Lemma von Riemann Lebesgue Das auch Satz von Riemann Lebesgue ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter

Lemma von Riemann-Lebesgue

Das Lemma von Riemann-Lebesgue, auch Satz von Riemann-Lebesgue, ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis. Er besagt, dass die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Sei , also eine messbare Funktion mit

und die Fourier-Transformierte von , also

Dann verschwindet im Unendlichen, das heißt oder formaler, dass es zu jedem eine reelle Zahl gibt, so dass für alle .

Da die Fourier-Transformationen von integrablen Funktionen stetig sind, handelt es sich bei um eine stetige Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Bezeichnet man den Vektorraum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen mit , so lässt sich das Lemma von Riemann-Lebesgue auch folgendermaßen formulieren: Die Fourier-Transformation auf ist eine Abbildung von nach .

Beweis Bearbeiten

Der Beweis soll hier in groben Zügen vorgestellt werden. Wir nehmen zunächst vereinfachend an, dass stetig ist. Für liefert die Substitution

und wir haben eine zweite Formel für . Bildet man nun den Mittelwert aus beiden Formeln und nimmt Beträge, zieht diese unter das Integral, was den Exponentialterm zu 1 macht, so folgt

Aufgrund der Stetigkeit von konvergiert gegen für alle und . Außerdem gilt

Nach dem Satz von der majorisierten Konvergenz konvergiert also für gegen 0.

Die Annahme der Stetigkeit von kann auf Grund eines Dichtheitsarguments fallen gelassen werden. In der Tat liegen die stetigen Funktionen dicht in . Für jedes und jede Funktion existiert also eine stetige Funktion , sodass gilt. Aufgrund der Eigenschaften der Fourier-Transformation folgt, dass dann auch gilt. Wie vorher gezeigt, verschwindet für , und da beliebig gewählt werden kann, folgt die gleiche Aussage für .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Funktionen mehrerer Veränderlicher Bearbeiten

Das Lemma von Riemann-Lebesgue lässt sich auf Funktionen verallgemeinern:

Es sei eine integrable Funktion, das heißt

Ist die Fourier-Transformierte

so gilt für .

Dabei ist irgendeine Norm auf dem , zum Beispiel die euklidische Norm.

Banachalgebren Bearbeiten

Die Menge der integrablen Funktionen, das heißt die Menge der L¹-Funktionen, bildet mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine Banachalgebra. In der harmonischen Analyse zeigt man, dass die Fourier-Transformation ein Spezialfall der abstrakten Gelfand-Transformation wird. Das Lemma von Riemann-Lebesgue folgt dann aus der Tatsache, dass die Gelfand-Transformation in den Raum der C₀-Funktionen abbildet und der Gelfand-Raum von mit identifiziert werden kann. Gleichzeitig wird dadurch das Lemma von Riemann-Lebesgue auf lokalkompakte abelsche Gruppen verallgemeinert.

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ M. J. Lighthill: Einführung in die Theorie der Fourier-Analysis und der verallgemeinerten Funktionen, BI-Hochschultaschenbücher (1966), Band 139, ISBN 3-411-00139-9, Kapitel 4: Das Riemann-Lebesgue'sche Lemma
Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I. Elementary Theory, Academic Press, New York (1983), ISBN 0-12-393301-3, Korollar 3.2.28 (iii)
Hitoshi Kumano-go: Pseudo-differential Operators, MIT Press, Cambridge, Massachusetts (1982), ISBN 0-262-11080-6, Kapitel 1, §4, Theorem 4.1
Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962, Kapitel 1.2.3: The Fourier Transform

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 10:43 am

Das Lemma von Riemann Lebesgue auch Satz von Riemann Lebesgue ist ein nach Bernhard Riemann und Henri Lebesgue benannter mathematischer Satz aus der Analysis Er besagt dass die Fourier Transformationen von integrablen Funktionen im Unendlichen verschwinden Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beweis 3 Verallgemeinerungen 3 1 Funktionen mehrerer Veranderlicher 3 2 Banachalgebren 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenSei f L 1 R displaystyle f in L 1 mathbb R nbsp also f R C displaystyle f colon mathbb R rightarrow mathbb C nbsp eine messbare Funktion mit f x d x lt displaystyle int infty infty f x mathrm d x lt infty nbsp und f displaystyle hat f nbsp die Fourier Transformierte von f displaystyle f nbsp also f R C 3 1 2 p f x e i x 3 d x displaystyle hat f colon mathbb R rightarrow mathbb C xi mapsto frac 1 sqrt 2 pi int infty infty f x e ix xi mathrm d x nbsp Dann verschwindet f displaystyle hat f nbsp im Unendlichen das heisst f 3 3 0 displaystyle hat f xi 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hat g xi nbsp fur 3 displaystyle xi to infty nbsp und da e displaystyle varepsilon nbsp beliebig gewahlt werden kann folgt die gleiche Aussage fur f displaystyle f nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenFunktionen mehrerer Veranderlicher Bearbeiten Das Lemma von Riemann Lebesgue lasst sich auf Funktionen f R n C displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb C nbsp verallgemeinern Es sei f R n C displaystyle f colon mathbb R n rightarrow mathbb C nbsp eine integrable Funktion das heisst f x 1 x n d x 1 d x n lt displaystyle int infty infty cdots int infty infty f x 1 ldots x n mathrm d x 1 ldots mathrm d x n lt infty nbsp Ist f R n R displaystyle hat f colon mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp die Fourier Transformierte f 3 1 3 n 1 2 p n 2 f x 1 x n e i x 1 3 1 i x n 3 n d x 1 d x n displaystyle hat f xi 1 ldots xi n frac 1 2 pi n 2 int infty infty cdots int infty infty f x 1 ldots x n e ix 1 xi 1 ldots ix n xi n mathrm d x 1 ldots mathrm d x n nbsp so gilt f 3 1 3 n 0 displaystyle hat 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verallgemeinerten Funktionen BI Hochschultaschenbucher 1966 Band 139 ISBN 3 411 00139 9 Kapitel 4 Das Riemann Lebesgue sche Lemma Richard V Kadison John R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I Elementary Theory Academic Press New York 1983 ISBN 0 12 393301 3 Korollar 3 2 28 iii Hitoshi Kumano go Pseudo differential Operators MIT Press Cambridge Massachusetts 1982 ISBN 0 262 11080 6 Kapitel 1 4 Theorem 4 1 Walter Rudin Fourier Analysis on Groups 1962 Kapitel 1 2 3 The Fourier Transform Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Riemann Lebesgue amp oldid 230080338