Der Maximalitatssatz von Wermer auch Wermers Maximalitatssatz genannt englisch Wermer s maximality theorem ist ein mathematischer Lehrsatz welcher zwischen Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist Der Satz geht zuruck auf den Mathematiker John Wermer und behandelt Maximalitatseigenschaften einer speziellen banachschen Funktionenalgebra uber dem Korper der komplexen Zahlen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Charakterisierung der Teilalgebra 3 Verallgemeinerung des Maximalitatssatzes 4 Siehe auch 5 Quellen 6 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Maximalitatssatz von Wermer lasst sich angeben wie folgt 1 Sei D z C z 1 C displaystyle mathbb D z in mathbb C colon z leq 1 subseteq mathbb C nbsp die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im Korper der komplexen Zahlen deren topologischer Rand die Einheitssphare S 1 z C z 1 displaystyle S 1 z in mathbb C colon z 1 nbsp ist 2 Sei dazu C C S 1 C displaystyle mathcal C mathcal C S 1 mathbb C nbsp die C displaystyle mathbb C nbsp Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen f S 1 C displaystyle f colon S 1 to mathbb C nbsp versehen mit den ublichen punktweise definierten Operationen und der Maximumsnorm Hier sei schliesslich A displaystyle mathcal A nbsp die Teilmenge derjenigen Funktionen f C displaystyle f in mathcal C nbsp welche eine stetige Fortsetzung auf D displaystyle mathbb D nbsp derart besitzen dass diese Fortsetzungsfunktion auf der offenen Einheitskreisscheibe E D z C z lt 1 displaystyle mathbb E mathbb D circ z in mathbb C colon z lt 1 nbsp sogar holomorph ist 3 4 Dann gilt A displaystyle mathcal A nbsp bildet eine echte abgeschlossene Teilalgebra von C displaystyle mathcal C nbsp und ist als solche maximal Das bedeutet A displaystyle mathcal A nbsp ist eine echte abgeschlossene Teilalgebra von C displaystyle mathcal C nbsp und es existiert keine andere abgeschlossene Teilalgebra B displaystyle mathcal B nbsp von C displaystyle mathcal C nbsp mit A B C displaystyle mathcal A subsetneqq mathcal B subsetneqq mathcal C nbsp Charakterisierung der Teilalgebra BearbeitenHinsichtlich der Zugehorigkeit einer gegebenen Funktion f C displaystyle f in mathcal C nbsp zu der Teilalgebra A displaystyle mathcal A nbsp gilt das folgende Kriterium 1 f A displaystyle f in mathcal A iff nbsp k N 0 2 p f e i ϕ e i k ϕ d ϕ 0 displaystyle forall k in mathbb N colon int 0 2 pi f e i phi e ik phi d phi 0 nbsp Verallgemeinerung des Maximalitatssatzes BearbeitenWermers Maximalitatssatz hat folgende Verallgemeinerung aus der unter anderem hervorgeht dass neben A displaystyle mathcal A nbsp noch weitere maximale abgeschlossenen Teilalgebren in C displaystyle mathcal C nbsp existieren 1 Sei D displaystyle mathcal D nbsp eine abgeschlossene Teilalgebra von C displaystyle mathcal C nbsp welche 1 die konstanten komplexwertigen Funktionen enthalt und 2 eine Funktion g C displaystyle g in mathcal C nbsp deren Einschrankung g S 1 displaystyle g upharpoonright S 1 nbsp auf die Einheitssphare injektiv ist dd Dann bildet D displaystyle mathcal D nbsp eine echte abgeschlossene Teilalgebra von C displaystyle mathcal C nbsp welche als solche maximal ist oder es ist D C displaystyle mathcal D mathcal C nbsp Siehe auch BearbeitenDiskalgebraQuellen BearbeitenPaul J Cohen A note on constructive methods in Banach algebras In Proceedings of the American Mathematical Society Band 12 1961 S 159 163 doi 10 2307 2034144 MR0124515 Edmund Landau Dieter Gaier Darstellung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie 3 erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 1986 ISBN 3 540 16886 9 MR0869998 G Lumer On Wermer s maximality theorem In Inventiones Mathematicae Band 8 1969 S 236 237 doi 10 1007 BF01406075 MR0251542 Walter Rudin Analyticity and the maximum modulus principle In Duke Mathematical Journal Band 20 1953 S 449 457 doi 10 1215 S0012 7094 53 02045 6 MR0056076 John Wermer On algebras of continuous functions In Proceedings of the American Mathematical Society Band 4 1953 S 866 869 doi 10 2307 2031819 MR0058877 Einzelnachweise Bearbeiten a b c d Edmund Landau Dieter Gaier Darstellung und Begrundung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie 1986 S 174 181 z z displaystyle z mapsto z nbsp ist die komplexe Betragsfunktion E displaystyle mathbb E nbsp besteht also aus den inneren Punkten von D displaystyle mathbb D nbsp A displaystyle mathcal A nbsp ist im Wesentlichen mit der Diskalgebra gleichzusetzen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maximalitatssatz von Wermer amp oldid 230833829
