Gütefunktion Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweise

Gütefunktion

Eine Gütefunktion, auch Trennschärfefunktion, Machtfunktion, Teststärkefunktion oder Testschärfefunktion, ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Jedem statistischen Test kann eine Gütefunktion zugewiesen werden. Diese ordnet im parametrischen Fall jedem Parameter die mittlere Entscheidung zu, die der Test trifft, wenn der Parameter wirklich vorliegt. Viele statistische Konzepte wie die Trennschärfe oder das Niveau eines Tests finden sich in der Gütefunktion wieder oder können über diese definiert werden.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge in Nullhypothese und Gegenhypothese (oder Alternative) . Des Weiteren sei ein statistischer Test

gegeben. Dann heißt die Funktion

definiert durch

die Gütefunktion des Tests . Hierbei bezeichnet den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes , d. h. der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen mit Werten im Stichprobenraum . Somit gibt die Gütefunktion an der Stelle an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Test die Nullhypothese ablehnt, wenn das Wahrscheinlichkeitsmaß vorliegt.

Ableitbare Begriffe Bearbeiten

Die folgenden Begriffe lassen sich über die Gütefunktion definieren oder finden sich in ihr wieder.

Niveau eines Tests Bearbeiten

Gütefunktion eines Binomialtests mit n = 30. Für alle Werte von p aus der Nullhypothese H₀: p ≤ 0,2 liegt G(p) unter dem Signifikanzniveau α = 5 %.

Ist ein Test zum Niveau , so gilt

Das Niveau eines Test ist somit eine obere Schranke für die Gütefunktion des Tests auf und somit auch eine obere Schranke für Fehler 1. Art des Tests. Dementsprechend sind Tests mit effektiven Niveau diejenigen, für die eine kleinste obere Schranke für ihre Gütefunktion auf ist und somit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist.

Trennschärfe eines Tests Bearbeiten

Die Trennschärfe eines Tests gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, sich für die Alternative zu entscheiden, wenn diese wirklich vorliegt. Somit ist die Trennschärfe des Tests für vorliegendes gegeben als . Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei Vorliegen von gegeben durch

Einhüllende Gütefunktion Bearbeiten

Ist eine Menge von Tests gegeben, so heißt die Funktion

definiert durch

die einhüllende Gütefunktion (engl. envelope power function). Sie ordnet jedem Element der Alternative den größten Trennschärfe-Wert aller Tests der Menge zu. Anwendung findet sie beispielsweise bei der Formulierung von Optimalitätskriterien von Tests wie gleichmäßig besten Tests oder strengen Tests. So sind die gleichmäßig besten Tests gerade die Tests, deren Gütefunktion auf der Alternative mit der einhüllenden Gütefunktion übereinstimmen.

