Kovarianzoperator Der bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator der den Begriff der Kovarianz auf unendlich d

Kovarianzoperator

Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator, der den Begriff der Kovarianz auf unendlich-dimensionale Räume erweitert. Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach- und Hilberträumen verwendet.

Definition Bearbeiten

Der Kovarianzoperator lässt sich auf lokalkonvexen Räumen definieren, wir beschränken uns aber auf separable Banach-Räume, da in der Regel ein Banach- bzw. Hilbert-Raum betrachtet wird.

Auf einem Banach-Raum über lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß für jedes lineare Funktional durch das Bildmaß definieren.

Sei ein separabler Banach-Raum mit borelscher σ-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß darauf.

Kovarianzoperator Bearbeiten

Der Kovarianzoperator von ist definiert durch

für wobei den Erwartungswert von bezeichnet

Der Operator induziert eine symmetrische Abbildung durch , welche bilinear und positiv definit ist, genannt Kovarianz.

Erläuterungen Bearbeiten

Seien und beschränkt. Wenn ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für , dass für alle und ein sowie für ein , somit

für alle .

Beispiele Bearbeiten

Der endliche Fall Rⁿ Bearbeiten

Sei und . Dann ist die Kovarianzmatrix.

Gaußsches Maß Bearbeiten

Sei ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum , dann ist seine Fourier-Transformierte

Einzelnachweise Bearbeiten

Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4.
Charles R. Baker, Ian W. McKeague: Compact Covariance Operators. In: JSTOR (Hrsg.): Proceedings of the American Mathematical Society. Band 83, Nr. 3, 1981, S. 590–593, doi:10.2307/2044126.

Literatur Bearbeiten

Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4.
Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk: Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Hrsg.: Cambridge University Press. 2014, doi:10.1017/CBO9781107295513.
N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania: Probability Distributions on Banach Spaces. In: Springer Dordrecht (Hrsg.): Mathematics and its Applications. Band 14, 1987, S. 144–183, doi:10.1007/978-94-009-3873-1.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 08:58 am

Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator der den Begriff der Kovarianz auf unendlich dimensionale Raume erweitert Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach und Hilbertraumen verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Kovarianzoperator 1 2 Erlauterungen 2 Beispiele 2 1 Der endliche Fall Rn 2 2 Gausssches Mass 3 Einzelnachweise 4 LiteraturDefinition BearbeitenDer Kovarianzoperator lasst sich auf lokalkonvexen Raumen definieren wir beschranken uns aber auf separable Banach Raume da in der Regel ein Banach bzw Hilbert Raum betrachtet wird Auf einem Banach Raum B displaystyle B nbsp uber R displaystyle mathbb R nbsp lasst sich ein Wahrscheinlichkeitsmass g displaystyle gamma nbsp fur jedes lineare Funktional f displaystyle f nbsp durch das Bildmass f g displaystyle f gamma nbsp definieren Sei U U B U m displaystyle U cdot U mathcal B U mu nbsp ein separabler Banach Raum mit borelscher s Algebra und Wahrscheinlichkeitsmass m displaystyle mu nbsp darauf Kovarianzoperator Bearbeiten Der Kovarianzoperator C m U U displaystyle operatorname C mu U to U nbsp von m displaystyle mu nbsp ist definiert durch C m f 3 U f x a m f 3 x a m 3 m d x displaystyle operatorname C mu varphi xi int U varphi x a mu varphi xi x a mu xi mu mathrm d x nbsp fur f 3 U displaystyle varphi xi in U nbsp wobei a m displaystyle a mu nbsp den Erwartungswert von m displaystyle mu nbsp bezeichnet a m f U f x m d x displaystyle a mu varphi int U varphi x mu mathrm d x nbsp 1 Der Operator induziert eine symmetrische Abbildung Cov m U U R displaystyle operatorname Cov mu U times U to mathbb R nbsp durch Cov m f 3 C m f 3 displaystyle operatorname Cov mu varphi xi operatorname C mu varphi xi nbsp welche bilinear und positiv definit ist genannt Kovarianz Erlauterungen Bearbeiten Seien a m displaystyle a mu nbsp und f displaystyle varphi nbsp beschrankt Wenn U displaystyle U nbsp ein Hilbert Raum ist dann gilt nach dem Darstellungssatz von Frechet Riesz fur f U displaystyle varphi in U nbsp dass f x h x displaystyle varphi x langle h x rangle nbsp fur alle x U displaystyle x in U nbsp und ein h U displaystyle h in U nbsp sowie a m h m displaystyle a mu langle h m rangle nbsp fur ein m U displaystyle m in U nbsp somit C m h 1 h 2 U h 1 x m h 2 x m m d x displaystyle langle operatorname C mu h 1 h 2 rangle int U langle h 1 x m rangle langle h 2 x m rangle mu mathrm d x nbsp fur alle h 1 h 2 U displaystyle h 1 h 2 in U nbsp 2 Beispiele BearbeitenDer endliche Fall Rn Bearbeiten Sei U R n displaystyle U mathbb R n nbsp und U U R n displaystyle U U mathbb R n nbsp Dann ist Cov m displaystyle operatorname Cov mu nbsp die Kovarianzmatrix Gausssches Mass Bearbeiten Sei m displaystyle mu nbsp ein gausssches Mass auf einem separablen Banach Raum U B U displaystyle U mathcal B U nbsp dann ist seine Fourier Transformierte m f U e i f x m d x e i a m f 1 2 Cov m f f f U displaystyle hat mu f int U e if x mu mathrm d x e ia mu f frac 1 2 operatorname Cov mu f f quad f in U nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Vladimir I Bogachev Gaussian Measures Hrsg American Mathematical Society 1998 ISBN 978 1 4704 1869 4 Charles R Baker Ian W McKeague Compact Covariance Operators In JSTOR Hrsg Proceedings of the American Mathematical Society Band 83 Nr 3 1981 S 590 593 doi 10 2307 2044126 Literatur BearbeitenVladimir I Bogachev Gaussian Measures Hrsg American Mathematical Society 1998 ISBN 978 1 4704 1869 4 Giuseppe Da Prato Jerzy Zabczyk Stochastic Equations in Infinite Dimensions Hrsg Cambridge University Press 2014 doi 10 1017 CBO9781107295513 N N Vakhania V I Tarieladze S A Chobanyan Vakhania Probability Distributions on Banach Spaces In Springer Dordrecht Hrsg Mathematics and its Applications Band 14 1987 S 144 183 doi 10 1007 978 94 009 3873 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kovarianzoperator amp oldid 231590548