In der Mathematik ist die Mangoldt Funktion auch Von Mangoldt Funktion benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans von Mangoldt eine zahlentheoretische Funktion die ublicherweise mit L displaystyle Lambda bezeichnet wird Die Mangoldt Funktion besitzt die Eigenschaft dass zusammengesetzte Zahlen rausgefiltert werden und nur die Primzahlen und Primzahlpotenzen ubrig bleiben Der Wert der Mangoldt Funktion ist dann der Logarithmus der Primzahl Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften 1 1 Erlauterungen 1 2 exp L n 1 3 Summierte Mangoldt Funktion 1 4 Teilersummen 1 4 1 Folgerungen 2 Dirichlet Reihen 3 Verallgemeinerte Mangoldt Funktion 3 1 Eigenschaften 4 Abschatzen der Mangoldt Funktion 5 Referenzen 6 EinzelnachweiseDefinitionen und grundlegende Eigenschaften BearbeitenDie Mangoldtsche Funktion ist definiert als L n log p falls n sich als n p k darstellen l a s s t wobei p prim und k N 0 sonst displaystyle Lambda n begin cases log p amp text falls n text sich als n p k text darstellen mathrm l ddot a sst text wobei p text prim und k in mathbb N 0 amp text sonst end cases nbsp Erlauterungen Bearbeiten Fur zusammengesetzte Zahlen n displaystyle n nbsp also L n 0 n p 1 r 1 p n r n n 2 displaystyle Lambda n 0 iff n p 1 r 1 dots p n r n qquad n geq 2 nbsp wobei p 1 r 1 p n r n displaystyle p 1 r 1 dots p n r n nbsp ihre Primfaktorzerlegung bezeichnet Das heisst die Mangoldt Funktion filtert in einem ersten Schritt sozusagen die Primzahlen und Primzahlpotenzen raus in dem die zusammengesetzten Zahlen mit 0 displaystyle 0 nbsp identifiziert werden In einem zweiten Schritt werden die Primzahlpotenzen und die Primzahlen mit dem Logarithmus der zugrundeliegenden Primzahl identifiziert Die ersten Werte von L n displaystyle Lambda n nbsp sind 0 log 2 log 3 log 2 log 5 0 log 7 log 2 log 3 0 log 11 0 log 13 0 0 log 2 log 17 0 log 19 0 0 0 displaystyle 0 log 2 log 3 log 2 log 5 0 log 7 log 2 log 3 0 log 11 0 log 13 0 0 log 2 log 17 0 log 19 0 0 0 dots nbsp Die Mangoldt Funktion ist weder eine additive Funktion noch multiplikative Funktion exp L n Bearbeiten exp L n displaystyle exp Lambda n nbsp lasst sich explizit angeben als e L n kgV 1 2 3 n kgV 1 2 3 n 1 displaystyle e Lambda n frac operatorname kgV 1 2 3 dotsc n operatorname kgV 1 2 3 dotsc n 1 nbsp wobei k g V displaystyle rm kgV nbsp das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichnet Die ersten Werte der Folge exp L n displaystyle exp Lambda n nbsp sind 1 2 3 2 5 1 7 2 3 1 11 1 13 1 1 2 17 1 19 1 1 1 displaystyle 1 2 3 2 5 1 7 2 3 1 11 1 13 1 1 2 17 1 19 1 1 1 dots nbsp Folge A014963 in OEIS Summierte Mangoldt Funktion Bearbeiten Die summierte Mangoldt Funktion ps n i 1 n L i displaystyle psi n sum i 1 n Lambda i nbsp wird auch als Tschebyschow Funktion bezeichnet Sie spielt beim Beweis des Primzahlsatzes eine Rolle Teilersummen Bearbeiten Bezeichne mit m n displaystyle mu n nbsp die Mobius Funktion Alle in diesem Abschnitt folgenden Formeln gelten fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp Es gilt d n L d log n displaystyle sum d mid n Lambda d log n nbsp Weiter gilt L n d n m d log n d 1 displaystyle Lambda n sum d mid n mu left d right log left frac n d right qquad 1 nbsp L n d n m d log d 2 displaystyle Lambda n sum d mid n mu d log d quad quad 2 nbsp L n d n m n d log d displaystyle Lambda n sum d mid n mu left frac n d