn ist, der Ablehnungsbereich ist . Ist jetzt tatsächlich wahr, würde in 5 % aller Stichproben in den Ablehnungsbereich fallen, es würde die Lieferung zu Unrecht zurückgeschickt werden, was dem α-Fehler entspricht.

Es kann aber beispielsweise auch vorkommen, dass das Durchschnittsgewicht in Wahrheit beträgt, dass aber zufällig ist. Das ist der β-Fehler für . Die Prüfgröße ist nun bei unveränderter Varianz in Wahrheit normalverteilt wie

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist dann

und berechnet sich mit Hilfe der Normalverteilung als

wobei der Wert der Normalverteilungsfunktion mit den Parametern 255 und 2 an der Stelle 256,7 ist und der entsprechende Wert der Standardnormalverteilung. Es würde also in ca. 20 % aller Stichproben die Lieferung akzeptiert werden, obwohl die Forellen im Durchschnitt untergewichtig sind. Beträgt dagegen in Wahrheit , ergibt sich der β-Fehler als

hier ist die Gefahr einer falschen Entscheidung nur noch sehr gering. Die Grafik der Operationscharakteristik zeigt, wie mit wachsender Entfernung von der β-Fehler sinkt. Man ist bestrebt, möglichst schnell in den Bereich eines kleinen β-Fehlers zu kommen. Mit der Erhöhung des Stichprobenumfangs kann man den β-Fehler reduzieren. Einen Test mit kleinem β-Fehler nennt man auch trennscharf, weil hier die Verteilungen stark getrennt sind.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hartung, Joachim/Elpelt, Bärbel/Klösener, Karl-Heinz: Statistik – Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 9., durchges. Aufl., Oldenbourg, München 1993, insbesondere Seite 135ff und 381ff.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Operating characteristics – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bernd Rönz, Hans G. Strohe (1994), Lexikon Statistik, Gabler Verlag, S. 268
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Veröffentlichungsdatum:
In der Statistik ist die Operationscharakteristik auch OC Kurve OC englisch fur operating characteristic oder OC Funktion 1 genannt ein Konzept aus der Theorie statistischer Tests mit dem ein funktionaler Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2 Art und der tatsachlichen Lage des unbekannten Parameters 8 displaystyle theta einer Verteilungsfunktion F x 8 displaystyle F x theta hergestellt wird Abhangigkeit des Risikos 2 Art von der wahren Lage des Gegenparameters µ1 im nebenstehenden Text 81 genannt bei einem ein sowie zweiseitigen Hypothesentest Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Siehe auch 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Gutefunktion bzw Teststarke eines rechts einseitigen Tests nbsp Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Gutefunktion bzw Teststarke eines zweiseitigen TestsGegeben ist eine Zufallsvariable X displaystyle X nbsp mit einer Verteilungsfunktion F x 8 displaystyle F x theta nbsp die von einem unbekannten Parameter 8 displaystyle theta nbsp abhangt Fur die Schatzung des Parameters werden n displaystyle n nbsp Beobachtungen der Zufallsvariablen gemacht Der Parameter kann dann durch eine Schatzfunktion 8 t X 1 X 2 X n displaystyle hat theta t left X 1 X 2 dotsc X n right nbsp geschatzt werden Es soll eine Vermutung bezuglich des wahren unbekannten Parameters statistisch uberpruft werden Es wird also eine Hypothese bezuglich dieses Parameters aufgestellt die sogenannte Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp Man geht nun davon aus dass bei Wahrheit der Nullhypothese der Schatzwert 8 displaystyle hat theta nbsp in der Nahe des wahren Parameters 8 displaystyle theta nbsp liegen musste und lehnt H 0 displaystyle H 0 nbsp ab wenn die Distanz zu gross ist wenn also 8 displaystyle hat theta nbsp in den Ablehnungsbereich des Tests fallt Der Ablehnungsbereich A B displaystyle AB nbsp wird so festgelegt dass von allen Stichproben selbst dann wenn H 0 displaystyle H 0 nbsp wahr ware ein Anteil von a