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Kreuzkorrelation In der Signalanalyse wird die sfunktion R x y τ displaystyle R xy tau zur Beschreibung der Korrelation

Kreuzkorrelation

In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale und bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen zwischen den beiden Signalen eingesetzt. Kreuz steht hierbei für den Fall der Funktion:

wobei E der Erwartungswert ist.

Handelt es sich um einen schwach stationären Prozess, so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte und , sondern nur von deren Differenz abhängig.

Die Kreuzkorrelations-Operation ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung (s. en:Cross-correlation#Properties). Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen, wo man mit Convolutional Neural Networks arbeitet, wird aufgrund dieser Identität meistens die Kreuzkorrelation verwendet, diese aber als Faltung bezeichnet, weil sie leichter zu implementieren ist.

Definition Bearbeiten

Es gilt für Energiesignale:

und für Leistungssignale:

mit als der konjugiert komplexen Funktion von , dem Operatorsymbol als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und als dem der Faltungsoperation.

Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation, diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle, mit der Folge und einer Verschiebung festgelegt als:

In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich, wovon es eine vor- und eine unvorgespannte Version gibt:

Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt.

Eigenschaften Bearbeiten

Zusammenhang zwischen Faltung, Kreuzkorrelation und Autokorrelation.

Für alle gilt

sowie

und

mit den Autokorrelationsfunktionen und .

Sie zeigt z. B. Spitzen bei Zeitverschiebungen, die der Signallaufzeit vom Messort des Signals zum Messort des Signals entsprechen. Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten können auf diese Weise festgestellt werden. Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Übertragungswegen und zur Ortung von Quellen.

Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel über die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums ermittelt:

Verbindung mit der Kreuzkovarianz Bearbeiten

Ist eines der Signale oder nullsymmetrisch, d. h. ihr Mittelwert über das Signal ist Null oder , ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz. Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus- und Kosinusfunktionen.

