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Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt Funktion Λ n displaystyle Lambda

Vaughans Identität

Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt-Funktion . Die Identität wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veröffentlicht.

Es existieren leicht verschiedene Formen der Identität, die aber allesamt gleichwertig sind. 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath-Brown.

Einführung Bearbeiten

In vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form

abschätzen, wobei die Mangoldt-Funktion ist und oft eine zahlentheoretische Funktion. Es gibt hierfür drei klassische Methoden

  1. Winogradows Methode.
  2. Null-Dichte-Methoden für Dirichletsche L-Funktionen (englisch zero density methods).
  3. Vaughans Identität.

Winogradows Methode: Winogradow studierte trigonometrische Summen

und fand dabei eine Methode diese abzuschätzen. Er bewies damit seinen Satz von Winogradow. Seine Methode lässt sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt-Funktion übertragen, jedoch ist sie nicht-trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden.

Null-Dichte-Methoden: Die zweite Methode behandelt Schranken für die Null-Dichte, dies sind obere Schranken für die Funktion , welche die Anzahl der Nullstellen der Funktion in der Region zählt. Solche Schranken wiederum können aus den Ungleichungen des großen Siebs hergeleitet werden.

Vaughans Identität Bearbeiten

Seien zwei positive Schranken und , dann lässt sich die Mangoldt-Funktion in vier Funktionen aufteilen

wobei

und

bezeichnet die Möbius-Funktion, welche für natürliche Zahlen definiert ist.

Erläuterungen Bearbeiten

Man unterscheidet zwei Fälle, für den ersten Fall ist nur relevant

Man kann zeigen, dass in diesem Fall und offensichtlich auch .

Im zweiten Fall sind hingegen nur die drei Summen relevant

Herleitung Bearbeiten

Wir führen folgende Hilfsfunktionen ein

Die Dirichletreihe mit der Mangoldt-Funktion lässt sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler-Produkts als Zeta-Funktion schreiben

Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von und etwas um (durch ausmultiplizieren sieht man, dass beide Seiten äquivalent sind)

Jedes der kann als Dirichlet-Reihe dargestellt werden und somit

wobei der Koeffizient von in ist.

Als nächstes schreiben wir die Mangoldt-Funktion um

wobei sich die rechte Seite daraus erklärt, dass wir über alle Kombinationen der Form summieren (da summiert man über alle Teiler) und . Teilen wir diese Summe in und auf, so ist ersteres . Die Summe mit schreiben wir um, indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt-Funktion darstellen, und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge mit einem Vorzeichenwechsel

Die rechte Seite lässt sich dann nochmals umschreiben und in und aufteilen, dann erhält man und .