Siehe auch Bearbeiten

Operationscharakteristik

Literatur Bearbeiten

Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 02:33 am

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Eine Gutefunktion auch Trennscharfefunktion Machtfunktion Teststarkefunktion oder Testscharfefunktion ist eine spezielle reellwertige Funktion in der Testtheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik Jedem statistischen Test kann eine Gutefunktion zugewiesen werden Diese ordnet im parametrischen Fall jedem Parameter die mittlere Entscheidung zu die der Test trifft wenn der Parameter wirklich vorliegt Viele statistische Konzepte wie die Trennscharfe oder das Niveau eines Tests finden sich in der Gutefunktion wieder oder konnen uber diese definiert werden Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Ableitbare Begriffe 2 1 Niveau eines Tests 2 2 Trennscharfe eines Tests 2 3 Einhullende Gutefunktion 3 Siehe auch 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein nicht notwendigerweise parametrisches statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle mathcal X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge 8 displaystyle Theta nbsp in Nullhypothese 8 0 displaystyle Theta 0 nbsp und Gegenhypothese oder Alternative 8 1 displaystyle Theta 1 nbsp Des Weiteren sei ein statistischer Test f X A 0 1 B 0 1 displaystyle varphi mathcal X mathcal A to 0 1 mathcal B 0 1 nbsp gegeben Dann heisst die Funktion G f 8 0 1 displaystyle G varphi colon Theta to 0 1 nbsp definiert durch G f ϑ E ϑ f X displaystyle G varphi vartheta operatorname E vartheta varphi X nbsp die Gutefunktion des Tests f displaystyle varphi nbsp Hierbei bezeichnet E ϑ displaystyle operatorname E vartheta nbsp den Erwartungswert bezuglich des Wahrscheinlichkeitsmasses P ϑ displaystyle P vartheta nbsp d h der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X displaystyle X nbsp mit Werten im Stichprobenraum X displaystyle mathcal X nbsp Somit gibt die Gutefunktion an der Stelle ϑ displaystyle vartheta nbsp an mit welcher Wahrscheinlichkeit der Test die Nullhypothese ablehnt wenn das Wahrscheinlichkeitsmass P ϑ displaystyle P vartheta nbsp vorliegt Ableitbare Begriffe BearbeitenDie folgenden Begriffe lassen sich uber die Gutefunktion definieren oder finden sich in ihr wieder Niveau eines Tests Bearbeiten nbsp Gutefunktion eines Binomialtests mit n 30 Fur alle Werte von p aus der Nullhypothese H0 p 0 2 liegt G p unter dem Signifikanzniveau a 5 Ist f displaystyle varphi nbsp ein Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp so gilt sup ϑ 8 0 G f ϑ a displaystyle sup vartheta in Theta 0 G varphi vartheta leq alpha nbsp Das Niveau eines Test ist somit eine obere Schranke fur die Gutefunktion des Tests auf 8 0 displaystyle Theta 0 nbsp und somit auch eine obere Schranke fur Fehler 1 Art des Tests Dementsprechend sind Tests mit effektiven Niveau a displaystyle alpha nbsp diejenigen fur die a displaystyle alpha nbsp eine kleinste obere Schranke fur ihre Gutefunktion auf 8 0 displaystyle Theta 0 nbsp ist und somit die Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler 1 Art a displaystyle alpha nbsp ist Trennscharfe eines Tests Bearbeiten Die Trennscharfe eines Tests gibt an wie gross die Wahrscheinlichkeit ist sich fur die Alternative zu entscheiden wenn diese wirklich vorliegt Somit ist die Trennscharfe des Tests f displaystyle varphi nbsp fur vorliegendes ϑ 8 1 displaystyle vartheta in Theta 1 nbsp gegeben als G f ϑ displaystyle G varphi vartheta nbsp Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit fur einen Fehler 2 Art bei Vorliegen von ϑ displaystyle vartheta nbsp gegeben durch b f ϑ 1 G f ϑ f u r ϑ 8 1 displaystyle beta varphi vartheta 1 G varphi vartheta quad mathrm f ddot u r vartheta in Theta 1 nbsp Einhullende Gutefunktion Bearbeiten Ist eine Menge von Tests T displaystyle mathcal T nbsp gegeben so heisst die Funktion b T 8 1 0 1 displaystyle beta mathcal T colon Theta 1 to 0 1 nbsp definiert durch b T ϑ sup f T G f ϑ displaystyle beta mathcal T vartheta sup varphi in mathcal T G varphi vartheta nbsp die einhullende Gutefunktion engl envelope power function Sie ordnet jedem Element der Alternative den grossten Trennscharfe Wert aller Tests der Menge T displaystyle mathcal T nbsp zu Anwendung findet sie beispielsweise bei der Formulierung von Optimalitatskriterien von Tests wie gleichmassig besten Tests oder strengen Tests So sind die gleichmassig besten Tests gerade die Tests deren Gutefunktion auf der Alternative mit der einhullenden Gutefunktion ubereinstimmen Siehe auch BearbeitenOperationscharakteristikLiteratur BearbeitenHans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gutefunktion amp oldid 239277267