displaystyle alpha nbsp haufig wahlt man a 5 displaystyle alpha 5 nbsp abgelehnt wurde Man kann im Hypothesentest zwei Arten von Fehlern begehen Man lehnt H 0 displaystyle H 0 nbsp ab obwohl 8 0 displaystyle theta 0 nbsp der wahre Parameter ist Es handelt sich also um einen Fehler den sogenannten a Fehler oder Fehler 1 Art Man lehnt H 0 displaystyle H 0 nbsp nicht ab obwohl ein anderer Parameter 8 1 displaystyle theta 1 nbsp der wahre Parameter ist Das ist der b Fehler oder Fehler 2 Art a displaystyle alpha nbsp wird vor der Testprozedur festgelegt b displaystyle beta nbsp dagegen hangt vom wahren Parameter 8 1 displaystyle theta 1 nbsp ab der in der Regel unbekannt ist Man kann fur die Risikoabschatzung einer falschen Entscheidung die b Fehler fur verschiedene alternative Parameterwerte 8 1 displaystyle theta 1 nbsp berechnen Der b Fehler fur einen alternativen Parameter 8 1 displaystyle theta 1 nbsp berechnet sich als Wahrscheinlichkeit dass 8 displaystyle hat theta nbsp in den Nichtablehnungsbereich N A B displaystyle NAB nbsp der Nullhypothese H 0 displaystyle H 0 nbsp fallt wenn bzw obwohl in Wahrheit 8 1 displaystyle theta 1 nbsp die Verteilung von 8 displaystyle hat theta nbsp regiert b P 8 N A B 8 1 displaystyle beta operatorname P left hat theta in NAB mid theta 1 right nbsp b displaystyle beta nbsp hangt also von 8 1 displaystyle theta 1 nbsp ab und kann daher auch als Funktion des alternativen Parameters 8 1 displaystyle theta 1 nbsp dargestellt werden b f 8 1 displaystyle beta f theta 1 nbsp Diese Funktion wird als Operationscharakteristik haufig auch O C 8 1 displaystyle OC theta 1 nbsp geschrieben bezeichnet Die Gegenwahrscheinlichkeit zu b displaystyle beta nbsp ist die Wahrscheinlichkeit dass H 0 displaystyle H 0 nbsp abgelehnt und dafur H 1 displaystyle H 1 nbsp akzeptiert wird wenn 8 1 displaystyle theta 1 nbsp der wahre Parameter ist Hier ist die Ablehnung von H 0 displaystyle H 0 nbsp zu Gunsten von H 1 displaystyle H 1 nbsp also erwunscht weshalb die entsprechende Funktion g 8 1 1 O C 8 1 displaystyle gamma theta 1 1 OC theta 1 nbsp auch Gutefunktion und ihr Funktionswert fur gegebenes 8 1 displaystyle theta 1 nbsp Trennscharfe oder Teststarke genannt wird Gutefunktion und Operationscharakteristik stellen damit beide vollstandige Charakterisierungen des zugehorigen Tests dar Man erkennt an ihnen bspw ob der Test mit wachsender Beobachtungszahl immer besser wird Konsistenz und ob die Wahrscheinlichkeit H 0 displaystyle H 0 nbsp abzulehnen grosser ist wenn H 1 displaystyle H 1 nbsp zutrifft als wenn H 0 displaystyle H 0 nbsp zutrifft Unverfalschtheit Beispiel Bearbeiten nbsp b Fehler Die rote Normalverteilungskurve gibt an wie der Stichprobenmittelwert X verteilt ware wenn m 260 g ist Die rote Flache reprasentiert den a Fehler von 5 Die blaue Kurve zeigt die Verteilung von X wenn m in Wahrheit 255 g betruge Die blaue Flache ist dann die Wahrscheinlichkeit dass X 256 7 ist und H0 damit nicht abgelehnt wird obwohl die Forellen im Durchschnitt untergewichtig sind Entsprechendes gilt fur die grune Kurve bei der das wahre Durchschnittsgewicht der Forellen sogar nur noch 252 g betragt wie zu sehen ist das Risiko 2 Art sie dennoch als normalgewichtig einzustufen nun wesentlich kleiner nbsp Operationscharakteristik Der Ordinatenwert der Grafik gibt den b Fehler in Abhangigkeit vom unbekannten Parameter m1 an Fur m 260 ist der Wert 0 95 also gerade 1 a Ein Forellenzuchter liefert seinem Grossabnehmer Forellen die im Durchschnitt mindestens 260 g wiegen sollen Bei Lieferung wird getestet ob das Durchschnittsgewicht mindestens 260 Gramm betragt Wird die Hypothese abgelehnt wird die Lieferung beanstandet Es sei bekannt dass das Gewicht X displaystyle X nbsp der Forellen normalverteilt ist mit der Varianz s 2 64 g 2 displaystyle sigma 2 64 mathrm g 2 nbsp und einem unbekannten Erwartungswert m displaystyle mu nbsp Es