Heath-Browns Identität Bearbeiten

Definiere für die Hilfsfunktion

Für gilt

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Robert C. Vaughan: Sommes trigonométriques sur les nombres premiers. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A. Band 285, Nr. 16, 1977, S. 981–983 (französisch).
  2. ↑ D. R. Heath-Brown: Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 6, 1982, S. 1365–1377, doi:10.4153/CJM-1982-095-9.
  3. Iwan Matwejewitsch Winogradow: The Method Of Trigonometric Sums In The Theory Of Numbers. 1954, Kap. 9 (archive.org).
  4. Hugh L. Montgomery: Topics in multiplicative number theory. Hrsg.: Springer. Berlin 1971 (Kapitel 15 und 16).
  5. Alisa Sedunova: Points on algebraic curves over function fields, primes in arithmetic progressions : beyond Bombieri-Pila and Bombieri-Vinogradov theorems. Hrsg.: Universität Paris-Saclay. 2017, S. 56 (archives-ouvertes.fr – Doktorarbeit).
  6. Glyn Harman: Prime-Detecting Sieves. In: London Mathematical Society Monographs. Band 1, S. 25.
  7. Robert C. Vaughan: The Bombieri-Vinogradov Theorem. S. 19 (Lectures Notes).
  8. D. R. Heath-Brown: Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 34, Nr. 6, 1982, S. 1367, doi:10.4153/CJM-1982-095-9.
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Vaughans Identitat ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie fur die Mangoldt Funktion L n displaystyle Lambda n Die Identitat wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veroffentlicht 1 Es existieren leicht verschiedene Formen der Identitat die aber allesamt gleichwertig sind 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath Brown 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrung 2 Vaughans Identitat 2 1 Erlauterungen 3 Herleitung 4 Heath Browns Identitat 5 EinzelnachweiseEinfuhrung BearbeitenIn vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form n L n f n displaystyle sum limits n Lambda n f n nbsp abschatzen wobei L n displaystyle Lambda n nbsp die Mangoldt Funktion ist und f n displaystyle f n nbsp oft eine zahlentheoretische Funktion Es gibt hierfur drei klassische Methoden 2 Winogradows Methode 3 Null Dichte Methoden fur Dirichletsche L Funktionen L s x displaystyle L s chi nbsp englisch zero density methods 4 Vaughans Identitat Winogradows Methode Winogradow studierte trigonometrische Summen p n p prime e a p wobei e x exp 2 p i x displaystyle sum limits p leq n p text prime e alpha p quad text wobei e x exp 2 pi ix nbsp und fand dabei eine Methode diese abzuschatzen Er bewies damit seinen Satz von Winogradow Seine Methode lasst sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt Funktion ubertragen jedoch ist sie nicht trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden Null Dichte Methoden Die zweite Methode behandelt Schranken fur die Null Dichte dies sind obere Schranken fur die Funktion N s T x displaystyle N sigma T chi nbsp welche die Anzahl der Nullstellen s b i g displaystyle s beta i gamma nbsp der Funktion L s x displaystyle L s chi nbsp in der Region s b 1 g T displaystyle sigma leq beta leq 1 gamma leq T nbsp zahlt Solche Schranken wiederum konnen aus den Ungleichungen des grossen Siebs hergeleitet werden Vaughans Identitat BearbeitenSeien U V 1 displaystyle U V geq 1 nbsp zwei positive Schranken und n N displaystyle n in mathbb N nbsp dann lasst sich die Mangoldt Funktion in vier Funktionen aufteilen 5 6 L n l 1 n l 2 n l 3 n l 4 n displaystyle Lambda n lambda 1 n lambda 2 n lambda 3 n lambda 4 n nbsp wobei l 1 n L n 1 n U n displaystyle lambda 1 n Lambda n 1 n leq U n nbsp und l 2 n m U d V m d r n L m m d l 3 n d V h d n m d log h l 4 n m gt U k gt 1 m k n L m d V d k m d displaystyle lambda 2 n sum limits stackrel mdr n m leq U d leq V Lambda m mu d quad lambda 3 n sum limits stackrel hd n d leq V mu d log h quad lambda 4 n sum limits stackrel mk n m gt U k gt 1 Lambda m sum limits stackrel d mid k d leq V mu d nbsp m d displaystyle mu d nbsp bezeichnet die Mobius Funktion welche fur naturliche Zahlen definiert ist Erlauterungen Bearbeiten Man unterscheidet zwei Falle fur den ersten Fall n U displaystyle n leq U nbsp ist nur l 1 displaystyle lambda 1 nbsp relevant 1 n U n L n l 1 n displaystyle 1 n leq U n Lambda n lambda 1 n nbsp Man kann zeigen dass in diesem Fall l 2 n l 3 n 0 displaystyle lambda 2 n lambda 3 n 0 nbsp und offensichtlich