Die Tschebyschow Funktion etwa im Englischen auch Chebyshev Funktion oder ahnlich bezeichnet ist eine von zwei zahlentheoretischen Funktionen die nach dem russischen Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt sind Sie erhalten durch ihren Zusammenhang mit der Primzahlzahlfunktion und dem Primzahlsatz und damit der Riemannschen Zeta Funktion an Bedeutung Die erste Tschebyschow Funktion ublicherweise mit 8 displaystyle theta oder ϑ displaystyle vartheta bezeichnet ist die Summe der Logarithmen der Primzahlen bis x displaystyle x ϑ x p x p prim log p displaystyle vartheta x sum p leq x atop p text prim operatorname log p Die zweite Tschebyschow Funktion ps x displaystyle psi x ist die summierte Funktion der Mangoldt Funktion ps x n 1 x L n p k x log p displaystyle psi x sum n 1 x Lambda n sum p k leq x operatorname log p wobei die Mangoldt Funktion L displaystyle Lambda definiert ist als L n log p falls n sich als n p k darstellen lasst wobei p prim k N 0 sonst displaystyle Lambda n begin cases log p amp text falls n text sich als n p k text darstellen lasst wobei p text prim k in mathbb N 0 amp text sonst end cases Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Eigenschaften 1 1 Asymptotik 1 2 Verwandtschaft der beiden Funktionen 2 Die exakte Formel 3 Referenzen 4 WeblinksGrundlegende Eigenschaften BearbeitenErstere Tschebyschow Funktion lasst sich auch darstellen als ϑ x log x displaystyle vartheta x log x nbsp wobei x displaystyle x nbsp die Primfakultat bezeichnet Die zweite lasst sich auch schreiben als der Logarithmus des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 1 bis n displaystyle n nbsp ps x log kgV 1 2 3 x displaystyle psi x operatorname log operatorname kgV 1 2 3 ldots lfloor x rfloor nbsp Nach Erhard Schmidt gibt es fur jedes positive reelle k displaystyle k nbsp Werte fur x displaystyle x nbsp sodass ps x x lt k x displaystyle psi x x lt k sqrt x nbsp und ps x x gt k x displaystyle psi x x gt k sqrt x nbsp unendlich oft Asymptotik Bearbeiten Es gilt lim x x ϑ x 1 displaystyle lim x to infty frac x vartheta x 1 nbsp d h ϑ n n displaystyle vartheta n sim n nbsp Ebenso gilt ps n n displaystyle psi n sim n nbsp Pierre Dusart fand eine Reihe von Schranken fur die beiden Funktionen 1 ϑ p k k ln k ln ln k 1 ln ln k 2 055 3 ln k k exp 22 displaystyle vartheta p k geq k left ln k ln ln k 1 frac ln ln k 2 0553 ln k right qquad k geq exp 22 nbsp ϑ p k k ln k ln ln k 1 ln ln k 2 ln k k 198 displaystyle vartheta p k leq k left ln k ln ln k 1 frac ln ln k 2 ln k right qquad k geq 198 nbsp ps p k k ln k ln ln k 1 ln ln k 2 ln k 1 43 x k 198 displaystyle psi p k leq k left ln k ln ln k 1 frac ln ln k 2 ln k right 1 43 sqrt x qquad k geq 198 nbsp ϑ x x 0 006 788 x ln x x 10 544 111 displaystyle vartheta x x leq 0 006788 frac x ln x qquad x geq 10 544 111 nbsp ps x x 0 006 409 x ln x x exp 22 displaystyle psi x x leq 0 006409 frac x ln x qquad x geq exp 22 nbsp ps x ϑ x lt 0 000 0132 x ln x x exp 30 displaystyle psi x vartheta x lt 0 0000132 frac x ln x qquad x geq exp 30 nbsp Verwandtschaft der beiden Funktionen Bearbeiten Es gilt ps x p x k log p displaystyle psi x sum p leq x k log p nbsp wobei k displaystyle k nbsp ganz und dann durch p k x displaystyle p k leq x nbsp und p k 1 x displaystyle p k 1 geq x nbsp eindeutig bestimmt ist Ein direkterer Zusammenhang entsteht durch ps x n 1 ϑ x 1 n n 1 log 2 x ϑ x 1 n displaystyle psi x sum n 1 infty vartheta left x frac 1 n right sum n 1 lfloor log 2 x rfloor vartheta left x frac 1 n right nbsp Man bemerke dass ϑ x 1 n 0 displaystyle vartheta left x frac 1 n right 0 nbsp fur n log 2 x displaystyle n geq log 2 x nbsp Die exakte Formel Bearbeiten1895 bewies Hans Karl Friedrich von Mangoldt folgende Formel die im Englischen auch als explicit formula bezeichnet wird 2 ps x x r x r r ln 2 p 1 2 ln 1 x 2 displaystyle psi x x sum rho frac x rho rho ln 2 pi frac 1 2 ln left 1 x 2 right nbsp Dabei ist x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp und nicht prim oder eine Primzahlpotenz und die Summe lauft uber alle nichttrivialen Nullstellen r displaystyle rho nbsp der Riemannschen Zeta Funktion z displaystyle zeta nbsp Referenzen Bearbeiten Pierre Dusart Sharper bounds for ps 8 p pk In Rapport de recherche n 1998 06 Universite de Limoges PDF Eric W Weisstein Explicit Formula In MathWorld englisch Eric W Weisstein Chebyshev Function In MathWorld englisch Mangoldt Summatory Function und Chebyshev Function auf PlanetMath Harold Davenport Hugh L Montgomery Multiplicative number theory Springer Verlag 2000 ISBN 0 387 95097 4 ISBN 978 0 387 95097 6 17 GBS eingeschranktWeblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Die Abschatzungen von Tschebyschow Kursmaterialien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tschebyschow Funktion amp oldid 239363311
