In der Mathematik ist die Kobordismuskategorie ein Begriff der algebraischen Topologie Es handelt sich um Kategorien Cd displaystyle mathcal C d fur d N displaystyle d in mathbb N deren Objekte die geschlossenen d 1 displaystyle d 1 dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die d displaystyle d dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind Definition der Kategorie BearbeitenEin Objekt von Cd displaystyle mathcal C d nbsp ist ein Paar M a displaystyle M a nbsp mit a R displaystyle a in mathbb R nbsp so dass M displaystyle M nbsp eine geschlossene d 1 displaystyle d 1 nbsp dimensionale C displaystyle C infty nbsp Untermannigfaltigkeit M Rd 1 colimn Rd 1 n displaystyle M subset mathbb R d 1 infty operatorname colim n to infty mathbb R d 1 n nbsp ist Der Identitats Morphismus von M a displaystyle M a nbsp ist das Tripel a M a a displaystyle left a right times M a a nbsp Ein von der Identitat verschiedener Morphismus von M0 a0 displaystyle M 0 a 0 nbsp nach M1 a1 displaystyle M 1 a 1 nbsp ist ein Tripel W a0 a1 displaystyle W a 0 a 1 nbsp aus reellen Zahlen a0 a1 displaystyle a 0 a 1 nbsp mit a0 lt a1 displaystyle a 0 lt a 1 nbsp und einer d displaystyle d nbsp dimensionalen kompakten C displaystyle C infty nbsp Untermannigfaltigkeit W a0 a1 Rd 1 displaystyle W subset left a 0 a 1 right times mathbb R d 1 infty nbsp so dass es ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp gibt mit W a0 a0 ϵ Rd 1 a0 a0 ϵ M0 displaystyle W cap left a 0 a 0 epsilon right times mathbb R d 1 infty left a 0 a 0 epsilon right times M 0 nbsp W a1 ϵ a1 Rd 1 a1 ϵ a1 M1 displaystyle W cap left a 1 epsilon a 1 right times mathbb R d 1 infty left a 1 epsilon a 1 right times M 1 nbsp W W a0 a1 Rd 1 displaystyle partial W W cap left a 0 a 1 right times mathbb R d 1 infty nbsp Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung W1 a0 a1 W2 a1 a2 W1 W2 a0 a2 displaystyle W 1 a 0 a 1 circ W 2 a 1 a 2 W 1 cup W 2 a 0 a 2 nbsp von Teilmengen in R Rd 1 displaystyle mathbb R times mathbb R d 1 infty nbsp definiert Topologische Anreicherung der Kategorie BearbeitenObjekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen ob Cd R MEmb M Rd 1 Diff M displaystyle operatorname ob mathcal C d cong mathbb R times bigcup M operatorname Emb M mathbb R d 1 infty operatorname Diff M nbsp und mor Cd ob Cd WR 2 Emb W 0 1 Rd 1 Diff W displaystyle operatorname mor mathcal C d cong operatorname ob mathcal C d cup bigcup W mathbb R 2 times operatorname Emb W left 0 1 right times mathbb R d 1 infty operatorname Diff W nbsp Dabei bezeichnet Emb Rd 1 displaystyle operatorname Emb mathbb R d 1 infty nbsp den Raum der Einbettungen in den Rd 1 displaystyle mathbb R d 1 infty nbsp mit der C displaystyle C infty nbsp Topologie Die Diffeomorphismengruppe Diff displaystyle Diff nbsp wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen Der Faktorraum Emb Rd 1 Diff displaystyle operatorname Emb mathbb R d 1 infty operatorname Diff nbsp wird mit der Quotiententopologie versehen Literatur BearbeitenGalatius Madsen Tillmann Weiss The homotopy type of the cobordism category Acta Math 202 2009 no 2 S 195 239 Galatius Randal Williams Stable moduli spaces of high dimensional manifolds Acta Math 212 2014 no 2 S 257 377 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kobordismuskategorie amp oldid 200197229
