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Natürliche Operation Die Hessenbergschen natürlichen Operationen benannt nach Gerhard Hessenberg sind mathematische Rech

Natürliche Operation

Die Hessenbergschen natürlichen Operationen, benannt nach Gerhard Hessenberg, sind mathematische Rechenoperationen für Ordinalzahlen und benutzen wesentlich die Cantorschen Normalformen der Operanden und damit die transfinite Arithmetik der Ordinalzahlen.

Cantorsche Normalform Bearbeiten

Die Cantorsche Normalform einer Ordinalzahl hat die Gestalt einer Summe von -Potenzen, deren Summanden nach fallender Größe geordnet und sämtlich sind:

wobei die Exponenten selbst Ordinalzahlen sind und die Koeffizienten natürliche Zahlen.

Die Cantorsche Normalform der Ordinalzahl ist die Summe mit dem einzigen Summanden .

Natürliche Summe Bearbeiten

Die natürliche Summe zweier Ordinalzahlen wird durch ihre Cantorsche Normalform festgelegt. Diese Cantorsche Normalform von ergibt sich aus den Cantorschen Normalformen von und dadurch, dass man deren beider Summanden formal zu einer neuen Summe zusammenfügt, dabei die Koeffizienten von Summanden mit gleicher -Potenz addiert, und schließlich diese Summanden wieder nach absteigenden -Potenzen ordnet.

Diese natürliche Addition ist nicht nur assoziativ und echt monoton, wie die gewöhnliche Addition von Ordinalzahlen, sie ist auch kommutativ. Und die Ordinalzahl 0 ist wieder neutrales Element auch bei der natürlichen Addition.

Natürliches Produkt Bearbeiten

Analog wird das natürliche Produkt zweier Ordinalzahlen durch seine Cantorsche Normalform festgelegt. Diese Cantorsche Normalform von ergibt sich aus den Cantorschen Normalformen von und dadurch, dass man diese beiden Summen formal ausmultipliziert, dabei das formale Produkt zweier Summanden und als Summanden versteht. Wichtig ist dabei, dass im -Exponenten dieses Summanden die natürliche Summe der -Exponenten seiner formalen Faktoren steht.

Schließlich werden alle diese Summanden wieder nach absteigenden -Potenzen geordnet und als Summe zusammengefasst.

Diese natürliche Multiplikation ist, wie die gewöhnliche Multiplikation von Ordinalzahlen, assoziativ und streng monoton bei natürlicher Multiplikation mit einem Faktor . Sie hat als Nullelement und als neutrales Element. Zusätzlich ist sie aber auch kommutativ und (vollständig) distributiv bezüglich der natürlichen Addition.

Damit bilden die Ordinalzahlen hinsichtlich der Hessenbergschen natürlichen Operationen und ihrer gewöhnlichen Wohlordnung einen geordneten kommutativen Ring mit Einselement.

Beispiele Bearbeiten

Es ist und sogar immer für Ordinalzahlen und natürliche Zahlen .

Es ist und damit verschieden sowohl von als auch von .

Und es ist und erneut verschieden sowohl von als auch von .