right cdot log d nbsp d n m n d L d m n log n displaystyle sum d mid n mu left frac n d right Lambda d mu n log n nbsp Durch Anwendung der Mobius Inversionsformel kann 1 displaystyle 1 nbsp gezeigt werden 2 displaystyle 2 nbsp folgt daraus Hierbei bedeutet d n displaystyle d mid n nbsp dass d displaystyle d nbsp ein positiver Teiler von n displaystyle n nbsp ist d h die Summen laufen uber alle positiven Teiler von n displaystyle n nbsp Folgerungen Bearbeiten Sei p displaystyle p nbsp eine Primzahl Beziehung 2 displaystyle 2 nbsp kann man zum Beispiel nutzen wenn man Primzahlzwillinge p p 2 displaystyle p p 2 nbsp untersucht p x L p 2 p x d p 2 m d log d displaystyle sum limits p leq x Lambda p 2 sum limits p leq x sum d mid p 2 mu d log d nbsp Dirichlet Reihen BearbeitenDie Mangoldt Funktion spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Dirichletreihen Es gilt log z s n 2 1 n s L n log n f u r R e s gt 1 displaystyle log zeta s sum n 2 infty frac 1 n s frac Lambda n log n qquad quad mathrm f ddot u r Re s gt 1 nbsp Die logarithmische Ableitung davon liefert einen Zusammenhang zwischen der Riemannschen z displaystyle zeta nbsp Funktion und der Mangoldt Funktion z s z s n 1 L n n s f u r R e s gt 1 displaystyle frac zeta prime s zeta s sum n 1 infty frac Lambda n n s qquad quad mathrm f ddot u r Re s gt 1 nbsp Allgemeiner gilt sogar Ist f displaystyle f nbsp multiplikativ und ihre Dirichletreihe F displaystyle F nbsp F s n 1 f n n s displaystyle F s sum n 1 infty frac f n n s nbsp konvergiert fur gewisse s displaystyle s nbsp dann gilt F s F s n 1 f n L n n s displaystyle frac F prime s F s sum n 1 infty frac f n Lambda n n s nbsp Verallgemeinerte Mangoldt Funktion BearbeitenDie verallgemeinerte Mangoldt Funktion ist definiert als L k n d n m d log k n d displaystyle Lambda k n sum limits d mid n mu d log k n d nbsp wobei m displaystyle mu nbsp die Mobius Funktion bezeichnet und k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp Als Dirichlet Faltung geschrieben L k n m log k n displaystyle Lambda k n mu ast log k n nbsp Im Fall k 1 displaystyle k 1 nbsp erhalt man die gewohnliche Mangoldt Funktion L 1 L displaystyle Lambda 1 Lambda nbsp 1 Eigenschaften Bearbeiten Fur k 1 displaystyle k geq 1 nbsp gilt folgende Rekursion 2 L k 1 n L k n log n L k L n displaystyle Lambda k 1 n Lambda k n log n Lambda k ast Lambda n nbsp dd Es folgt aus der Rekursion dass wenn w n gt k displaystyle omega n gt k nbsp dann ist L k n 0 displaystyle Lambda k n 0 nbsp Abschatzen der Mangoldt Funktion BearbeitenDas Abschatzen der Mangoldt Funktion ist ein zentrales Problem der analytischen Zahlentheorie Es gibt hierzu verschiedene Methoden wie Winogradows Methode der Null Dichte Methoden englisch zero density methods und Vaughans Identitat Referenzen BearbeitenEric W Weisstein Mangoldt Function In MathWorld englisch SpringerlinkEinzelnachweise Bearbeiten John Friedlander und Henryk Iwaniec Opera de Cribro In American Mathematical Society Hrsg American Mathematical Society Colloquium Publications Band 57 2010 ISBN 978 0 8218 4970 5 S 23 englisch J B Friedlander D R Heath Brown H Iwaniec J Kaczorowski Analytic Number Theory Lectures Given at the C I M E Summer School Held in Cetraro Italy July 11 18 2002 Hrsg Physica Verlag Deutschland 2006 S 16 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mangoldt Funktion amp oldid 234094553