werden in einer Stichprobe n 16 displaystyle n 16 nbsp Forellen gewogen wobei die i displaystyle i nbsp te Forelle x i g displaystyle x i mathrm g nbsp wiegt Das Durchschnittsgewicht x 1 n i 1 n x i displaystyle overline x frac 1 n sum i 1 n x i nbsp dieser Forellen wird ermittelt Da der Mittelwert bei jedem Versuch anders ausfallt ist diese Grosse ebenfalls eine Zufallsvariable X displaystyle overline X nbsp und normalverteilt mit den Parametern m displaystyle mu nbsp und Var X s 2 n displaystyle operatorname Var left overline X right frac sigma 2 n nbsp Die Hypothesen lauten nun H 0 m m 0 260 displaystyle H 0 colon mu geq mu 0 260 nbsp und H 1 m lt 260 displaystyle H 1 colon mu lt 260 nbsp Soll der Fehler erster Art beispielsweise a 0 05 displaystyle alpha 0 05 nbsp betragen ergibt sich der kritische Wert fur die Prufgrosse X displaystyle overline X nbsp als m 0 z 1 a s n 260 1 65 8 4 256 7 displaystyle mu 0 z 1 alpha cdot frac sigma sqrt n 260 1 65 cdot frac 8 4 256 7 nbsp mit z 1 a displaystyle z 1 alpha nbsp als 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Quantil der Standardnormalverteilung H 0 displaystyle H 0 nbsp wird also abgelehnt wenn x lt 256 7 displaystyle overline x lt 256 7 nbsp ist der Ablehnungsbereich ist 256 7 displaystyle infty 256 7 nbsp Ist jetzt tatsachlich m m 0 displaystyle mu mu 0 nbsp wahr wurde in 5 aller Stichproben x displaystyle overline x nbsp in den Ablehnungsbereich fallen es wurde die Lieferung zu Unrecht zuruckgeschickt werden was dem a Fehler entspricht Es kann aber beispielsweise auch vorkommen dass das Durchschnittsgewicht in Wahrheit m 255 g displaystyle mu 255 mathrm g nbsp betragt dass aber zufallig x gt 256 7 g displaystyle overline x gt 256 7 mathrm g nbsp ist Das ist der b Fehler fur m 255 g displaystyle mu 255 mathrm g nbsp Die Prufgrosse X displaystyle overline X nbsp ist nun bei unveranderter Varianz in Wahrheit normalverteilt wie X N 255 2 displaystyle overline X sim mathcal N 255 2 nbsp Die Wahrscheinlichkeit dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird ist dann P X 256 7 m 1 255 displaystyle P overline X geq 256 7 mid mu 1 255 nbsp und berechnet sich mit Hilfe der Normalverteilung als 1 F 256 7 255 64 16 1 F z 256 7 255 2 displaystyle 1 Phi left 256 7 mid 255 frac sqrt 64 sqrt 16 right 1 Phi z left frac 256 7 255 2 right nbsp 1 0 802 3 0 197 7 displaystyle 1 0 8023 0 1977 nbsp wobei F 256 7 255 2 displaystyle Phi 256 7 mid 255 2 nbsp der Wert der Normalverteilungsfunktion mit den Parametern 255 und 2 an der Stelle 256 7 ist und F z displaystyle Phi z nbsp der entsprechende Wert der Standardnormalverteilung Es wurde also in ca 20 aller Stichproben die Lieferung akzeptiert werden obwohl die Forellen im Durchschnitt untergewichtig sind Betragt dagegen in Wahrheit m 252 displaystyle mu 252 nbsp ergibt sich der b Fehler als 1 F 256 7 252 2 0 009 4 displaystyle 1 Phi 256 7 mid 252 2 0 0094 nbsp hier ist die Gefahr einer falschen Entscheidung nur noch sehr gering Die Grafik der Operationscharakteristik zeigt wie mit wachsender Entfernung von m 0 displaystyle mu 0 nbsp der b Fehler sinkt Man ist bestrebt moglichst schnell in den Bereich eines kleinen b Fehlers zu kommen Mit der Erhohung des Stichprobenumfangs kann man den b Fehler reduzieren Einen Test mit kleinem b Fehler nennt man auch trennscharf weil hier die Verteilungen stark getrennt sind Siehe auch BearbeitenROC KurveLiteratur BearbeitenHartung Joachim Elpelt Barbel Klosener Karl Heinz Statistik Lehr und Handbuch der angewandten Statistik 9 durchges Aufl Oldenbourg Munchen 1993 insbesondere Seite 135ff und 381ff Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Operating characteristics Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Bernd Ronz Hans G Strohe 1994 Lexikon Statistik Gabler Verlag S 268 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Operationscharakteristik amp oldid 234542978