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die Hessenbergschen naturlichen Operationen benannt nach Gerhard Hessenberg sind mathematische Rechenoperationen fur Ordinalzahlen und benutzen wesentlich die Cantorschen Normalformen der Operanden und damit die transfinite Arithmetik der Ordinalzahlen Inhaltsverzeichnis 1 Cantorsche Normalform 2 Naturliche Summe 3 Naturliches Produkt 4 Beispiele 5 LiteraturCantorsche Normalform BearbeitenDie Cantorsche Normalform einer Ordinalzahl a 0 displaystyle alpha neq 0 nbsp hat die Gestalt einer Summe von w displaystyle omega nbsp Potenzen deren Summanden nach fallender Grosse geordnet und samtlich 0 displaystyle neq 0 nbsp sind a w l m a a k m a a w l 0 a k 0 a i m a w l i a k i a displaystyle alpha omega lambda m alpha alpha kappa m alpha alpha cdots omega lambda 0 alpha kappa 0 alpha sum i leq m alpha omega lambda i alpha kappa i alpha nbsp wobei die Exponenten l 0 a lt lt l m a a a displaystyle lambda 0 alpha lt dots lt lambda m alpha alpha leq alpha nbsp selbst Ordinalzahlen sind und die Koeffizienten 0 lt k 0 a k m a a lt w displaystyle 0 lt kappa 0 alpha dots kappa m alpha alpha lt omega nbsp naturliche Zahlen Die Cantorsche Normalform der Ordinalzahl a 0 displaystyle alpha 0 nbsp ist die Summe mit dem einzigen Summanden 0 w 0 0 displaystyle 0 omega 0 0 nbsp Naturliche Summe BearbeitenDie naturliche Summe a b displaystyle alpha oplus beta nbsp zweier Ordinalzahlen wird durch ihre Cantorsche Normalform festgelegt Diese Cantorsche Normalform von a b displaystyle alpha oplus beta nbsp ergibt sich aus den Cantorschen Normalformen von a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp dadurch dass man deren beider Summanden formal zu einer neuen Summe zusammenfugt dabei die Koeffizienten von Summanden mit gleicher w displaystyle omega nbsp Potenz addiert und schliesslich diese Summanden wieder nach absteigenden w displaystyle omega nbsp Potenzen ordnet Diese naturliche Addition displaystyle oplus nbsp ist nicht nur assoziativ und echt monoton wie die gewohnliche Addition von Ordinalzahlen sie ist auch kommutativ Und die Ordinalzahl 0 ist wieder neutrales Element auch bei der naturlichen Addition Naturliches Produkt BearbeitenAnalog wird das naturliche Produkt a b displaystyle alpha odot beta nbsp zweier Ordinalzahlen durch seine Cantorsche Normalform festgelegt Diese Cantorsche Normalform von a b displaystyle alpha odot beta nbsp ergibt sich aus den Cantorschen Normalformen von a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp dadurch dass man diese beiden Summen formal ausmultipliziert dabei das formale Produkt zweier Summanden w l i a k i a displaystyle omega lambda i alpha kappa i alpha nbsp und w l j b k j b displaystyle omega lambda j beta kappa j beta nbsp als Summanden w l i a l j b k i a k j b displaystyle omega lambda i alpha oplus lambda j beta kappa i alpha cdot kappa j beta nbsp versteht Wichtig ist dabei dass im w displaystyle omega nbsp Exponenten dieses Summanden die naturliche Summe der w displaystyle omega nbsp Exponenten seiner formalen Faktoren steht Schliesslich werden alle diese Summanden wieder nach absteigenden w displaystyle omega nbsp Potenzen geordnet und als Summe zusammengefasst Diese naturliche Multiplikation displaystyle odot nbsp ist wie die gewohnliche Multiplikation von Ordinalzahlen assoziativ und streng monoton bei naturlicher Multiplikation mit einem Faktor 0 displaystyle neq 0 nbsp Sie hat a 0 displaystyle alpha 0 nbsp als Nullelement und a 1 displaystyle alpha 1 nbsp als neutrales Element Zusatzlich ist sie aber auch kommutativ und vollstandig distributiv bezuglich der naturlichen Addition Damit bilden die Ordinalzahlen hinsichtlich der Hessenbergschen naturlichen Operationen und ihrer gewohnlichen Wohlordnung einen geordneten kommutativen Ring mit Einselement Beispiele BearbeitenEs ist w 1 w 1 displaystyle omega oplus 1 omega 1 nbsp und sogar immer a n a n displaystyle alpha oplus n alpha n nbsp fur Ordinalzahlen a displaystyle alpha nbsp und naturliche Zahlen n lt w displaystyle n lt omega nbsp Es ist w 2 w 1 w 2 3 displaystyle omega 2 oplus omega 1 omega cdot 2 3 nbsp und damit verschieden sowohl von w 2 w 1 w 2 1 displaystyle omega 2 omega 1 omega cdot 2 1 nbsp als auch von w 1 w 2 w 2 2 displaystyle omega 1 omega 2 omega cdot 2 2 nbsp Und es ist w 1 w 2 w 2 w 3 2 displaystyle omega 1 odot omega 2 omega 2 omega cdot 3 2 nbsp und erneut verschieden sowohl von w 1 w 2 w 2 w 2 1 displaystyle omega 1 cdot omega 2 omega 2 omega cdot 2 1 nbsp als auch von w 2 w 1 w 2 w 2 displaystyle omega 2 cdot omega 1 omega 2 omega 2 nbsp Literatur BearbeitenHeinz Bachmann Transfinite Zahlen Springer 1967 Dieter Klaua Allgemeine Mengenlehre Akademie Verlag Berlin 1964 Waclaw Sierpinski Cardinal and ordinal numbers Warschau 1965 OCLC 500328243 Kazimierz Kuratowski Andrzej Mostowski Set theory North Holland 1976 OCLC 251672808 Felix Hausdorff Grundzuge der Mengenlehre 1914 Chelsea Publishing New York 1949 OCLC 888238 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Naturliche Operation amp oldid 227479226