Bei der masstheoretischen Induktion auch algebraische Induktion genannt handelt es sich um eine Beweismethode aus der Masstheorie die dazu verwendet wird mathematische Aussagen fur eine vorgegebene Menge von messbaren Funktionen zu zeigen Der grundlegende Gedanke hinter dem Verfahren ist die Aussage zunachst nicht fur alle Funktionen aus der Menge zu zeigen sondern sich auf eine Teilmenge zu beschranken fur die die Aussage leicht zu beweisen ist Anschliessend werden sukzessive immer grossere Teilmengen betrachtet und die Aussage auch fur diese bewiesen Dabei wird bei jedem Schritt ausgenutzt dass die Aussage fur die Mengen aus den vorherigen Schritten schon gezeigt wurde Nach drei oder vier Schritten ist die Aussage schliesslich fur alle Funktionen nachgewiesen Die Methode spielt auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie und anderen Anwendungsbereichen der Masstheorie eine wichtige Rolle Inhaltsverzeichnis 1 Die Beweismethode 2 Beispiele 2 1 Beispiel 1 2 2 Beispiel 2 3 LiteraturDie Beweismethode BearbeitenGegeben sei eine Menge von messbaren Funktionen G displaystyle mathcal G nbsp Die Behauptung ist dass die mathematische Aussage A f displaystyle A f nbsp fur alle f G displaystyle f in mathcal G nbsp erfullt ist Die Methode besteht in der Regel aus vier Schritten Manchmal wird auch Schritt 1 ausgelassen sodass die Induktion mit insgesamt drei Schritten durchgefuhrt wird Schritt Die Aussage A f displaystyle A f nbsp gilt fur eine beliebige messbare charakteristische Funktion aus G displaystyle mathcal G nbsp Schritt Die Aussage A f displaystyle A f nbsp gilt fur eine beliebige positive einfache Funktion aus G displaystyle mathcal G nbsp Schritt Die Aussage A f displaystyle A f nbsp gilt fur eine beliebige positive messbare Funktion aus G displaystyle mathcal G nbsp Schritt Die Aussage A f displaystyle A f nbsp gilt fur eine beliebige messbare Funktion aus G displaystyle mathcal G nbsp Mit jedem Schritt wird die Menge der Funktionen fur die die Aussage bereits gilt sukzessive grosser bis beim vierten und letzten Schritt die Aussage schliesslich fur alle Funktionen nachgewiesen ist Man beachte dass der Beweis eines Schrittes auch alle vorhergehenden Schritte impliziert Das gilt offenbar da jede in einem Schritt betrachtete Funktion auch in allen nachfolgenden Schritten betrachtet wird Beispielsweise ist jede positive einfache Funktion in Schritt 2 insbesondere auch positiv und messbar und damit auch Teil von Schritt 3 Bei einem sinnvollen Einsatz des Verfahrens ist es aus diesem Grund meistens notwendig dass beim Beweis eines Schrittes benutzt wird dass die Aussage fur die Mengen aus den vorhergehenden Schritten schon gezeigt wurde Beispiele BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten Der Satz von Fubini kann mittels masstheoretischer Induktion bewiesen werden Beispiel 2 Bearbeiten Wir betrachten die Zufallsvariable Y W R displaystyle Y Omega to mathbb R nbsp und die Menge G X W R X ist s Y messbar displaystyle mathcal G X Omega to mathbb R X text ist sigma Y text messbar nbsp Dabei ist mit s Y displaystyle sigma Y nbsp die kleinste s displaystyle sigma nbsp Algebra gemeint bezuglich der Y displaystyle Y nbsp messbar ist Wir betrachten nun weiter folgende Aussage A Fur alle X G existiert eine messbare Funktion ϕ R R mit X ϕ Y displaystyle A text Fur alle X in mathcal G text existiert eine messbare Funktion phi mathbb R to mathbb R text mit X phi Y nbsp Wir werden nun die Aussage mithilfe der masstheoretischen Induktion zeigen Dabei gilt in allen Schritten X G displaystyle X in mathcal G nbsp 1 Schritt Sei X displaystyle X nbsp eine charakteristische Funktion Dann gilt X x B displaystyle X chi B nbsp mit B s Y displaystyle B in sigma Y nbsp Nach Definition von Messbarkeit und nach Wahl der Menge B displaystyle B nbsp folgt die Existenz einer Menge C displaystyle C nbsp mit C B displaystyle C in mathcal B nbsp Borelsche s Algebra und der Eigenschaft B Y 1 C displaystyle B Y 1 C nbsp Definiere nun ϕ x C displaystyle phi chi C nbsp Dann folgt fur ein beliebiges w W displaystyle omega in Omega nbsp X w x B w x C Y w ϕ Y w displaystyle X omega chi B omega chi C Y omega phi Y omega nbsp 2 Schritt Sei nun X displaystyle X nbsp eine positive einfache Funktion Dann gilt also X n 1 c n x A n displaystyle X sum n 1 c n cdot chi A n nbsp mit c n R displaystyle c n in mathbb R nbsp und A n s Y displaystyle A n in sigma Y nbsp Mit der Wahl von ϕ n 1 c n x B n displaystyle phi sum n 1 c n cdot chi B n nbsp und A n Y 1 B n displaystyle A n Y 1 B n nbsp folgt die Behauptung X w n 1 c n x A n w n 1 c n x A n w n 1 c n x B n Y w n 1 c n x B n Y w ϕ Y w displaystyle X omega sum n 1 c n cdot chi A n omega sum n 1 c n cdot chi A n omega sum n 1 c n cdot chi B n Y omega sum n 1 c n cdot chi B n Y omega phi Y omega nbsp dd 3 Schritt Betrachte nun ein beliebiges X 0 displaystyle X geq 0 nbsp und eine Folge X n n displaystyle X n n nbsp von positiven einfachen Funktionen monoton wachsend gegen X displaystyle X nbsp konvergieren d h lim n X n X displaystyle lim n to infty X n X nbsp X n X n 1 displaystyle X n leq X n 1 nbsp und X n X displaystyle X n leq X nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp und fur fast alle w W displaystyle omega in Omega nbsp Dann gilt fur jedes X n displaystyle X n nbsp unter Verwendung von Schritt 2 dass X n ϕ n Y displaystyle X n phi n Y nbsp fur ein geeignetes ϕ n Y displaystyle phi n Y nbsp Setze nun ϕ x lim n ϕ n x displaystyle phi x lim n to infty phi n x nbsp sofern der Grenzwert existiert und ϕ x 0 displaystyle phi x 0 nbsp sonst Dann folgt X w lim n X n w lim n ϕ n Y w ϕ Y w displaystyle X omega lim n to infty X n omega lim n to infty phi n Y omega phi Y omega nbsp dd 4 Schritt Sei nun X displaystyle X nbsp beliebig Dann gibt es X 0 displaystyle X geq 0 nbsp und X 0 displaystyle X geq 0 nbsp mit X X X displaystyle X X X nbsp Gemass Schritt 3 gibt es dann auch ein ϕ displaystyle phi nbsp mit X ϕ Y displaystyle X phi Y nbsp und ein ϕ displaystyle phi nbsp mit X ϕ Y displaystyle X phi Y nbsp Setze nun ϕ ϕ ϕ displaystyle phi phi phi nbsp und die Behauptung folgt Literatur BearbeitenKlaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 Seite 109 Hartmut Milbrodt Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung mit Anwendungen und Beispielen aus der Versicherungs und Finanzmathematik VVW GmbH Karlsruhe 2010 ISBN 978 3 89952 318 8 Seite 286 287 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Masstheoretische Induktion amp oldid 178802836
