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Kompaktheitskriterium von James Das nach Robert C James ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalana

Kompaktheitskriterium von James

Das Kompaktheitskriterium von James (nach Robert C. James) ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis. Dieser Satz charakterisiert die bezüglich der schwachen Topologie kompakten Mengen eines Banachraums und hat den Satz von James über reflexive Banachräume zur Folge.

Eine nicht-leere schwach-abgeschlossene Menge ist genau dann schwach-kompakt, wenn jedes stetige lineare Funktional aus dem Dualraum auf dieser Menge das Betragsmaximum annimmt. Genauer lautet dieser Satz:

Kompaktheitskriterium von James: Seien ein Banachraum und eine nicht-leere schwach-abgeschlossene Menge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist schwach-kompakt.
  • Für jedes gibt es ein mit .
  • Für jedes gibt es ein mit .
  • Für jedes gibt es ein mit .

Dabei steht für den reellen Vektorraum, der durch die Einschränkung der Skalarmultiplikation auf entsteht. Dieser Teil des Satzes ist nur für -Banachräume interessant. Eine Folgerung aus obigem Satz ist:

Satz von James: Für einen Banachraum sind äquivalent:

  • ist reflexiv.
  • Für alle gibt es ein mit , so dass .

Das folgt sofort aus obigem Kompaktheitskriterium, wenn man verwendet, dass ein Banachraum genau dann reflexiv ist, wenn die Einheitskugel schwach-kompakt ist, und dass für ein das Supremum auf der Einheitskugel definitionsgemäß gleich ist.

Historisch wurden diese Sätze in umgekehrter Reihenfolge bewiesen. Zunächst hatte James 1957 das Reflexivitätskriterium für separable Banachräume bewiesen und 1964 für allgemeine Banachräume. Da die Reflexivität zur schwachen Kompaktheit der Einheitskugel äquivalent ist, hatte Victor L. Klee 1962 dies als Kompaktheitskriterium für die Einheitskugel umformuliert und vermutet, dass dieses Kriterium beliebige schwach-kompakte Mengen charakterisiert. Dieses wurde dann 1964 tatsächlich von R. C. James bewiesen.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory, Springer New York (1998), ISBN= 0-387-98431-3, Satz 2.9.3
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory, Springer New York (1998), ISBN= 0-387-98431-3, Satz 2.9.4
  3. R. C. James: Reflexivity and the Supremum of Linear Functionals, Annals of Mathematics (2) 66 (1957), Seiten 159–169
  4. R. C. James: Characterization of Reflexivity, Studia Mathematica 23 (1964), Seiten 205–216
  5. V. L. Klee: A conjecture on weak compactness, Trans. Amer. Math. Soc. 104 (1962), Seiten 398–402
  6. R. C. James: Weakly Compact Sets, Trans. Amer. Math. Soc. 113 (1964), Seiten 129–140
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Das Kompaktheitskriterium von James nach Robert C James ist ein mathematischer Satz aus dem Teilgebiet der Funktionalanalysis Dieser Satz charakterisiert die bezuglich der schwachen Topologie kompakten Mengen eines Banachraums und hat den Satz von James uber reflexive Banachraume zur Folge Eine nicht leere schwach abgeschlossene Menge ist genau dann schwach kompakt wenn jedes stetige lineare Funktional aus dem Dualraum X displaystyle X auf dieser Menge das Betragsmaximum annimmt Genauer lautet dieser Satz 1 Kompaktheitskriterium von James Seien X displaystyle X ein Banachraum und A X displaystyle A subset X eine nicht leere schwach abgeschlossene Menge Dann sind folgende Aussagen aquivalent A displaystyle A ist schwach kompakt Fur jedes f X displaystyle f in X gibt es ein x 0 A displaystyle x 0 in A mit f x 0 sup f x x A displaystyle f x 0 sup f x x in A Fur jedes f X R displaystyle f in X mathbb R gibt es ein x 0 A displaystyle x 0 in A mit f x 0 sup f x x A displaystyle f x 0 sup f x x in A Fur jedes f X R displaystyle f in X mathbb R gibt es ein x 0 A displaystyle x 0 in A mit f x 0 sup f x x A displaystyle f x 0 sup f x x in A Dabei steht X R displaystyle X mathbb R fur den reellen Vektorraum der durch die Einschrankung der Skalarmultiplikation auf R displaystyle mathbb R entsteht Dieser Teil des Satzes ist nur fur C displaystyle mathbb C Banachraume interessant Eine Folgerung aus obigem Satz ist 2 Satz von James Fur einen Banachraum X displaystyle X sind aquivalent X displaystyle X ist reflexiv Fur alle f X displaystyle f in X gibt es ein x X displaystyle x in X mit x 1 displaystyle x leq 1 so dass f x f displaystyle f x f Das folgt sofort aus obigem Kompaktheitskriterium wenn man verwendet dass ein Banachraum genau dann reflexiv ist wenn die Einheitskugel schwach kompakt ist und dass fur ein f X displaystyle f in X das Supremum auf der Einheitskugel definitionsgemass gleich f displaystyle f ist Historisch wurden diese Satze in umgekehrter Reihenfolge bewiesen Zunachst hatte James 1957 das Reflexivitatskriterium fur separable Banachraume bewiesen 3 und 1964 fur allgemeine Banachraume 4 Da die Reflexivitat zur schwachen Kompaktheit der Einheitskugel aquivalent ist hatte Victor L Klee 1962 dies als Kompaktheitskriterium fur die Einheitskugel umformuliert und vermutet dass dieses Kriterium beliebige schwach kompakte Mengen charakterisiert 5 Dieses wurde dann 1964 tatsachlich von R C James bewiesen 6 Einzelnachweise Bearbeiten Robert E Megginson An Introduction to Banach Space Theory Springer New York 1998 ISBN 0 387 98431 3 Satz 2 9 3 Robert E Megginson An Introduction to Banach Space Theory Springer New York 1998 ISBN 0 387 98431 3 Satz 2 9 4 R C James Reflexivity and the Supremum of Linear Functionals Annals of Mathematics 2 66 1957 Seiten 159 169 R C James Characterization of Reflexivity Studia Mathematica 23 1964 Seiten 205 216 V L Klee A conjecture on weak compactness Trans Amer Math Soc 104 1962 Seiten 398 402 R C James Weakly Compact Sets Trans Amer Math Soc 113 1964 Seiten 129 140 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kompaktheitskriterium von James amp oldid 194700851