www.wikidata.de-de.nina.az

Strenger Test Ein strenger Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie einem Teilgebiet der mathematis

Strenger Test

Ein strenger Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Ihre Bedeutung erhalten strenge Tests ebenso wie Maximin-Tests dadurch, dass sie im Gegensatz zu gleichmäßig besten Tests bereits unter schwachen Voraussetzungen existieren.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein (nicht notwendigerweise parametrisches) statistisches Modell sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge in Nullhypothese und Alternative .

Sei die Menge aller statistischen Tests zum Niveau . Sei die Gütefunktion des Tests und

die einhüllende Gütefunktion (englisch envelope power function) von .

Ein heißt ein strenger Test zum Niveau , wenn

Erläuterung Bearbeiten

Die einhüllende Gütefunktion liefert zu jedem Parameter die maximale Trennschärfe der Tests in , wenn vorliegt. Somit ist der Ausdruck

das Defizit der Trennschärfe von im Bezug auf die maximal mögliche Trennschärfe an der Stelle . Folglich ist

das maximale Defizit der Trennschärfe des Tests .

Somit ist eine strenger Test ein Test, bei dem die maximale Abweichung von der maximal möglichen Trennschärfe (und somit der einhüllenden Gütefunktion) kleiner ist als bei jedem anderen Test zu einem vorgegebenen Niveau.

Existenz Bearbeiten

Die Existenz von strengen Tests lässt sich unter recht schwachen Voraussetzungen zeigen. Zentrales Hilfsmittel hierzu ist die schwache Konvergenz und die Schwach-*-Konvergenz in und .

Zentrale Aussage ist, dass wenn ein σ-endliches Maß existiert, so dass oder von diesem Maß dominiert werden, ein strenger Test zum Niveau existiert.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein strenger Test ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie einem Teilgebiet der mathematischen Statistik Ihre Bedeutung erhalten strenge Tests ebenso wie Maximin Tests dadurch dass sie im Gegensatz zu gleichmassig besten Tests bereits unter schwachen Voraussetzungen existieren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erlauterung 3 Existenz 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein nicht notwendigerweise parametrisches statistisches Modell X A P ϑ 8 8 displaystyle mathcal X mathcal A P vartheta theta in Theta nbsp sowie eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge 8 displaystyle Theta nbsp in Nullhypothese 8 0 displaystyle Theta 0 nbsp und Alternative 8 1 displaystyle Theta 1 nbsp Sei T a displaystyle mathcal T alpha nbsp die Menge aller statistischen Tests zum Niveau a displaystyle alpha nbsp Sei G f displaystyle G varphi nbsp die Gutefunktion des Tests f displaystyle varphi nbsp und b T a ϑ sup f T a G f ϑ displaystyle beta mathcal T alpha vartheta sup varphi in mathcal T alpha G varphi vartheta nbsp die einhullende Gutefunktion englisch envelope power function von T a displaystyle mathcal T alpha nbsp Ein ps T a displaystyle psi in mathcal T alpha nbsp heisst ein strenger Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp wenn sup ϑ 8 1 b T a ϑ G ps ϑ inf f T a sup ϑ 8 1 b T a ϑ G f ϑ displaystyle sup vartheta in Theta 1 left beta mathcal T alpha vartheta G psi vartheta right inf varphi in mathcal T alpha sup vartheta in Theta 1 left beta mathcal T alpha vartheta G varphi vartheta right nbsp Erlauterung BearbeitenDie einhullende Gutefunktion liefert zu jedem Parameter ϑ 8 1 displaystyle vartheta in Theta 1 nbsp die maximale Trennscharfe der Tests in T a displaystyle mathcal T alpha nbsp wenn ϑ displaystyle vartheta nbsp vorliegt Somit ist der Ausdruck b T a ϑ G ps ϑ displaystyle beta mathcal T alpha vartheta G psi vartheta nbsp das Defizit der Trennscharfe von PS displaystyle Psi nbsp im Bezug auf die maximal mogliche Trennscharfe an der Stelle ϑ displaystyle vartheta nbsp Folglich ist sup ϑ 8 1 b T a ϑ G ps ϑ displaystyle sup vartheta in Theta 1 left beta mathcal T alpha vartheta G psi vartheta right nbsp das maximale Defizit der Trennscharfe des Tests ps displaystyle psi nbsp Somit ist eine strenger Test ein Test bei dem die maximale Abweichung von der maximal moglichen Trennscharfe und somit der einhullenden Gutefunktion kleiner ist als bei jedem anderen Test zu einem vorgegebenen Niveau Existenz BearbeitenDie Existenz von strengen Tests lasst sich unter recht schwachen Voraussetzungen zeigen Zentrales Hilfsmittel hierzu ist die schwache Konvergenz und die Schwach Konvergenz in L 1 displaystyle L 1 nbsp und L displaystyle L infty nbsp Zentrale Aussage ist dass wenn ein s endliches Mass m displaystyle mu nbsp existiert so dass P ϑ ϑ 8 0 displaystyle P vartheta vartheta in Theta 0 nbsp oder P ϑ ϑ 8 1 displaystyle P vartheta vartheta in Theta 1 nbsp von diesem Mass dominiert werden ein strenger Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp existiert Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Strenger Test amp oldid 230979734