auch l 4 n 0 displaystyle lambda 4 n 0 nbsp Im zweiten Fall n gt U displaystyle n gt U nbsp sind hingegen nur die drei Summen relevant 1 n gt U n L n l 2 n l 3 n l 4 n displaystyle 1 n gt U n Lambda n lambda 2 n lambda 3 n lambda 4 n nbsp Herleitung BearbeitenWir fuhren folgende Hilfsfunktionen ein 7 F s n U L n n s G s d V m n n s displaystyle F s sum limits n leq U Lambda n n s quad G s sum limits d leq V mu n n s nbsp Die Dirichletreihe mit der Mangoldt Funktion lasst sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler Produkts als Zeta Funktion schreiben n 1 L n n s z s z s displaystyle sum limits n 1 infty Lambda n n s frac zeta s zeta s nbsp Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp etwas um durch ausmultiplizieren sieht man dass beide Seiten aquivalent sind z s z s F s z s F s G s z s G s z s z s F s 1 z s G s D 1 s D 2 s D 3 s D 4 s displaystyle begin aligned frac zeta s zeta s amp F s zeta s F s G s zeta s G s left frac zeta s zeta s F s right 1 zeta s G s amp D 1 s D 2 s D 3 s D 4 s end aligned nbsp Jedes der D j s displaystyle D j s nbsp kann als Dirichlet Reihe dargestellt werden und somit L n n s l 1 n l 2 n l 3 n l 4 n n s displaystyle Lambda n n s left lambda 1 n lambda 2 n lambda 3 n lambda 4 n right n s nbsp wobei l j n displaystyle lambda j n nbsp der Koeffizient von n s displaystyle n s nbsp in D j n displaystyle D j n nbsp ist Als nachstes schreiben wir die Mangoldt Funktion um L n r n m r log n r h d n m h log d displaystyle Lambda n sum r mid n mu left r right log left frac n r right sum hd n mu left h right log d nbsp wobei sich die rechte Seite daraus erklart dass wir uber alle Kombinationen der Form h d n displaystyle hd n nbsp summieren da h d N displaystyle h d in mathbb N nbsp summiert man uber alle Teiler und n h d displaystyle tfrac n h d nbsp Teilen wir diese Summe in h V displaystyle h leq V nbsp und h gt V displaystyle h gt V nbsp auf so ist ersteres l 3 n displaystyle lambda 3 n nbsp Die Summe mit h gt V displaystyle h gt V nbsp schreiben wir um indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt Funktion darstellen und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge h V displaystyle h leq V nbsp mit einem Vorzeichenwechsel h gt V h d n m h log d h gt V h d n m h r d L r m n L m d V d n m m d displaystyle sum stackrel hd n h gt V mu left h right log d sum limits stackrel hd n h gt V mu h sum limits r mid d Lambda r sum limits m mid n Lambda m sum limits stackrel d mid tfrac n m d leq V mu d nbsp Die rechte Seite lasst sich dann nochmals umschreiben und in m U displaystyle m geq U nbsp und m lt U displaystyle m lt U nbsp aufteilen dann erhalt man l 2 displaystyle lambda 2 nbsp und l 4 displaystyle lambda 4 nbsp Heath Browns Identitat BearbeitenDefiniere fur V 1 displaystyle V geq 1 nbsp die Hilfsfunktion M s n V m n n s displaystyle M s sum limits n leq V mu n n s nbsp Fur k N displaystyle k in mathbb N nbsp gilt 8 1 z s z s j 1 k 1 j 1 k j z s j 1 M s j 1 z s 1 z s M s k z s displaystyle frac 1 zeta s zeta s left sum limits j 1 k 1 j 1 binom k j zeta s j 1 M s j frac 1 zeta s 1 zeta s M s k right zeta s nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Robert C Vaughan Sommes trigonometriques sur les nombres premiers In Comptes Rendus de l Academie des Sciences Serie A Band 285 Nr 16 1977 S 981 983 franzosisch a b D R Heath Brown Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity In Canadian Journal of Mathematics Band 34 Nr 6 1982 S 1365 1377 doi 10 4153 CJM 1982 095 9 Iwan Matwejewitsch Winogradow The Method Of Trigonometric Sums In The Theory Of Numbers 1954 Kap 9 archive org Hugh L Montgomery Topics in multiplicative number theory Hrsg Springer Berlin 1971 Kapitel 15 und 16 Alisa Sedunova Points on algebraic curves over function fields primes in arithmetic progressions beyond Bombieri Pila and Bombieri Vinogradov theorems Hrsg Universitat Paris Saclay 2017 S 56 archives ouvertes fr Doktorarbeit Glyn Harman Prime Detecting Sieves In London Mathematical Society Monographs Band 1 S 25 Robert C Vaughan The Bombieri Vinogradov Theorem S 19 Lectures Notes D R Heath Brown Prime Numbers in Short Intervals and a Generalized Vaughan Identity In Canadian Journal of Mathematics Band 34 Nr 6 1982 S 1367 doi 10 4153 CJM 1982 095 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vaughans Identitat amp oldid 229619480