Literatur Bearbeiten

  • Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.
  • Rüdiger Hoffmann: Signalanalyse und -erkennung. Springer, 1997, ISBN 3-540-63443-6.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, Aaron Courville: Deep Learning. Hrsg.: MIT Press. S. 328–329 (deeplearningbook.org).
  2. Conv2d. In: Dokumentation PyTorch. Abgerufen am 5. Februar 2021.
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In der Signalanalyse wird die Kreuzkorrelationsfunktion R x y t displaystyle R xy tau zur Beschreibung der Korrelation zweier Signale x t displaystyle x t und y t displaystyle y t bei unterschiedlichen Zeitverschiebungen t displaystyle tau zwischen den beiden Signalen eingesetzt Kreuz steht hierbei fur den Fall x y displaystyle x neq y der Funktion R x y t 1 t 2 E X t 1 Y t 2 displaystyle R xy t 1 t 2 E textbf X t 1 cdot textbf Y t 2 wobei E der Erwartungswert ist Handelt es sich um einen schwach stationaren Prozess so ist die Korrelationsfunktion nicht mehr von der Wahl der Zeitpunkte t 1 displaystyle t 1 und t 2 displaystyle t 2 sondern nur von deren Differenz t t 2 t 1 displaystyle tau t 2 t 1 abhangig Die Kreuzkorrelations Operation ist identisch mit der komplex konjugierten Faltung f t displaystyle overline f t s en Cross correlation Properties Insbesondere im Fachgebiet Maschinelles Lernen wo man mit Convolutional Neural Networks arbeitet wird aufgrund dieser Identitat meistens die Kreuzkorrelation verwendet diese aber als Faltung bezeichnet weil sie leichter zu implementieren ist 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Verbindung mit der Kreuzkovarianz 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs gilt fur Energiesignale R x y t x y t x t y t t x t y t t d t displaystyle R xy tau x star y tau x t y t tau int infty infty x t y t tau mathrm d t nbsp und fur Leistungssignale R x y t x y t x t y t t lim T 1 2 T T T x t y t t d t displaystyle R xy tau x star y tau x t y t tau lim T to infty frac 1 2T int T T x t y t tau mathrm d t nbsp mit x displaystyle x nbsp als der konjugiert komplexen Funktion von x displaystyle x nbsp dem Operatorsymbol displaystyle star nbsp als Kurzschreibweise der Kreuzkorrelation und displaystyle nbsp als dem der Faltungsoperation Analog wird die diskrete Kreuzkorrelation diese spielt im Bereich der diskreten Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle mit der Folge m displaystyle m nbsp und einer Verschiebung n displaystyle n nbsp festgelegt als R x y n displaystyle R xy n nbsp x y n m x m y m n displaystyle x star y n sum m infty infty x m y m n nbsp Energiesignale R x y n displaystyle R xy n nbsp x y n lim M 1 2 M 1 m M M x m y m n displaystyle x star y n lim M to infty frac 1 2M 1 sum m M M x m y m n nbsp Leistungssignale In der digitalen Signalverarbeitung wiederum ist eine endliche Mittelung mit Argumenten beginnend bei Index 0 auf Grund der Architektur von Rechnerregistern erforderlich wovon es eine vor und eine unvorgespannte Version gibt R x y m 1 N m n 0 N m 1 x n y n m fur m 0 1 N m n m N 1 x n y n m fur m lt 0 displaystyle R xy m begin cases frac 1 N m sum n 0 N m 1 x n y n m amp text fur m geq 0 frac 1 N m sum n m N 1 x n y n m amp text fur m lt 0 end cases nbsp Vorspannversion R x y m 1 N n 0 N m 1 x n y n m fur m 0 1 N n m N 1 x n y n m fur m lt 0 displaystyle R xy m begin cases frac 1 N sum n 0 N m 1 x n y n m amp text fur m geq 0 frac 1 N sum n m N 1 x n y n m amp text fur m lt 0 end cases nbsp unvorgespannte Version Die Kreuzkorrelation ist mit der Kreuzkovarianz eng verwandt Eigenschaften Bearbeiten nbsp Zusammenhang zwischen Faltung Kreuzkorrelation und Autokorrelation Fur alle t displaystyle tau nbsp gilt R x y t R y x t displaystyle R xy tau R yx tau nbsp sowie R x y t R x x 0 R y y 0 1 2 R x x 0 R y y 0 displaystyle left R xy tau right leq sqrt R xx 0 R yy 0 leq frac 1 2 R xx 0 R yy 0 nbsp und lim t R x y t 0 displaystyle lim limits tau to pm infty R xy tau 0 nbsp mit den Autokorrelationsfunktionen R x x t displaystyle R xx tau nbsp und R y y t displaystyle R yy tau nbsp Sie zeigt z B Spitzen bei Zeitverschiebungen die der Signallaufzeit vom Messort des Signals x t displaystyle x t nbsp zum Messort des Signals y t displaystyle y t nbsp entsprechen Auch Laufzeitunterschiede von einer Signalquelle zu beiden Messorten konnen auf diese Weise festgestellt werden Die Kreuzkorrelationsfunktion eignet sich daher besonders zur Ermittlung von Ubertragungswegen und zur Ortung von Quellen Rechentechnisch wird die Kreuzkorrelationsfunktion in der Regel uber die inverse Fouriertransformation des Kreuzleistungsspektrums S X Y f displaystyle S XY f nbsp ermittelt R x y t S X Y f e i 2 p f t d f displaystyle R xy tau int infty infty S XY f e mathrm i 2 pi f tau mathrm d f nbsp Verbindung mit der Kreuzkovarianz Bearbeiten Ist eines der Signale x t displaystyle x t nbsp oder y t displaystyle y t nbsp nullsymmetrisch d h ihr Mittelwert uber das Signal ist Null x t 0 displaystyle bar x t 0 nbsp oder y t 0 displaystyle bar y t 0 nbsp ist die Kreuzkorrelation identisch mit der Kreuzkovarianz Bekannte Vertreter der nullsymmetrischen Funktionen sind zum Beispiel die Sinus und Kosinusfunktionen Literatur BearbeitenBernd Girod Rudolf Rabenstein Alexander Stenger Einfuhrung in die Systemtheorie 4 Auflage Teubner Wiesbaden 2007 ISBN 978 3 8351 0176 0 Rudiger Hoffmann Signalanalyse und erkennung Springer 1997 ISBN 3 540 63443 6 Weblinks BearbeitenKreuzkorrelation und Kombinatorik Memento vom 11 Juli 2012 im Internet Archive PDF 201 kB mpi magdeburg mpg de Die Kreuzkorrelation tu freiberg de abgerufen am 16 Juli 2018 Korrelationstechnik uni muenster de abgerufen am 16 Juli 2018 Merkmalslistenbasierte Kreuzkorrelationsmethoden fur die medizinische Bildverarbeitung PDF 24 MB db thueringen de abgerufen am 16 Juli 2018 Ansatze zur datengetriebenen Formulierung von Strukturhypothesen fur dynamische Systeme kit edu abgerufen am 15 Februar 2022 Einzelnachweise Bearbeiten Ian Goodfellow Yoshua Bengio Aaron Courville Deep Learning Hrsg MIT Press S 328 329 deeplearningbook org Conv2d In Dokumentation PyTorch Abgerufen am 5 Februar 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreuzkorrelation amp oldid 236420537